衡陽縣四中2024-2025學年下學期高二第一次月考卷數學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.2.若復數是純虛數，則的值可以為（）A. B. C. D.3.已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.4.已知梯形是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它直觀圖（如圖所示），其中，，，則直角梯形邊的長度是A. B. C. D.5.如圖，三棱錐中，底面，則該三棱錐的內切球半徑與外接球半徑的和為（）A. B. C. D.6.某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機抽查了高一、高二、高三的名同學進行了跑步測試，按照最終測試成績的分數進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計該名同學測試得分的上四分位數為（）A.82.5 B.81 C.80 D.79.57.設為等差數列的前項和.若公差，且，則的值為（）A60 B.70 C.75 D.858.橢圓的左右焦點為，經過的直線與橢圓C相交于A，B．若的周長為8，則（）A. B. C.2 D.4二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知數列滿足，（），的前項和為，則（）A.是等比數列 B.是等比數列C. D.10.如圖，在棱長為2的正方體中，E、F、G、M、N均為所在棱角中點，動點P在正方體表面運動，則下列結論中正確的為（）A.P在BC中點時，平面平面GMNB.E、F、G、M、N在同一個球面上C.異面直線EF、GN所成角的余弦值為D.，則P點軌跡長度11.已知雙曲線的左，右焦點分別是，下列說法正確的有（）A.若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B.若雙曲線的通徑長為2，則C.若是雙曲線與以為直徑的圓的交點，則的面積為2D.若點在雙曲線上，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線被圓截得的最短弦長為，則______．13.過橢圓內一點引一條直線與橢圓相交于兩點．若是線段的中點，則直線的斜率______．14.如圖，無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為，底部C的俯角為，無人機與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為_______m．（，結果精確到0.1）四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知數列滿足．（1）若，求證：為等差數列；（2）求數列的前項和．16.在平面直角坐標系中，圓C經過點和點，且圓心C在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）已知圓方程為，請問圓與圓會相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長；若不相交，請說明理由.17.已知橢圓經過點，其右焦點為.（1）求橢圓離心率；（2）若點在橢圓上，右頂點為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點.18.如圖，在平面四邊形中，，是邊長為2的正三角形，，為的中點，將沿折到的位置，．（1）求證：面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．19.已知正項數列的前項和為.若.（1）求證：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.

衡陽縣四中2024-2025學年下學期高二第一次月考卷數學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，再根據投影向量的定義計算可得.【詳解】因為，，所以，，則向量在向量方向上.故選：A2.若復數是純虛數，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由純虛數的特征，即可列式求解.【詳解】由題意可知，，，得，根據選項可知，只有滿足條件.故選：C3.已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知求得圓臺的高，再由圓臺的體積公式即可求解.【詳解】由題意，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，則高為，如下圖所示：則圓臺的體積為.故選：A.4.已知梯形是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖（如圖所示），其中，，，則直角梯形邊的長度是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據斜二測畫法，原來的高變成了方向的線段，且長度是原高的一半，原高而橫向長度不變，且梯形是直角梯形，故選5.如圖，三棱錐中，底面，則該三棱錐的內切球半徑與外接球半徑的和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據線面垂直的性質，結合正方體的對角線長公式、棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】因為底面底面，所以.又因為，所以，而，所以三條互相垂直且共頂點棱，可以看成正方體中共頂點的長?寬?高，因此該三棱錐外接球的半徑，設該三棱錐的內切球的半徑為，因為，所以.因為，所以，故為等邊三角形，由三棱錐的體積公式可得，三棱錐的內切球半徑與外接球半徑的和為，故選：D6.某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機抽查了高一、高二、高三的名同學進行了跑步測試，按照最終測試成績的分數進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計該名同學測試得分的上四分位數為（）A.82.5 B.81 C.80 D.79.5【答案】A【解析】【分析】利用上四分位數的定義結合頻率分布直方圖的性質求解即可.【詳解】因為,,所以上四分位數位于內，且設其為，故，解得，故A正確.故選：A7.設為等差數列的前項和.若公差，且，則的值為（）A.60 B.70 C.75 D.85【答案】A【解析】【分析】設等差數列的奇數項的和為P，偶數項之和為Q，由等差數列的性質列方程組，可求出P、Q的值，從而可得出結果.【詳解】設，因為數列是等差數列，且公差，，所以，解得，所以.故選：A.8.