重難點23與圓有關的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1斜率型最值（范圍）問題】............................................................2

【題型2直線型最值（范圍）問題】............................................................5

【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】........................................................7

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】............................................9

【題型5過圓內定點的弦長最值（范圍）問題】.................................................12

【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】.....................................................14

【題型7周長面積型最值（范圍）問題】.......................................................16

【題型8數量積型最值（范圍）問題1.......................................................................................18

【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】.....................................................21

【題型10長度型最值（范圍）問題】..........................................................24

?命題規律

1、與圓有關的最值與范圍問題

從近幾年的高考情況來看，與圓有關的最值與范圍問題是高考的熱點問題，由于圓既能與平面幾何相

聯系，又能與圓錐曲線相結合，命題方式比較靈活，故與圓相關的最值與范圍問題備受命題者的青睞.此類

問題考查形式多樣，對應的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.

?方法技巧總結

【知識點1與距離有關的最值問題】

在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發生變化，在變化過程中，就會出現一些最值問題，如距離

最小、最大、范圍等.這些問題常常聯系到平面幾何知識，利用數形結合思想進行求解得到相關結論.

1.圓上的點到定點的距離最值問題

一般都是轉化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.

2.圓上的點到直線的距離最值問題

已知圓C和圓外的一條直線/,則圓上點到直線距離的最小值為：dc^-r,距離的最大值為：

dc-i+r.

【知識點2利用代數法的幾何意義求最值】

1.利用代數法的幾何意義求最值

（1）形如〃=曰9的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.

（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

（3）形如m=（,x-ay+（y-b）2的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（°⑸的距離平方的最值問題.

【知識點3切線長度最值問題】

1.圓的切線長度最值問題

(1)代數法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值；

(2)幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.

【知識點4弦長最值問題】

1.過圓內定點的弦長最值問題

已知圓C及圓內一定點P,則過P點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.

【知識點5解決與圓有關的最值與范圍問題的常用方法】

1.與圓有關的最值與范圍問題的解題方法

(1)數形結合法：處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數式的幾何意義，借

助數形結合思想求解.

(2)建立函數關系求最值：根據題目條件列出關于所求目標函數的關系式，然后根據關系的特點選用參

數法、配方法、判別式法等進行求解.

(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表達式是滿足基本不等式的結構特征，如或者0+6的表

達式求最值，常常利用題設條件建立兩個變量的等量關系，進而求解最值.同時需要注意，“一正二定

三相等”的驗證.

(4)多與圓心聯系，轉化為圓心問題.

(5)參數方程：進行三角換元，通過參數方程，進行求解.

?舉一反三

【題型1斜率型最值(范圍)問題】

【例1】(23-24高二上?湖北武漢?階段練習)已知P(m,n)為圓C：Q—l)2+(y—1)2=1上任意一點，則落的

最大值為()

A.V3B.~C.1+苧

VD.1-^

【解題思路】根據圓上任意一點P(wi)到定點力(-1,1)的斜率，即可結合相切求解斜率得解.

m+nm+1+n—l.n—1

【解答過程】==1H

m+1----m+1--------m+1

由于P(7?Vl)為圓C：(%-1)2+(y-1)2=1上任意一點,

故啟可看作圓上任意一點P(科九)到定點"(-LD的斜率，

當直線24與圓相切時，此時斜率最大，

由于相切時，|4C|=2,|CP|=1故|P4|=g，此時斜率仁保上仁,

故需的最大值為1+浮

故選：C.

【變式1-1](2024?河南?模擬預測)已知點PQ,y)在圓(久一1)2+0-1)2=3上運動，則白的最大值為

()

A.-6—^30B.6+，30C.-6+，30D.6——30

【解題思路】將蕓看作時圓上的點P(x,y)到點4(3,4)的直線的斜率的最小值即可求解.

[解答過程]三看作圓上的點P(x,y)到點4(3,4)的直線的斜率的相反數.

當經過點2(3,4)的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，

設切線方程為y=k(x-3)+4,所以圓心到切線的距離等于半徑，故嗡#=遮，解得k=6士頻，故當

k=6-V^時，切線斜率最小，此時W最大，最大值為-6+同，

x—3

故選：C.

【變式1-2](2024?陜西商洛?三模)已知P(xo，yo)是圓C:*2+y2_2x_2y+l=0上任意一點，則瑞的最大

值為()

A.-2B.C.D.

