專題01雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問(wèn)題出

發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部

分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.線段的雙中點(diǎn)模型..............................................................................................................................1

模型2.線段的多中點(diǎn)模型..............................................................................................................................4

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型..................................................................................................6

.................................................................................................................................................10

模型1.線段的雙中點(diǎn)模型

線段雙中點(diǎn)模型：兩線段在同一直線上且有一個(gè)共同的端點(diǎn)，求這兩條線段的中點(diǎn)距離的模型我們稱之為

線段的雙中點(diǎn)模型。

1

條件：點(diǎn)M、N分別為線段AB、BC的中點(diǎn)，結(jié)論：MNAC.

2

證明：①當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上，如圖1，

圖1

11

∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴BMAB（中點(diǎn)定義）；BNBC（中點(diǎn)定義）；

22

1111

∵M(jìn)N=BM+BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖2，

圖2

11

∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴BMAB（中點(diǎn)定義）；BNBC（中點(diǎn)定義）；

22

1111

∵M(jìn)N=BM-BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

③當(dāng)點(diǎn)B在線段CA的延長(zhǎng)線上

圖3

11

∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴BMAB（中點(diǎn)定義）；BNBC（中點(diǎn)定義）；

22

1111

∵M(jìn)N=BN-BM，∴MNBCABBCBAAC；

2222

例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

(1)若AB18cm,AM5cm，求CN的長(zhǎng)；(2)若MN6cm，求AB的長(zhǎng)；

例2．（23-24七年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M，N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)．

(1)若AC10cm，CB6cm，求線段MN的長(zhǎng)；(2)若ACCBacm，求線段MN的長(zhǎng)度．

例3．（23-24七年級(jí)·山東淄博·期末）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．若線段

AB12cm，則線段BD的長(zhǎng)為（）

A．10cmB．8cmC．8cm或10cmD．2cm或4cm

例4．（23-24七年級(jí)上·安徽黃山·期末）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），E，F(xiàn)分別是

線段AD，BC的中點(diǎn)．下列結(jié)論：

1

①EFAB；②若AEBF，則ACBD；③ABCD2EF；④ACBDECDF．

2

其中正確的結(jié)論是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

例5．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知線段AB24，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AC上的

三等分點(diǎn)，則線段BD的長(zhǎng)的最大值為（）

A．16B．18C．15D．20

例6．（23-24七年級(jí)上·遼寧阜新·期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示，P是數(shù)軸上一點(diǎn)：

(1)將點(diǎn)B在數(shù)軸上向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P，求出A、P兩點(diǎn)間的距離

是多少個(gè)單位長(zhǎng)度．

(2)若點(diǎn)B在數(shù)軸上移動(dòng)了m個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)P，且A、P兩點(diǎn)間的距離是4，求m的值．

(3)若點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變

化，請(qǐng)你說(shuō)明理由：若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段MN的長(zhǎng)度．

模型2.線段的多中點(diǎn)模型

條件：如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN2a，第1次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、

N1﹔第2次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2﹔第3次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，

n1

1

N3；…連續(xù)這樣操作n次，結(jié)論：MnNna．

2

11

證明：∵M(jìn)、N1是AM和AN的中點(diǎn)，∴AMAM，ANAN，

11212

111

∴MNAMANMNa，∵M(jìn)、N是AM和AN的中點(diǎn)，

112222211

111111

∴AMAM，ANAN，∴M2N2AM1AN1M1N1a，

2212212222

11

∵M(jìn)，N是AM和AN的中點(diǎn)，∴AMAM，ANAN，

3322322322

2n1

111111

∴M3N3AM2AN2M2N2aa，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MnNna，

222422

例1．（23-24七年級(jí)上·貴州六盤水·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O

出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次從點(diǎn)O跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，第2次從點(diǎn)A1跳動(dòng)到A1A的中點(diǎn)A2處，第3

次從點(diǎn)A2跳動(dòng)到A2A的中點(diǎn)A3處，…，第n次從點(diǎn)An1跳動(dòng)到An1A的中點(diǎn)An處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)

到點(diǎn)A4，A5，A6，…，A2024處，那么點(diǎn)A2024所表示的數(shù)為．

例2．（23-24七年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）已知：如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN16，第一

