高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價十五正弦、余弦定理的綜合應用含答案十五正弦、余弦定理的綜合應用(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·黃岡高一檢測)在△ABC中,a=3,b=32,C=60°,則S△ABC=(A.23 B.32 C.3 D.【解析】選D.在△ABC中,a=3,b=32,C=60°,則S△ABC=12absinC=12×3×32×2.(5分)△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a,則ba=(A.23 B.22 C.3 D.2【解析】選D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB=2sinA,所以ba=23.(5分)(2024·長沙高一檢測)如圖,在△ABC中,已知B=45°,D是BC邊上的一點,AD=10,AC=14,DC=6,則AB的長為()A.53 B.56 C.62 D.10【解析】選B.在△ADC中,cos∠ADC=102+62-1422×10×6=-12,因為0<∠ADC<π,所以∠ADC=2π3,所以∠ADB=π3,在4.(5分)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若a2-c2=3b,且sinB=8cosAsinC,則b=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,sinB=8cosAsinC,則sin(A+C)=8cosAsinC,整理得sinAcosC=7cosAsinC,利用正弦定理和余弦定理得a×a2+b2-c22ab=7c×b2+c2-a22bc,整理得4a2=3b2+4c2,故4(a2-c2)=3b5.(5分)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1,且AC邊上的中線BM=32,則c=(A.3 B.7C.1或2 D.2或3【解析】選C.因為b-3asinA=bcos2A,所以sinB-3sin2A=sinB(1-2sin2A),所以3sin2A=2sinBsin2A,因為A∈(0,π),所以sinA≠0,所以sinB=32,所以cosB=12或-12,因為BM是AC邊上的中線,所以=12(+),兩邊平方得,||2=14(+)2=14(||2+2·+||2),即34=14(c2+2cacosB+a當cosB=12時,34=14(c2+c+1),即c2解得c=1或-2(舍去);當cosB=-12時,34=14(c2-c+1),即c2解得c=2或-1(舍去),綜上所述,c=1或2.6.(5分)(多選)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=32b=3,B=2C,則下列結論正確的是(A.sinC=63 B.a=C.a=c D.S△ABC=22【解析】選AB.因為B=2C,所以sinB=sin2C=2sinCcosC,由正弦定理知,bsinB=因為c=32b,所以cosC=33,sinC=1-由余弦定理知,c2=a2+b2-2ab·cosC,所以9=a2+(23)2-2a·(2即a2-4a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,則A=C=π4,此時cosC=2與題意不符,所以a=1=c3S△ABC=12ab·sinC=12×1×23×63=7.(5分)(2024·南京高一檢測)在△ABC中,AB=2,AC=3,cosA=23,則其外接圓的面積為________【解析】根據題意,由0<A<π,cosA=23,得sinA=1-(又根據余弦定理得BC2=AB2+AC2-2|AB||AC|cosA=4+9-2×2×3×23所以BC=5,則2R=BCsinA=5×35=3,解得R=32,所以△ABC外接圓面積為S=πR答案:9π8.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=27,b=4,A=120°,則△ABC的面積為________.

【解析】因為a=27,b=4,A=120°,c>0,又cosA=b2+c2-a22bc,所以cos120°=-12=42+c2-(2答案:23【補償訓練】(2024·福州高一檢測)△ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,若C=2π3,c=7,a=2,則△ABC的面積為____________【解析】由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab所以S△ABC=12absinC=12×2×1×32答案:39.(5分)(2024·聊城高一檢測)古希臘數學家海倫在其所著的《度量論》或稱《測地術》中給出了用三角形的三邊長表示三角形的面積的公式,即已知三角形的三條邊長分別為a,b,c則它的面積為S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,則△ABC的面積為__________.