【解題思路】相的幾何意義為直線/乂-3)-y-1=0的斜率，再根據直線與圓得交點即可得出答案.

【解答過程】設卜=瑞，變形可得/與-3)-yo-l=O,

則猾的幾何意義為直線k(x-3)-y-1=。的斜率，

圓C:/+y^-2x-2y+1=0化為。(%-1)2+(y-1)2=1,

所以圓C的圓心為(1,1),半徑為1.

因為POWo)是圓C：/+川一2x—2y+1=0上任意一點，

所以圓C與直線k(x-3)-y-l=0有公共點，即圓的圓心C(l,l)到直線k(久-3)-y-l=0的距離不大于圓C的

半徑，

所以鳳1肅解得陶立wkw昔Z,

即普的最大為若N

故選:D.

【變式1-3](2024?福建南平?三模)已知P(m,n)為圓C：(x-l)2+(y—1尸=1上任意一點，則黑?的最大值

M-

【解題思路】將懸轉化為點P(犯n)和(-1,1)連線的斜率，由圖像可知當直線與圓相切時取得最大值，由d=r

解出斜率即可.

【解答過程】

n-1n-1

由于故需表示P(巾，①和(一11)連線的斜率，設”(一L1)，如圖所示，當MP與圓相切時，黯

m+1-

取得最大值,

設此時MP:y-l=々(％+1),BP/cx-y+fc+1=0,又圓心(1,1),半徑為1,故弋篙1^=1,解得k=±洋

故E的最大值為率

故答案為：察

【題型2直線型最值（范圍）問題】

【例2】（23-24高三上?河南?階段練習）已知點P（x,y）是圓C：（久一或2+3/2=3似>0）上的一動點，若圓C

經過點4（1,迎），貝久的最大值與最小值之和為（）

A.4B.2V6C.-4D.-2傷

【解題思路】由圓所過點的坐標求得a,y-x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距，直線與圓相切時，b取

得最大值或最小值，由此可得.

【解答過程】因為圓C：（x-a）2+y2=3（a>0）經過點火1,四），

（1—a）2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-久可看成是直線y=%+b在y軸上的截距.如圖所示，

當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時器解得b=-2±乃，

所以y-x的最大值為-2+最小值為-2-V^,故y一久的最大值與最小值之和為-4.

故選：C.

【變式2-1]（24-25高二上?全國?課后作業）如果實數滿足等式/+/+4x-2y-4=0,那么好+y2的

最大值是JL4+6西；2x-y的最大值是_3、/1二5一.

【解題思路】畫出圖形，通過數形結合，以及直線與圓的位置關系、所求代數式的幾何意義逐一求解即可.

【解答過程】由/+y2+4x-2y-4=0,得（x+2）2+（y-1）2=9,%2+y2的幾何意義為圓（%+2）2+（y-1）2

=9上的動點到原點距離的平方.

因為圓心（-2,1）到原點的距離為爪，所以圓上的動點到原點距離的最大值為遙+3,

則/+y2的最大值是（6+3）=14+6V5.

令2%-y=t,則一力是直線2%-y=t在y軸上的截距，

當直線與圓相切時，直線2%-y=《在丫軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值，

此時，圓心(一2,1)到直線2x-y=t的距離d=-扇一=3,解得t=-5±3遮,

所以2x-y的最大值為3遙-5.

故答案為：14+65/5；3V5—5.

【變式2-2](23-24高二上?黑龍江綏化?階段練習)已知x,y是實數，且。—1產+(y—2尸=4.

⑴求3x+4y的最值；

(2)求？的取值范圍；

(3)求+、2的最值.

【解題思路】(1)首先設3x+4y=z,利用直線與圓有交點，列式求z的最值；

(2)首先設k=±轉化為直線依-y=0與圓有交點，列不等式求k的取值范圍；

(3)根據"T5萬的幾何意義，轉化為圓上的點與原點距離的最值.

【解答過程】(1)設3%+4y=z,化為3%+4y-z=0,

可知直線3%+4丫-2=0與圓(%-1)2+(丫-2)2=4有交點，圓心(1,2),半徑為2,

有空|旭三2,解得1SZW21,

可得3x+4y的最小值為1,最大值為21；

(2)設k=?,化為kx-y=O,

可知直線依—y=0與圓0-1)2+(y—2)2=4有交點，

W-^=<2,解得或kW-g,

7k2+13

故?的取值范圍為(-8,-gu[o,+00)；

(3)52+y2的幾何意義為坐標原點到圓(x—l)2+(y-2)2=4上任意一點的距離,

圓0-1)2+(y-2)2=4的圓心到坐標原點的距離為，到+22=V5,

故+y2的最小值為廊—2,最大值為遙+2.