次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；

第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3，連續(xù)這樣操作4次，則M4N4．

例3．（23-24七年級(jí)上·湖南張家界·期末）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN2，第一次操

作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1﹔第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2﹔第三次

操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3；…連續(xù)這樣操作2024次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有

線段之和M1N1M2N2M2024N2024．

例4．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra做了n次取線段中

點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段OP01，第1次，取OP0的中點(diǎn)P1；第2次，取P0P1的中點(diǎn)P2；第3次，取P1P2的中

點(diǎn)P3，第4次，取P2P3的中點(diǎn)P4；…

(1)請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù)．

次數(shù)Pi1Pi線段OPi的長(zhǎng)

11

第1次PPOPOPPP1

01210012

111

第2次PPOPOPPP1

12222112222

1111

第3次PPOPOPPP1

2323322322223

11111

第4次PPOPOPPP1

342443342222324

第5次①______②________

………

(2)小明對(duì)線段OP4的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡(jiǎn)：

11111111111

因?yàn)镺P41234，所以2OP42121，

2222222232422223

121

兩式相加，得3OP2，所以O(shè)P．

42443324

請(qǐng)你參考小明的化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)OP5的表達(dá)式．

(3)類比猜想：Pn1Pn_____，OPn=_____，隨著取中點(diǎn)次數(shù)n的不斷增大，OPn的長(zhǎng)最終接近的值是____．

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型

雙角平分線模型：共頂點(diǎn)的三條射線組成的三個(gè)角中（兩角共一邊），已知任意兩個(gè)角的平分線，求角平分

線夾角。下面是最完整的角平分線模型結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)過(guò)程是需要掌握的，也并不難推，同學(xué)們自

己嘗試著推導(dǎo)一遍，再去記結(jié)論，印象會(huì)更加深刻。

圖1圖2圖3圖4

1）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：DOEAOC。

2

11

證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴DOBBOEAOBBOCAOC，∴DOEAOC。

2222

2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：DOEAOC。

2

11

證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴BOEDOBBOCAOBAOC，∴DOEAOC。

2222

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）

條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；

1

結(jié)論：POP180AOB。

122

11

證明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴POCAOC，POCBOC，

1222

∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，

1111

∴POPPOCPOCAOCBOCAOCBOC180AOB。

12122222

4）角n等分線模型

條件：如圖4，AOB,OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，OA2、OB2分別是A1OM和MOB1

的平分線，OA3、OB3分別是A2OM和MOB2的平分線…，OAn,OBn分別是An1OM和MOBn1的平分

線；結(jié)論：．

證明：QAOB，OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，

11111

AOMAOM,BOMBOM，AOB(AOMBOM)AOB，

121211222

11

OA、OB2分別是AOM和MOB1的平分線，AOMAOM,BOMBOM，

21221221

1111

AOB(AOMBOM)AOBAOB，

222112112222

11

OA、OB分別是AOM和MOB的平分線，AOMAOM,BOMBOM，

3322322322

1111111

AOB(AOMBOM)AOBAOBAOB，…，

33222222221122223

由此規(guī)律得：AOB=。

nn2n

例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分BOC，OD平分AOC，

若BOE28，則AOD的度數(shù)為（）

A．58B．60C．62D．70

例2．（2023春·遼寧遼陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線OC平分AOB，射線OD平分BOC，則下列等

式中成立的有（）

①CODAODBOC；②CODAODBOD；③2COD2AODAOB；④

1

CODAOB．

3

A．①②B．①③C．②③D．②④

例3．（2023春·黑龍江·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，射線OG是AOC的角平分線，射線OM是AOB的

角半分線，射線ON是BOC的角平分線，則下列結(jié)論成立的有（）個(gè)．

11

①M(fèi)ONCOG；②MOGAOGBOG；③GON(COGBOG)；④

22

1

MON(AOCBOG)；

2

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

例4．（2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AOB,OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，

OA2、OB2分別是A1OM和MOB1的平分線，OA3、OB3分別是A2OM和MOB2的平分線，…，OAn,OBn

分別是An1OM和MOBn1的平分線，則AnOBn的度數(shù)是．

例5．（2022秋·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD

的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請(qǐng)從A，B兩題中任選一題作答．

A．當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為．

B．當(dāng)∠BOC＝α°時(shí)，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．

例6．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分AOC

和BOC．(1)求DOE的度數(shù)；(2)如果COD60．①求AOE的度數(shù)；②若AOF20，直接寫出

FOD的度數(shù)．

例7．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校考期末）解答題：(1)如圖，若AOB120°，AOC40，OD、OE

