§4.3三角函數的圖象與性質第四章三角函數、解三角形基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，

，(π，0)，

，(2π，0).(2)在余弦函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，

，

，

，(2π，1).知識梳理(π，－1)2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR_____________________值域___________________周期性____________

[－1,1][－1,1]2ππR2π奇偶性______________奇函數遞增區間____________________________________________遞減區間______________________________無對稱中心____________________對稱軸方程___________________無奇函數偶函數[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]x＝kπ(kπ，0)1.對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是

個周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則：(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝

＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函數.(

)基礎自測×1234567×(3)正切函數y＝tanx在定義域內是增函數.(

)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(

)(5)y＝sin|x|是偶函數.(

)√××題組二教材改編2.[P35例2]函數f(x)＝

的最小正周期是___.π1234567答案解析4.[P45T3]y＝tan2x的定義域是_____________________.解析123456答案7答案題組三易錯自糾5.下列函數中最小正周期為π且圖象關于直線x＝

對稱的是√1234567解析6.函數f(x)＝4sin的單調遞減區間是______________________.123456解析7答案所以要求f(x)的單調遞減區間，12345677.cos23°，sin68°，cos97°的大小關系是________________________.123456解析7sin68°>cos23°>cos97°答案解析

sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是減函數，∴sin68°>cos23°>cos97°.題型分類深度剖析題型一三角函數的定義域和值域自主演練√答案解析解析答案解析方法一要使函數有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示.再結合正弦、余弦函數的周期是2π，方法二利用三角函數線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).解析答案解析答案4.(2018·長沙質檢)函數y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為____________.解析

設t＝sinx－cosx，當t＝1時，ymax＝1；(1)三角函數定義域的求法求三角函數的定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.(2)三角函數值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所給的三角函數式變換成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；③通過換元，轉換成二次函數求值域.思維升華解析答案題型二三角函數的單調性多維探究命題點1求三角函數的單調性√解析答案命題點2根據單調性求參數解析答案本例中，若已知ω>0，函數f(x)＝

在

上單調遞增，則ω的取值范圍是_______.解析引申探究答案解析函數y＝cosx的單調遞增區間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，(1)已知三角函數解析式求單調區間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調區間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，可借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯.(2)已知三角函數的單調區間求參數.先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解.思維升華答案√解析命題點1三角函數的周期性題型三三角函數的周期性、奇偶性、對稱性多維探究典例(1)在函數①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝

，④y＝

中，最小正周期為π的所有函數為A.①②③

B.①③④C.②④

D.①③解析答案√解析

①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期為π；②由圖象知y＝|cosx|的最小正周期為π；(2)若函數f(x)＝

的最小正周期T滿足1<T<2，則自然數k的值為________.解析又k∈Z，∴k＝2或3.答案2或3命題點2三角函數的奇偶性典例(2017·銀川模擬)函數f(x)＝

，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為______.解析由題意知f(x)為偶函數，關于y軸對稱，解析答案命題點3三角函數圖象的對稱性典例

(1)(2018·武漢模擬)若函數y＝

(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是

，則ω的最小值為_____.∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.解析答案2答案9解析所以ω＝2k＋1(k∈N)，由此得ω的最大值為9.(1)對于函數y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點.(2)求三角函數周期的方法①利用周期函數的定義.②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為

，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為

.思維升華解析答案√解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，(2)若將函數f(x)＝

的圖象向右平移

個單位長度后與原函數的圖象關于x軸對稱，則ω的最小正值是_____.答案3解析三角函數的圖象與性質高頻小考點縱觀近年高考中三角函數的試題，其有關性質幾乎每年必考，題目較為簡單，綜合性的知識多數為三角函數本章內的知識，通過有效地復習完全可以對此類題型及解法有效攻破，并在高考中拿全分.考點分析解析答案√(2)函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為____________________.答案解析解析答案π解析記f(x)的最小正周期為T.可作出示意圖如圖所示(一種情況)：課時作業1.(2018·廣州質檢)下列函數中，是周期函數的為A.y＝sin|x| B.y＝cos|x|C.y＝tan|x| D.y＝(x－1)0基礎保分練12345678910111213141516解析∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函數.解析答案√答案12345678910111213141516√解析答案12345678910111213141516解析函數y＝sinx2為偶函數，排除A，C；解析3.函數y＝sinx2的圖象是√4.(2017·成都診斷)函數y＝cos2x－2sinx的最大值與最小值分別為A.3，－1 B.3，－2

C.2，－1 D.2，－2解析答案√解析y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，則t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

函數f(x)的周期為2π，A錯；f(x)的值域為[0，＋∞)，B錯；7.函數y＝

的單調遞減區間為_______________________.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析8.(2018·福州質檢)函數y＝cos2x＋sinx的最小值為_______.答案解析123456789101112131415169.已知函數f(x)＝

＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，其中ω為常數，且ω∈(1,2)，則函數f(x)的最小正周期為_____.答案10.(2018·珠海模擬)設函數f(x)＝

，若存在這樣的實數x1，x2，對任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為_____.解析12345678910111213141516答案2解析|x1－x2|的最小值為函數f(x)的半個周期，又T＝4，∴|x1－x2|的最小值為2.11.已知f(x)＝

.(1)求函數f(x)圖象的對稱軸方程；12345678910111213141516解答(2)求f(x)的單調遞增區間；12345678910111213141516解答(3)當x∈時，求函數f(x)的最大值和最小值.12345678910111213141516解答12.(2017·武漢調研)已知函數f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函數f(x)的單調增區間；解答12345678910111213141516解

f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b12345678910111213141516(2)當x∈[0，π]時，函數f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值.解答1234567891011121314151612345678910111213141516技能提升練12345678910111213141516解析13.(2018·太原模擬)若f(x)＝3sinx－4cosx的一條對稱軸方程是x＝a，則a的取值范圍可以是答案√12345678910111213141516則sin