【變式2-3］（2024高三?全國?專題練習）已知實數X,y滿足方程N+產―4x+l=0.求：

（11的最大值和最小值；

（2）y+x的最大值和最小值；

（3）/+/的最大值和最小值.

【解題思路】（1）轉=/,進行求解即可；

（2）令y+x=m,得其縱截距在兩相切位置對應的縱截距之間，進行求解即可；

（3）根據N+f的幾何意義，進行求解即可.

【解答過程】（1）如圖，令則/+做2—4x+l=0,即（1+）x2—4x+l=0.由AK）得一V3<f<V3,

所以（的最小值為一遍，最大值為值.

（2）令歹+工=加，得;V=—1+加.直線J=—%+加與圓，+y2—以+1=0有公共點時，其縱截距在兩相切位

置對應的縱截距之間，而相切時有^一~lm—2|=V6,m=2iV6.

所以歹+x的最大值為2+V6,最小值為2—V6.

（3）如圖，N+產是圓上點到原點距離的平方，故連接oc,與圓交于點'并延長交圓于C,可知5到

原點的距離最近，點C到原點的距離最大，此時有OB=g+y2=2—W,OC=V%2+y2=2+V3,

則（N+y2）加公=OC，2=7+4V5\（x2-\-y2）加%=。￥=7—4V3.

【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】

【例3】（2024?陜西銅川?三模）已知圓。:（%-。）2+（丫一力）2=1經過點/（3,4）,則其圓心到原點的距離的最

大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【解題思路】由題意及圓的定義得圓心所在的軌跡方程，然后利用點與圓的位置關系求解最大值即可.

【解答過程】由圓。0-。)2+0-6)2=1經過點(3,4),可得(3-a)2+(4—b)2=l,

即(a-3)2+(b-4)2=1,故圓心(a,b)的軌跡是以4(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

又|4。|=V32+42=5,所以圓心到原點的距離的最大值為5+1=6.

故選：C.

【變式3-1](23-24高三下?山東濟南?開學考試)已知P是圓O:/+y2=9上的動點，點Q滿足衣=(3,一4),

點力(1,1),則MQ|的最大值為C)

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【解題思路】首先求點Q的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系，求|4Q|的最大值.

【解答過程】設Q(x,y),P(xo,yo),

由PQ=(x-&,y-yo)=(3,-4),得祀=*-3,y0=y+4,

因為點P在圓。上，即吐+羽=9,

則(x—3)2+(y+4)2=9,

所以點Q的軌跡是以(3,-4)為圓心，3為半徑的圓，

因為4(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以點4在圓外，

所以MQ的最大值為J(l—3/+(1+4尸+3=V29+3.

故選：C.

【變式3-2](2024?全國?模擬預測)M點是圓C:(久+2)2+*=1上任意一點，為圓的:0―2尸+*=3

的弦，且MB|=2^,N為4B的中點，則|MN|的最小值為()

A.1B.2C.3D.47

【解題思路】根據弦長公式先求出|CiN|=1,然后可知點N在以5(2,0)為圓心，1為半徑的圓上，結合圓

的性質可求|MN|的最小值.

【解答過程】圓。(％+2)2+、2=1的圓心為(7(—2,0),半徑為r=l,

圓Ci：(x-2)2+y2=3的圓心為Ci(2,0),半徑為「1=V3.

如圖所示，由弦長公式知|4B|=2jW—|Ci=|2=2或,

解得UI=1,

所以點N在以的(2,0)為圓心、1為半徑的圓上，

由圖可知，的最小值為|CCi|-r-1=4-1-1=2.

故選：B.

【變式3-3]（2024?四川樂山?三模）已知圓。:必+、2=16,點4―2弓+g）,點E是1:2x—y+16=0上

的動點，過E作圓。的切線，切點分別為4B,直線力B與E。交于點M,貝的最小值為（）

A2c2D皿

2D-2J22

【解題思路】設M（x,y）,由△AOE?△MCM表示出點E坐標，代入直線方程得出點M的軌跡，根據點到圓上

一點距離最小值求法計算即可.