【解析】因為△ABC的周長是18,且p=12(a+b+c),所以p因為sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,根據正弦定理可知,a∶b∶c=2∶3∶4,又△ABC的周長是18,所以a=4,b=6,c=8,所以S=p=9×(9-答案:31510.(10分)(2024·廈門高一檢測)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周長為2+5,求△ABC的面積【解析】(1)由題設a(acosB+bcosA)=2c,由正弦定理有a(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC,所以asin(A+B)=2sinC,而A+B=π-C,故asinC=2sinC,又sinC>0,所以a=2.(2)由(1)及已知,有cosA=b2+c2-可得b2+c2+bc=4,又a+b+c=2+5,即b+c=5,所以(b+c)2-bc=5-bc=4?bc=1,故S△ABC=12bcsinA=3【綜合應用練】11.(5分)(2024·呼和浩特高一檢測)在△ABC中,AD為∠A的平分線,D在線段BC上,若|AB|=2,|AD|=|AC|=1,則|BD|=()A.22 B.2 C.2 D.【解析】選B.如圖所示:依題意設∠BAD=∠CAD=θ,由S△ABC=S△ABD+S△ADC可得12|AB||AC|sin2θ=12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD即sin2θ=sinθ+12sinθ=32sin即2sinθcosθ=32sinθ,顯然sinθ可得cosθ=34在△ABD中,由余弦定理可得cosθ=|AB|2+|解得|BD|=2.12.(5分)(多選)(2024·麗江高一檢測)在△ABC中,cosC2=255,BC=1,ACA.sinC=4B.△ABC的面積為2C.△ABC的周長為6+23D.AB邊上的中線長為22【解析】選ABD.A:由cosC2=2得cosC=2cos2C2-1=2×2552-1=3由sinC>0,得sinC=1-cos2C=B:由選項A知sinC=45,所以S△ABC=12AC·BCsinC=12C:由選項A知cosC=35,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=26-10×3由AB>0,得AB=25.所以△ABC的周長為6+25,故C錯誤;D:由選項C知AB=25,如圖,取AB的中點D,連接CD,則AD=BD=5,在△ABC中,由余弦定理,得cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=20+1-252×25×1=-55,在△DBC中,由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BD·BCcos13.(5分)(2024·攀枝花高一檢測)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2+b2-c22a-3c【解析】由a2+b2-c22由余弦定理得bcosC-3csinB=a,由正弦定理得sinBcosC-3sinCsinB=sinA,因為A=π-(B+C),即sinBcosC-3sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,即-3sinCsinB=cosBsinC,因為sinC≠0,則tanB=sinBcosB因為B∈(0,π),故B=5π6答案:5π14.(10分)(2024·鄭州高一檢測)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點D是AC邊的中點,且2asinC+bsinB+3csinA=(a+c)(sinA+sinC).(1)求角B的大小;(2)若a=3,BD=132,求邊c的值【解析】(1)由題意及正弦定理知2ac+b2+3ac=(a+c)2,所以b2=a2+c2-3ac,所以cosB=a2+c因為0<B<π,所以B=π6(2)因為點D是AC邊的中點,=12(+),兩邊同時平方可得,4=++2||||cosB,因為a=||=3,BD=132,cosB=32所以4×134=c2+(3)2+2c×即c2+3c-10=0,解得c=-5(舍)或c=2.故邊c的值是2.15.(10分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設AB=5,求AB邊上的高.【解析】(1)因為A+B=3C,A+B+C=π,所以C=π4,B=3C-又因為2sin(A-C)=sinB,所以2sinAcosC-2cosAsinC=sin3π4-A,所以2sinAcosC-2cosAsinC=sin3π4cosA-cos3π4sin代入數據得2sinA-2cosA=22cosA+22sinA,整理即得22sinA=3所以sinA=3cosA.又因為sin2A+cos2A=1,0<A<π,所以sinA=310(2)由(1)知sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=255asinA=bsin得a=35,由三角形面積公式S=12acsinB=12ABh,解得h十四正弦定理(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·西安高一檢測)在△ABC中,下列式子與sinAa的值相等的是(A.bc B.sinBsinA C.sin【解析】選C.在△ABC中,由正弦定理知asinA=bsinB=csinC,所以sinAa=【補償訓練】(2024·綿陽高一檢測)△ABC的內角A,B,C對邊分別為a,b,c若A=120°,a=3,則2b-c2sinA.12 B.3 C.32 D【分析】由正弦定理知b=2sinB,c=2sinC,代入問題中即可得到答案.【解析】選D.由正弦定理知,bsinB=csinC=則b=2sinB,c=2sinC,故2b-c2sin2.(5分)(2024·成都高一檢測)在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,則C等于()A.45° B.60°或120°C.135° D.45°或135°【解析】選D.由題意,在△ABC中,a=52,c=10,A=30°,由正弦定理得,asinA=即sinC=csinAa=10×sin30°因為c>a,所以C>A,所以C=45°或135°.3.(5分)(2024·北京高一檢測)在△ABC中,若a=2,∠A=π6,cosC=-13,則c=(A.33 B.23 C.839【解析】選D.cosC=-13,C∈(0,π),則sinC=1-cos2C=223,a=2,∠A=π6,由正弦定理可知,c4.(5分)在△ABC中,a=bsinA,則B=()A.30° B.45°C.60° D.90°【解析】選D.由題意可知asinA=b=bsinB,則sinB=1,又B∈(0,π),故B為直角,5.(5分)已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊,且滿足acosA=bcosB=ccosC,則A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.由正弦定理asinA=bsinB=csinC,及acosA=bcosB=ccosC,得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC6.(5分)(多選)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.根據下列條件解三角形,其中有兩解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°【解析】選BC.選項A:因為A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三個角是確定的值,故只有一解.選項B:因為sinC=csinBb=8315<1,且c>b,所以角C有兩解.選項C:因為sinB=bsinAa=427<1,且b>a,所以角B有兩解.選項D:因為sinB=b7.(5分)(2024·六盤水高一檢測)在△ABC中,AB=2,B=120°,A=30°,則△ABC外接圓的半徑為____________.

