試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．已知集合，1，，，則．2．設是橢圓的長軸，點在上，且，若，，則的兩個焦點之間的距離為．3．設隨機變量服從二項分布，若，則．4．已知復數是虛數單位），則的共軛復數是．5．已知，，且，則的最小值為．6．已知角的終邊經過點，那么的值是．7．若函數的定義域為，則的取值范圍是．8．若的二項展開式中，存在相鄰兩項，滿足后一項的系數是前一項系數的2倍，，則這樣的正整數有個．9．已知在矩形中，，，為的中點，，則．10．設橢圓的標準方程為，若斜率為1的直線與橢圓相切同時亦與圓為橢圓的短半軸）相切，記橢圓的離心率為，則．11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱體積的最大值為．12．函數，，的值域為．二．選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，，則 B．，，則 C．，，，則 D．，，，，則14．對于函數，有如下兩個結論：甲：，乙：遞增，則下列說法正確的是A．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 B．甲是乙的必要而不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的充分而不必要條件15．據統計2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數服從正態分布，，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數不少于1700的概率為附：，，，A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.998716．數列滿足，，．設，記表示不超過的最大整數．設，若不等式，對恒成立，則實數的最大值為A．2020 B．2019 C．1010 D．1009三．解答題（共5小題，滿分46分）17．（14分）在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求的最大值；（2）求的取值范圍．18．（14分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）若平面，，，點為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．19．（14分）某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數的分布列為4560.4其中，．（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為（單位：元），設時的概率為，求當取最大值時，利潤的分布列和數學期望；設某數列滿足，，，若，求的最小值．20．（16分）已知橢圓經過點，點為橢圓的右焦點．（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線，，直線與橢圓相交、，直線與橢圓相交、兩點，求四邊形的面積的最小值．21．（18分）若函數滿足，稱為的不動點．（1）求函數的不動點；（2）設．求證：恰有一個不動點；（3）證明：函數有唯一不動點的充分非必要條件是函數有唯一不動點．

【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．．2．3．4．5．456．7．，8．6739．10．11．12．二．選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．14．15．16．三．解答題（共5小題，滿分46分）17．（14分）解：（1）由余弦定理得，因為，所以，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，因為，所以，所以的最大值為； 7分（2）因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以由正弦定理得，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，由（1）知，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，即的取值范圍為． 14分18．（14分）（1）證明：連接，交于，連接，在正方形中，可得為，的中點，為的中點，在中，可得，又因為平面，平面，所以平面； 7分（2）解：因為平面，以為坐標原點，以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，因為，則，0，，，0，，，4，，，4，，設，0，，則，4，，，則，0，，所以，，，，0，，因為，所以，即，解得，可得，0，，，，，，0，，，0，，，4，，設，，，點為線段上，，即，，，，，，，所以，即，，，即，，，所以，，，設平面的法向量為，，，，0，，，4，，則，即，令，可得，，，所以，，．所以，，設直線與平面所成的角為，且，，，，所以直線與平面所成角的正弦值為． 14分19．（14分）解：（1）方法1：設恰有一位顧客選擇分4期付款的概率的概率為．由題可知：，則．方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，所以．4分（2）（ⅰ）由題可得的值分別為4000，4500，5000，5500，6000．，，，，，所以，取最大值的條件為所以分布列為：400045005000550060000.160.240.330.180.09．9分（ⅱ）解：由題可得，所以，化簡得，即是等比數列，首項為，公比為，所以，化簡得由題可知：（1）由題可知：，顯然對所有都成立；（2），也是對所有都成立；（3）當為偶數時，上述不等式恒成立；當為奇數時，，解得即綜上所述，的最小值為5． 14分20．（16分）解：（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為． 6分（2）設直線的方程為，聯立，得：，△，設，，，，則，， 10分所以，同理可得， 14分則，當且僅當，即時取等號．所以四邊形的面積的最小值為． 16分21．（18分）解：（1）由題意，得，，得，，，即不動點為0，2，；3分（2）證明：當時，，，故0為函數的一個不動點，當時，求的解，即求的解，令，，求導得，當時，，，則，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，即對任意，，恒成立，即對任意，，恒成立，綜上所述，函數恰有一個不動點，為； 10分（3）證明：設，則函數有唯一不動點，由，可得，則函數的不動點不唯一，必要性不成立，另一方面，先證不動點是存在的，不妨設是的唯一不動點，即，令，則，那么，，而，故，這說明是的不動點，由只有一個不動點知，，從而，這說明是的不動點，存在性得證；再證唯一性，若還有另一個不動點，即，則，這說明還有另一個不動點，與題設矛盾，綜上所述，函數有唯一不動點的充分非必要條件是函數有唯一不動點． 18分【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（上海專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．