【解答過程】設M（x,y）,由題可知△40E~aM04則黑=黑，即|CM|2=|OE「|OM|,

所以耨=黑^=生3,所以點EQI*,於第｝

將點E的坐標代入z：2x-y+16=0,化簡得（尤+1）2+（丫-3=、（招、不同時為0），

故點M的軌跡是以（-1,白為圓心，孚為半徑的圓，

又（—2+1）2+（|+V19-3?=20>1點F在該圓外，

所以|MF|的最小值為J（—1+2產+一—孚=2西-苧=3三

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】

【例4】（2024?河北邯鄲?模擬預測）己知跖N是圓C：/+產一2）7-3=0上的兩個點，且|MN|=2VLP

為MN的中點，。為直線Z：x-y-3=0上的一點，則|PQ|的最小值為（）

A.2V2B.V2C.2—D.V2—1

【解題思路】先根據弦長得出點P的軌跡，利用直線與圓的位置關系即可解決.

【解答過程】圓C的標準方程：X2+(y-1)2=4,圓心C(O,1),半徑為2,

由四州=2魚，可得|CP|=WP^=VL

所以點尸在以C(O,1)為圓心，逅為半徑的圓上，

又點C到直線/：尤―y—3=0的距離d=3^=2&,

所以|PQ|的最小值為2魚-魚=V2.

故選：B.

【變式4-1](2024?遼寧鞍山?二模)已知直線I:久一y-2=0,點C在圓(%-1)2+必=2上運動，那么點C到

直線I的距離的最大值為()

A.+1B.|V2C.|A/2D.境

【解題思路】確定圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，加上圓的半徑，即可得答案.

【解答過程】圓(%-1)2+產=2的圓心為(1,0),半徑為r=Vl

則圓心(1,0)到直線，：x—y—2=0的距離為：=亨.

所以圓上的點C到直線Z：x-y-2=0距離的最大值為：孝+魚=芋.

故選：C.

【變式4-2](2024?河北?二模)已知4(孫月),B(%2)2)是圓%2+y2=9上的兩個動點,且％i%2+y/2=-

若點M滿足加=2麗，點P在直線久+后—4g=0上，貝U|MP|的最小值為()

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【解題思路】連接OM、OA,OB,根據已知可得萬？?麗=刀1不+?/2=-:且而=|?市+海，從而可

得動點M的軌跡為圓，由圓心到直線的距離可解.

【解答過程】如圖，連接。M、。力、OB,

由力01，%）,B（X2，y2）是圓/+y2=9上的兩個動點，且+%及=一，

BP0A-0B=久i%2+7172="

又前=2麗，貝IJ面—瓦？=2（南一麗），可得麗=那+河，

所以|而|=J（|ox+|OB）2=I^OA2+^OA-OB+^OB2=Vl-2+4=V3,

則動點M的軌跡方程為"+*=3,

且圓心。到直線％+V3y-4V3=。的距離為d=^5=^=2遮，

V1+3

所以|“P|的最小值為2g-g=g.

【變式4-3]（2024?湖南岳陽?二模）已知點4（*1,%）,B（久2/2）是圓/+y?=16上的兩點，若乙4。8=5，則

1%1+%—2|+咫+y2-2]的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

【解題思路】題目轉化為4、B到直線x+y-2=0的距離之和，變換得到MC|+|BD|=2|EF|,利用數形結

合轉化求解即可.

【解答過程】因為4（%i，y。、B（X2,丫2）在圓/+*=16上，Z.AOB=^,

因為|。*=|。引=4,則aaoB是等腰直角三角形，

l%i+yi-2|+|%2+丫2-2|表，A、B到直線x+y—2=。的距離之和的倍,

2

原點。到直線久+y-2=0的距離為d=/=VL如圖所示：

ACLCD,BDLCD,E是的中點，作EFlCD于F,

S.OEA.AB,\AC\+\BD\=2\EF\,\0E\=^AB\=2<2,

\EF\<\0E\+d=3V2,當且僅當。,三點共線，且在。的兩側時等號成立,

又|EF|=|(|BD|+MC|),故|BD|+|4C|的最大值為6立

l%i+7i-2|+|%2+及-2|的最大值為2但x3V2=12.

【題型5過圓內定點的弦長最值(范圍)問題】

【例5】(23-24高二上?重慶?期末)已知圓的方程為了+*―8x=0,則該圓中過點P(2,l)的最短弦的長為

()

A.V10B.VT1C.2V10D.2VH

【解題思路】利用幾何法求弦長.