答案:2【解析】因為AB=2,A=30°,B=120°,可得C=30°,由正弦定理得△ABC外接圓的半徑R=12·ABsin8.(5分)在△ABC中,a,b分別是△ABC的內角A,B所對的邊.若B=45°,b=2a,則A=________.

答案:30°【解析】由正弦定理,得ab=sin所以sinAsin45°=a2a,所以sin因為b=2a,所以a<b,則A<B,所以A=30°.9.(5分)(2024·金華高一檢測)在△ABC中,a=32,c=3,A=45°,則△ABC的最大內角等于________.

答案:105°【解析】由正弦定理可得asinA=csinC?32sinC=csinA?sinC=12,由于a=32>c=3,所以A>C,故C=30°,故B=180°-10.(10分)在△ABC中,已知b=63,c=6,C=30°,求a的值.【解析】由正弦定理bsinB=得sinB=bsinCc因為b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°.當B=60°時,A=90°,a=csinAsinC當B=120°時,A=30°,a=csinAsinC所以a=6或12.【綜合應用練】11.(5分)在△ABC中,已知∠B=30°,c=2,則“b=2”是“∠C=45°”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.∠B=30°,c=2,b=2,則sinC=csinBb=2×122=22,C∈(0,π),則C=45°或135°,故“b=2”12.(5分)(多選)在△ABC中,若(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,下列結論中正確的有()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC的最大內角是最小內角的2倍D.若c=6,則△ABC外接圓的半徑為8【解題指南】先根據題意求出a,b,c,結合正弦定理可得A,D的正誤,結合余弦定理可得B,C的正誤.【解析】選ACD.由題意,設a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x,解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,所以A正確;由以上可知C最大,cosC=(4x)2所以C為銳角,所以B錯誤;由以上可知A最小,cosA=(5x)2cos2A=2cos2A-1=2×916-1=1即cosC=cos2A,因為C為銳角,2A為銳角,所以C=2A,所以C正確;因為cosC=18,所以sinC=1-cos2設△ABC外接圓的半徑為r,則由正弦定理可得2r=csinC=1677.所以r=87【補償訓練】下列命題正確的是()①在△ABC中,“tanA>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要條件.②在△ABC中,cosA<cosB?A>B?a>b.③在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,當a2+c2-b2>0時,△ABC為銳角三角形.④在△ABC中,asinA=⑤在三角形中,已知兩邊和一角,則該三角形唯一確定.A.①②③ B.①②④C.③④⑤ D.①④⑤【解析】選B.①tanA>tanB,即sinAcosA若cosB<0,則有B>π2>A,此時a<b若a>b,可能cosA<0,此時sinAcosA即tanA<tanB,故“tanA>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要條件,故正確;②若cosA<cosB,由A、B∈(0,π),y=cosx在(0,π)內單調遞減,故A>B,若sinA≤sinB,則有B≥π-A,即A+B≥π,與在△ABC中矛盾,故有sinA>sinB,由asinA=bsinB,故即cosA<cosB?A>B?a>b,若a>b,由asinA=bsinB,則有sin即有0<B<A<π-B或0<π-B<A<B<π,若0<π-B<A<B<π,此時π-B<A,即A+B>π,與在△ABC中矛盾,故0<B<A<π-B,即有A>B,由y=cosx在(0,π)內單調遞減,故cosA<cosB,即a>b?A>B?cosA<cosB,即cosA<cosB?A>B?a>b,故正確;③由a2+c2-b2>0,則cosB=a2即B為銳角,但A或C可能為鈍角,故錯誤;④在△ABC中,設R為其外接圓的半徑.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<sinA+sinB,故sinA+sinB-sinC≠0,由asinA=bsinB=csinC2RsinA故asinA=a+⑤已知兩邊和一角,例如A=π6,a=2,b此時sinB=b·sinAa=34,有sinB>sin故有兩個解,即該三角形并不唯一確定,故錯誤.13.(5分)(2024·臺州高一檢測)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知B=θ,b=2,c=2,若△ABC有兩解,則θ的取值范圍是____________.

答案:0,π4【解析】由正弦定理得:bsinB=csinC,