橢圓的左右焦點為，經過的直線與橢圓C相交于A，B．若的周長為8，則（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由題意的周長，可得，結合，即得解.【詳解】由題意的周長，解得，故.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知數列滿足，（），的前項和為，則（）A.是等比數列 B.是等比數列C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據題意，利用構造法判斷得是等比數列，進而利用等比數列的通項公式與求和公式，結合分組求和法即可得解.【詳解】對于AB，因為數列中，，（），則，，所以數列是以為首項，3為公比的等比數列，故A錯誤，B正確；對于C，，即有，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.10.如圖，在棱長為2的正方體中，E、F、G、M、N均為所在棱角中點，動點P在正方體表面運動，則下列結論中正確的為（）A.P在BC中點時，平面平面GMNB.E、F、G、M、N在同一個球面上C.異面直線EF、GN所成角的余弦值為D.，則P點軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】根據正方體圖形特征證明平面，結合面面垂直的判定定理判斷A；根據五點共圓得到B；根據異面直線所成的角判斷C錯誤；分析可知點軌跡是過點與平行的線段，根據軌跡求出長度得到D.【詳解】對于A：取的中點，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易得，平面，因平面，則，又平面，，故平面，因平面，故①，連接，是正方形，，因平面，平面，則，因平面，，故平面，又平面，則②，因平面，又，由①，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正確；對于B：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故B正確；對于C：取的中點，連接，則，所以或其補角是異面直線所成的角，又，則，故C錯誤；對于D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題主要考查與正方體有關平面位置關系判斷，異面直線所成角以及動點軌跡長度有關問題，屬于較難題.（1）求異面直線所成的角時，常將其轉化為與其中一條平行且與另一條直線相交所成的角，利用解三角形求解；（2）證明面面垂直時，通常由線面垂直證面面垂直；（3）證明多點在一個球面問題時，常設法尋找球心，證其到各點距離相等得到.11.已知雙曲線的左，右焦點分別是，下列說法正確的有（）A.若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B.若雙曲線的通徑長為2，則C.若是雙曲線與以為直徑的圓的交點，則的面積為2D.若點在雙曲線上，則【答案】ABC【解析】【詳解】在雙曲線中，.若離心率，則，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確．將代入，得，又，所以，解得．由題意得，解得，B正確．由題意，得．不妨設點在第一象限，，則，所以，解得，所以的面積，C正確．因為點在雙曲線上，所以，解得．因為點在第一象限，所以，D錯誤．故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線被圓截得的最短弦長為，則______．【答案】【解析】【分析】根據定點及兩點間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進而結合圓的弦長公式，得到弦長，計算即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑，過定點則圓心到直線的距離為，可得截得弦長為，弦長取得最小值時，.故答案為：.13.過橢圓內一點引一條直線與橢圓相交于兩點．若是線段的中點，則直線的斜率______．【答案】##【解析】【分析】根據點差法，結合斜率公式即可求解.【詳解】設,則，相減可得，故答案為：14.如圖，無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為，底部C的俯角為，無人機與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為_______m．（，結果精確到0.1）【答案】13.8【解析】【分析】分別在兩個直角三角形中，利用三角函數求得和,再求和即可.【詳解】根據題意得，在中，，,在中，,,.故答案為：13.8四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知數列滿足．（1）若，求證：為等差數列；（2）求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取倒數，即可根據等差數列的定義求證，（2）利用裂項相消法求和即可得解.【小問1詳解】證明：因為，所以，即因為，所以．又因為，所以是以2為首項，2為公差的等差數列【小問2詳解】由（1）得，所以，所以．所以16.在平面直角坐標系中，圓C經過點和點，且圓心C在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）已知圓的方程為，請問圓與圓會相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長；若不相交，請說明理由.【答案】（1）（2）相交，【解析】【分析】（1）利用圓的幾何性質-弦的中垂線經過圓心，結合題設條件求得圓心和半徑，即得圓的方程；（2）先利用兩圓的位置關系判斷即得圓C與圓相交，根據兩圓的方程求出過兩交點的直線方程.再由圓的弦長公式，計算即得弦長.【小問1詳解】因，則線段的中點的坐標為，且直線的斜率,于是線段的垂直平分線所在直線方程為,則由，解得，∴圓心，半徑∴圓的方程為；【小問2詳解】由圓得：∴圓心，半徑，∵圓的圓心坐標為，半徑，由，，因，故圓與圓相交；設圓與圓的兩個交點分別為點，如圖，由左右分別相減，整理得,∴直線的方程為,∴圓心到直線距離,∴，綜上：圓與圓相交，兩圓的公共弦長為.17.已知橢圓經過點，其右焦點為.（1）求橢圓的離心率；（2）若點在橢圓上，右頂點為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結合焦點坐標及橢圓上的點列式求解，進而求解橢圓方程及離心率.（2）設直線的方程，與橢圓方程聯立，求出兩根之和及兩根之積，由直線與的斜率之積，可得參數關系，即可求解直線恒過的定點坐標，得證.【小問1詳解】依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.【小問2