【解答過程】如圖:x2+y2-8x=0=>(x-4)2+y2=16,所以圓心C(4,0),半徑r=4

由圖可知，當弦48iCPHt,弦長最短.

此時，RtzXACP中，\CP\=V(4-2)2+(0-1)2=V5,\CA\=r=4,

所以：[4P|="6-5=VTI

所以弦長|4B|=2V1T.

故選：D.

【變式5-1](2024?陜西西安?模擬預測)已知直線2:加+y-2t-V3=0(teR)與圓C:(x—1)2+y2=16相交

于48兩點，則弦長1ABi的取值范圍是()

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.(4V3,8)D.[4,4V3]

【解題思路】根據題意，求得直線恒過點P(2,g),結合圓的性質和弦長公式，即可求解.

【解答過程】因為直線垃+y-2￡-V§*=0(tER),可得t(%-2)+y-V^=0,

由｛；^；°0,解得x=2,y=K，所以直線恒過點P(2,旬，

可得點P(2,⑨在圓0-1)2+y2=16內部，

又由圓0-1)2+儼=16,可得圓心C(l,0),半徑為r=4,

當直線Z過圓心C(l,0)時，截得弦長|4B|最長，此時|43|?^=2「=8,

當直線I與PC垂直時，此時弦長|48|最短，又由|PC|=](2-1)2+(g一0)2=2,

可得|4B|min=2〃2Tpe|2=2V16-4=4V3,

所以弦長|4B|的取值范圍是[4g,8].

故選：B.

【變式5-2](23-24高二上?廣東珠海?期末)已知直線1：m比一丫一3爪+1=0恒過點2，過點P作直線與圓

C：(久一1)2+0-2)2=25相交于/,8兩點，則|4B|的最小值為()

A.4V5B.2C.4D.2通

【解題思路】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定最小時直線與直線CP的位置關系，

即可得結果.

【解答過程】由3)—y+l=0恒過P(3,l),

又(3—1)2+(1-2)2=5<25,即P在圓C內，

要使|力切最小，只需圓心C(l,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長最短，

由|。。|=遮，圓的半徑為5,

所以|4B|min=2XV25—5=4V5.

故選：A.

【變式5-3](2024?江西贛州?二模)已知直線/:(m+n)x+(m-n)y-2m=0(mn豐0).圓式(％—2)2+(y—2)2

=8,則()

A./過定點(1,—1)B./與C一定相交

C.若/平分C的周長，則爪=1D./被C截得的最短弦的長度為4

【解題思路】根據方程的形式，聯立方程產”與1力°,即可求定點，判斷A,再根據定點與圓的關系，判

斷直線與圓的位置關系，判斷B,根據直線平分圓的周長，可得直線與圓的關系，判斷C,當定點為弦的中

點時，此時弦長最短，結合弦長公式，即可判定D.

【解答過程】選項A：Z:(m+n)x+(jn—n)y—2m=0=>m(x+y—2)+n(x—y)=0,

聯立，衰片;。，解得所以/過定點(1,1)，故A錯誤；

選項B：因/過定點(1,1),且(1-2)2+(1—2)2<8,

所以定點(1,1)在圓內，即/與C一定相交，故B正確；

選項C：若/平分C的周長，則直線過圓心(2,2),所以(zn+m)x2+(m—n)X2—2m=0,

即/n=0,故C錯誤；

選項D：當定點(1,1)為弦的中點時，此時弦長最短，

此時圓心(2,2)到弦所在直線的距離d=V(2-l)2+(2-1)2=V2,

則弦長2?27力2_(煙2=2后故D錯誤；

故選：B.

【題型6圓的切線長度最值(范圍)問題】

【例6】(2024?全國?模擬預測)已知P為直線Z:久-y+1=0上一點，過點尸作圓C:(x-+y=i的一條

切線，切點為/,則上小的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【解題思路】根據已知條件，結合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.

[解答過程】連接C4則|P4|=J|PC『-1,

而|PC|的最小值為點C到直線/的距離d=^===V2>1,

所以|P*min=J(魚—LI.

故選：A.

【變式6-1](2024?新疆?二模)從直線x—y+2=0上的點向圓好+川―4乂—4y+7=0引切線，則切線長的

最小值為()

A.乎B.1C.乎D.

242

【解題思路】先求出圓心和半徑，再將切線長的最小轉化為直線上的點與圓心的距離最小來求解即可.