分別平分AOB、AOC，求DOE的度數(shù)；

°

(2)若AOB，AOC是平面內(nèi)兩個(gè)角，AOBm°，AOCn°n<m180，OD、OE分別平分AOB、

AOC，求DOE的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）

例8．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題

如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的“巧分線”．(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”

或“不是”）．(2)如圖2，若MPN60，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（表示出所有

可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若MPN，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（用

含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取AB6cm，再截取AC14cm，則AB

的中點(diǎn)D與AC的中點(diǎn)E之間的距離為（）

A．4cmB．8cmC．4cm或10cmD．3cm或8cm

2．（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中

點(diǎn)，下列結(jié)論：①若ADBM，則AB3BD；②若ACBD，則AMBN；③ACBD2MCDN；

④2MNABCN．

其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④

3．（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN10，第一次操作：

分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：

分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)M3，N3；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之

和M1N1M2N2M2023N2023（）

5555

A．10B．10C．10D．10

22022220232202222023

4．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AOB130，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)作直角COB，以點(diǎn)O

為端點(diǎn)作一條射線OD．通過(guò)折疊的方法，使OD與OC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，OE所在的直線為折痕，

若COE15，則AOB（）．

A．30B．25C．20D．15

5．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在AOB的內(nèi)部作射線OC，射線OC把AOB分成兩個(gè)角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱射線OC為AOB的三等分線．若

33

AOB60，射線OC為AOB的三等分線，則AOC的度數(shù)為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

6．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根AB長(zhǎng)為80cm，另一根CD長(zhǎng)為130cm，

在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計(jì)，M、N抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，

放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離MN是．

7．（23-24七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，已知AB12,C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，M是CA的中

4AN

點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，且滿足ACBMAB，求．

3AM

8．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）已知線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）

的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動(dòng)，M為AC的中點(diǎn)，N為BD的中

點(diǎn)，線段MN的長(zhǎng)為b，則線段CD的長(zhǎng)為（用a，b的式子表示）．

9．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，P，Q分別是AD，BC的中點(diǎn)，若

PC

AB3CD，則．

QD

10．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知AOB50，由定點(diǎn)O引一條射線，使得BOC30，

OM、ON分別是AOB和BOC的平分線，則MON度．

11．（2024·山東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠

11

BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝°．（用含n的代數(shù)式表示）

nn

2

12．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：a2b2b0．如圖，在數(shù)軸上，

點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段BC在直線OA上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），BCb．

下列結(jié)論：①a4,b2；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，AC3；

③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則POPA2PB；

④在線段BC運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M為線段OB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度不變．

所有結(jié)論正確的序號(hào)是．

13．（2023春·天津?yàn)I海新·七年級(jí)校考期中）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，COD90，OE平分AOC，

OG平分BOC，OF平分BOD，下列結(jié)論：①EOG90；②DOE與BOF互補(bǔ)；

1

③AOCBOD90；④DOGAOC．請(qǐng)你把所有正確結(jié)論的序號(hào)填寫在橫線上．

2

14．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)校考開學(xué)考試）平面內(nèi)，AOB120，C為AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線OM平分

AOC，射線ON平分BOC，射線OD平分MON，當(dāng)AOCCOD30時(shí)，BOC的度數(shù)是．

15．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB6，AC2，求MN的長(zhǎng)．

(1)根據(jù)題意，小明求得MN______．

(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始

深入探究．設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫

助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN______．

11

②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，求MN的長(zhǎng)．

33

11

③若M，N分別是AC，BC的nn2等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，則MN______．

nn

16．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)校考期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】

AC

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，ACnAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作dn．

AB

1AC1AC11

例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即ACAB，則d；反之，當(dāng)d時(shí)，則有ACAB．

2AB2AB22

AC

因此，我們可以這樣理解：“dn”與“ACnAB”具有相同的含義．

AB

ACAC2

(1)【理解與應(yīng)用】如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若AC3，AB4，則d________；若d，

ABABm

BC

則________．

AB

(2)【拓展與延伸】已知線段AB10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)