【解答過程】圓/+y2一4x-4y+7=0化為(久一2)2+0-2)2=1,圓心為C(2,2),半徑為1,

直線久―y+2=0上的點P向圓/+y2-4x-4y+7=。引切線，設切點為4

貝[]|P4|2=\pc\2-r2=\PC\2-1,

要使切線長的最小，則|PC|最小，即直線上的點與圓心的距離最小，

由點到直線的距離公式可得，|PC|min=%冬=魚.

所以切線長的最小值為J（魚）2-1=1.

故選：B.

【變式6-2］（2024?四川宜賓?二模）已知點P是直線x+y+3=0上一動點，過點P作圓。（久+1/+必=i

的一條切線，切點為4則線段P2長度的最小值為（）

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【解題思路】由題意可得|P*=J|PC|2—戶,則當|PC|取得最小值時，線段P4長度的最小，利用點到直線的

距離公式求出|PC|的最小值即可得解.

【解答過程】圓。（％+1）2+/=1的圓心（;（—1,0）,半徑r=l,

由題意可得24,AC,

順P4|=J|PC|2一|4C|2=J|PC|2T2=7|PC|2-1,

則當|PC|取得最小值時，線段24長度的最小,

|PC|min=嚕詈=a

所以|P*min=J（煙2—1=1.

故選：D.

【變式6-3］（2024?湖北?模擬預測）已知點P為直線/:3%-4丫+12=0上的一點，過點P作圓C:（x-3）2+（y—2尸

=1的切線PM,切點為M,則切線長|PM|的最小值為（）

A.yB.yC.等D.等

【解題思路】分析可知CM1PM,由勾股定理可得|PM|=J|PC|2-1,當|PM|取小值時，PC1/,求出圓心

到直線/的距離，作為|PC|的最小值，結合勾股求解即可.

【解答過程】由題意可知，圓C的圓心為C（2,3）,半徑為=

由圓的幾何性質可知，CMLPM,

由勾股定理可得|PM|=y/\PC\2-\CM\2=VPC|2-1,

所以要使切線長|PM|取最小值，只需|PC|取最小值即可.

19-8+121io

當直線PC與直線/：3x—4y+12=。垂直時，|PC|取最小值d=^===

13212

1=

則|PM|的最小值是~5.-T-

故選：A.

【題型7周長面積型最值(范圍)問題】

【例7】(2024?上海普陀?二模)直線I經過定點P(2,l),且與無軸正半軸、y軸正半軸分別相交于4B兩點，。

為坐標原點，動圓M在△02B的外部，且與直線1及兩坐標軸的正半軸均相切，則aOAB周長的最小值是

()

A.3B.5C.10D.12

【解題思路】先設動圓M的圓心M坐標為\0A\^a,\OB\^b,結合直線與圓相切的性質可得

\0A\+\0B\+\AB\=\2m,當圓M與直線2B相切于點尸(2,1)處時，圓M半徑最小，結合兩點間距離公式即可

求解.

【解答過程】設動圓M的圓心M坐標為

即圓M半徑r=zn,由題意zn>0,

設|CM|=a,\OB\=b,圓M與直線AB相切于點N,則MN|=m—a,\BN\^m-b,

所以|0川+\OB\+=\OA\+\0B\+\AN\+\BN\=a+b+m-a+m-b=2m,

即△04B的周長為2zn,

所以△的周長最小即為圓M半徑ni最小，因為|PM|>r=m,

則-2尸+(m-l)2Nm,整理得巾2-66+520,

解得m>5或m<1,

當mW1時，圓心M在△OAB內，不合題意；

當m25時，符合題意，即圓M半徑的最小值為5,△。48周長的最小值為2nl=10.

故選：C.

IA

，/

【變式7-1]（2024?山西呂梁?一模）已知圓0。—4）2+0-2）2=4,點「為直線乂+）/+2=0上的動點，以

PQ為直徑的圓與圓Q相交于48兩點，則四邊形P2QB面積的最小值為（）

A.2V7B.4V7C.2D.4

【解題思路】寫出面積表達式，從而得到當PQ與直線垂直時面積最小，代入數據計算即可.

【解答過程】由題意得P414Q,PBLAQ,<2（4,2）,

S四邊形PAQB=2sAPAQ=2>加力|MQ|=2\PA\=PQ2-4,

當PQ垂直直線x+y+2=o時，|PQ|min=弋歲=4近，

?1?（S四邊形PAQB）min=4近，

【變式7-2]（2024高三?全國?專題練習）設尸為直線x—y=。上的動點，PA,依為圓C：（x-2）2+y2=1

的兩條切線，切點分別為/，B,則四邊形4PBC的周長的最小值為（）

A.3B.2+V3C.4D.2+2V3

【解題思路】根據給定條件，利用圓的切線長定理將四邊形周長表示為|PC|的函數求解.

【解答過程】依題意，圓（x-2）2+y2=1的圓心c（2,0）,半徑r=l,

AC1PA,\PB\=\PA\=J\PC\2-1,

因此四邊形4PBC的周長I=2\PA\+2\AC\=27|PC|2-1+2,

2

而=V2,當且僅當PC垂直于直線x-y=O時取等號,

|PC|min=7i2+（-i）2

所以四邊形4P8C的周長的最小值為4.

【變式7-3］（2024?全國?模擬預測）已知4（—3,0）,8（0,3）,設C是圓Ml+、2-2%一3=0上一動點,則△4BC

面積的最大值與最小值之差等于（）.

A.12B.6V2C.6D.3V2

【解題思路】求出C到直線力B的距離的最大值與最小值，結合面積公式做差即可得.

【解答過程】因為直線4B與圓M:（x—l）2+y2—4相離，

設圓心到直線=x+3的距離為d,

則d=^=2?又圓M的半徑為2,

所以C到直線4B的距離的最小值為d-r=2V2-2,

C到直線48的距離的最大值為d+r=2e+2,

因此△4BC面積的最大值與最小值之差等于：

嚶［（2V2+2）-（2或-2）］=苧X4=6V2.

故選：B.

【題型8數量積型最值（范圍）問題】

【例8】（2024?陜西安康?模擬預測）在平面直角坐標系中，曲線y=/-4x+l與坐標軸的交點都在圓C上，

4B為圓C的直徑，點P是直線3久+4丫+10=0上任意一點；則刀?麗的最小值為（）

A.4B.12C.16D.18

-2

【解題思路】由題意求出圓C的方程，根據數量積的運算律求得刀?麗的表達式PC-4,確定當I定I為圓

心到直線3x+4y+10=0的距離時，PA-方取最小值，結合點到直線的距離即可求得答案.

【解答過程】對于曲線y=/-4x+1,令x=0,則y=l；令y=0,貝i］x=2±g,

曲線y=x2-4x+1與坐標軸的交點分別為（0,1）,（2-舊,0）,（2+V3,0）,

設圓心C(2,t),由J(0—2)2+(l—t)2=J(2+VJ—2)2+(0—t)2,得t=l,

則圓心為C(2,l),半徑為2,所以圓C方程為(x-2)2+(y—1)2=4,

PA-PB=(PC+CA)-^PC+CB)=PC2+(CA+CB)-PC+CA-CB=PC2-4,

當|無I最小，即為圓心到直線3刀+4、+10=0的距離時，刀?麗取到最小值，

圓心C(2,l)到直線2:3%+4y+10=0的距離設為d,則d==4,

所以|玩|最小值為4,則麗?麗的最小值為42-4=12,

故選：B.

【變式8-1](2024?全國?模擬預測)已知圓。是圓心為原點的單位圓，48是圓。上任意兩個不同的點，M

(2,0),則|加+而|的取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,6)

【解題思路】設C為弦4B的中點，貝山加+麗|=2|而后由圖形結合C點在圓內部可得答案.

【解答過程】設C為弦48的中點，則|加+話|=2|標因為48兩點不重合，則直線與圓O相交，

所以點C在圓。內.

考慮點。為圓上或圓內一點，如圖當且僅當。，O,M三點共線時，最長為|MO|+|0。|=3,因C在

圓內，則|MC|<3；

考慮點E為圓上或圓內一點，如圖當且僅當O,E,"三點共線時，|EM|最短為|MO|—|。回=1,因C在圓

內，則

綜上,當點C在圓。內時，\MC\&(1,3),則|以+麗|=2|前|c(2,6).

故選：D.

【變式8-2]（2024?河南開封?二模）已知等邊△4BC的邊長為方，尸為△4BC所在平面內的動點，且|萬?

|=1,則而?麗的取值范圍是（）

A.[-1目B.C.[1,4]D.[1,7]

【解題思路】首先建立平面直角坐標系且4（-孚0）,B（亨,0）,C（0,|）,進而確定P的軌跡圓，再利用向量數

量積的坐標表示并結合所得表達式的幾何意義求范圍即可.

【解答過程】如下圖構建平面直角坐標系，且做-郛），5（^,0）,C（0,|）,

所以P（x,y）在以4為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為（x+字<+>2=1,

而而=（^-x,-y）^PC=（-x,|-y）,故而?~PC=x2-x+y2-|y=O-乎）+（y-1）2-1,

綜上，只需求出定點（霽）與圓（久+亨）+產=1上點距離平方的范圍即可，

而圓心4與（孚怖）的距離d=J（^+^）2+（1）2=|,故定點除》與圓上點的距離范圍為四，

4T-\424444乙乙

所以麗■PCe[-iy].

故選：B.

【變式8-3]（2024?河北唐山?二模）已知圓C：/+（y—3產=4,過點（0,4）的直線，與x軸交于點P,與圓C

交于4B兩點，則而?（方+方）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

【解題思路】作出線段4B的中點D,將不+而轉化為2而，利用垂徑定理，由圖化簡得而?9？+而）=2|

CD\2,只需求|而|的范圍即可，故又轉化成求過點M（0,4）的弦4B長的范圍問題.

【解答過程】

如圖，取線段4B的中點D,連接CD,則CD14B,

SCP-（C4+CB）=2CP-CO=2（CD+DP）-CO=2|CD|2,

因直線/經過點M（0,4）,考慮臨界情況，

當線段中點。與點M重合時（此時CM14B）,弦長AB最小，此時CD最長，

為|CD|max=￡M|=4—3=1,（但此時直線Z與x軸平行，點P不存在）；

當線段4B中點。與點C重合時，點P與點。重合，CC最短為0（此時符合題意）.

故而?（CA+方）的范圍為［0,2）.

故選：D.

【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】

【例9】（2024?江西?模擬預測）已知點時是圓乂2+、2=1上一點，點可是圓。（刀—3）2+}72=3上一點，貝IUCMN

的最大值為（）

【解題思路】利用圓的最值問題和正弦定理即可求解.

【解答過程】圓％2+y2=1的圓心。（0,0）,半徑T1=1,

圓C:（x—3）2+y2=3的圓心C（3,0）,半徑上=W，

在三角形CMN中，|CN|=g,

根據正弦定理可得，1=導，即』=自，

所以sin/CAfN=V3sinzZWM

\CM\

因為|CM|N|CO|-ri=3—l=2,sinzCWM<1,

所以sin/CMNW孚,

因為所以NCMN是銳角,

所以“MN的最大值為去

故選：B.

【變式9-1］（2024?全國?模擬預測）已知直線Z：x—y+2=0與圓O：/+y2=i,過直線/上的任意一點p作圓

。的切線尸工,PB,切點分別為4,B,貝的最小值為（）

311—211—71—71

A4.彳—C.5D.q

【解題思路】由題意可得cos乙40P=高，可知當。尸最小時，乙40B最小，結合點到直線的距離公式運算

求解.

【解答過程】由題意可知：圓。：/+y2=i的圓心為。（0Q）,半徑為1,

則圓心。到直線/的距離為號=&>1,可知直線I與圓。相離，

V2

因為N40B=2/AOP,且cosNAOP=

當|0P|最小時，則C0SN40P最大，可得N40P最小，即“0B最小,

又因為|0P|的最小值即為圓心。到直線Z的距離為VL

此時cos乙40P=與乙AOP=p所以乙40B取得最小值與

故選：C.

【變式9-2］（23-24高一下?河南洛陽?期末）在平面直角坐標系久Oy中，已知。（0,0）,4律,0）,曲線C上任

一點M滿足10Ml=4|4M|,點P在直線y=魚（%-1）上，如果曲線C上總存在兩點到點P的距離為2,那么點P

的橫坐標t的范圍是（）

A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4

【解題思路】根據|。"|=4|/1陽可求出曲線c的方程，根據曲線c上總存在兩點到點P的距離為2,可得到點P

到圓心(4,0)的距離小于2+r,解不等式即可.

【解答過程】設M(x,y),因為M滿足|OM|=4|4M|

152

汽2+y2=16[(%——)+y2]

4

化簡得：。-4)2+y2=1

??.曲線C的方程：(x—4)2+y2=i,圓心(4,0),半徑r=l,

圓心(4,0)到直線y=遮(工—1)的距離d=詈=V6>r,

所以直線與圓相離，如圖所示：

設點「億魚(匕-1)),只需點P到圓心(4,0)的距離小于2+r即可.

此時點P在點Pi與點P2之間