已知集合，1，，，則．【答案】．【分析】可求出集合，然后進行交集的運算即可．【解答】解：，1，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了列舉法、描述法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．設是橢圓的長軸，點在上，且，若，，則的兩個焦點之間的距離為．【分析】由題意畫出圖形，設橢圓的標準方程為，由條件結合等腰直角三角形的邊角關系解出的坐標，再根據點在橢圓上求得值，最后利用橢圓的幾何性質計算可得答案．【解答】解：如圖，設橢圓的標準方程為，由題意知，，．，，點的坐標為，因點在橢圓上，，，，，則的兩個焦點之間的距離為．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的定義、解三角形，以及橢圓的簡單性質的應用．3．設隨機變量服從二項分布，若，則．【答案】．【分析】由隨機變量服從二項分布可得，然后利用即可得到答案．【解答】解：因為隨機變量服從二項分布，所以，所以，因為，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了二項分布的概率公式，屬于基礎題．4．已知復數是虛數單位），則的共軛復數是．【答案】．【分析】根據題意，利用復數的運算法則，求得，結合共軛復數的概念，即可求解．【解答】解：因為，所以，且，所以，則其共軛復數為．故答案為：．【點評】本題考查復數的運算，屬于基礎題．5．已知，，且，則的最小值為．【答案】45．【分析】利用乘1法，結合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，，，當且僅當，時等號成立，故答案為：45．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，解題的關鍵是對已知式子進行合理的變形，屬于中檔題．6．已知角的終邊經過點，那么的值是．【答案】．【分析】根據任意角的三角函數的定義，，化簡可得結果．【解答】解：由任意角的三角函數的定義得．故答案為：．【點評】本題考查任意角的三角函數的定義，屬于容易題．7．若函數的定義域為，則的取值范圍是．【答案】，．【分析】根據二次根式以及二次函數的性質得到關于的不等式，解出即可．【解答】解：由題意得：在恒成立，故△，解得：，故的取值范圍是，，故答案為：，．【點評】本題考查了求函數的定義域問題，考查二次根式以及二次函數的性質，是基礎題．8．若的二項展開式中，存在相鄰兩項，滿足后一項的系數是前一項系數的2倍，，則這樣的正整數有個．【答案】673．【分析】由題意可得，利用組合數公式計算可得，由，可求得的取值范圍，從而得解．【解答】解：根據題意，設相鄰兩項為第項和第項，則有，即，可得，即，因為，所以，解得，所以有673個，所以有673個．故答案為：673．【點評】本題主要考查二項式定理，組合數公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．9．已知在矩形中，，，為的中點，，則．【分析】畫出圖形，建立坐標系，求出相關點的坐標，然后求解向量的數量積即可．【解答】解：如圖：建立坐標系，由題意可知，，，，，，可得，，所以．故答案為：．【點評】本題考查向量的數量積的求法與應用，利用向量的坐標運算，能夠簡化解題過程，是中檔題．10．設橢圓的標準方程為，若斜率為1的直線與橢圓相切同時亦與圓為橢圓的短半軸）相切，記橢圓的離心率為，則．【答案】．【分析】設出切線方程，代入橢圓方程推出、、的關系，利用直線與圓相切結合，求解離心率即可．【解答】解：設切線方程為，代入橢圓方程可得：因為相切△，直線與圓相切可得：，或（舍去）則有，因為，所以可得．故答案為：．【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，直線與圓相切關系的應用，是中檔題．11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱體積的最大值為．【答案】．【分析】設圓柱的底面半徑為，高為，由相似得，求出圓柱體積，利用導數求得最大值．【解答】設圓柱的底面半徑為，高為，則由相似可得，即．令，結合，則，圓柱的體積，，時，，時，，即當，單調遞增；當，單調遞減，所以當時，．故答案為：．【點評】本題考查幾何體的體積的最值的求解，導數的綜合應用，屬中檔題．12．函數，，的值域為．【答案】．【分析】根據正切函數的單調性即可求出的范圍，然后根據不等式的性質即可求出原函數的值域．【解答】解：，，，原函數的值域為：．故答案為：．【點評】本題考查了正切函數的單調性，不等式的性質，考查了計算能力，是基礎題．二．選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，，則 B．，，則 C．，，，則 D．，，，，則【答案】【分析】對于，或；對于，由面面垂直的判定定理得；對于，與平行或異面；對于，與相交或平行．【解答】解：，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，對于，，，則或，故錯誤；對于，，，則由面面垂直的判定定理得，故正確；對于，，，，則與平行或異面，故錯誤；對于，，，，，則與相交或平行，故錯誤．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間思維能力，是中檔題．14．對于函數，有如下兩個結論：甲：，乙：遞增，則下列說法正確的是A．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 B．甲是乙的必要而不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的充分而不必要條件【答案】【分析】利用導數與函數單調性的關系、簡易邏輯的判定方法即可判斷出結論．【解答】解：由函數在定義域上單調遞增，例如取，則在時單調遞增，，但是在時單調遞減．反之：在定義域上遞增，可得，無法得出．甲是乙的既不充分也不必要條件，故選：．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．據統計2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數服從正態分布，，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數不少于1700的概率為附：，，，A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【答案】【分析】根據題意，由正態分布的性質可得，則有的值，由對立事件的概率性質即可得答案．【解答】解：根據題意，服從正態分布，，，則，則，則，故選：．【點評】本題考查正態分布的性質，涉及正態分布的對稱性，屬于基礎題．16．數列滿足，，．設，記表示不超過的最大整數．設，若不等式，對恒成立，則實數的最大值為A．2020 B．2019 C．1010 D．1009【答案】【分析】首先利用關系式的變換得到數列是以2為首項，3為公比的等比數列，進一步利用疊加法的應用求出數列的通項公式，再利用裂項相消法和恒成立問題的求出的最大值．【解答】解：數列滿足，，．整理得：，由于，所以數列是以2為首項，3為公比的等比數列；所以，故，，，所以，整理得：；所以；故，所以，故，由于，所以，故，所以；不等式，對恒成立所以，故實數的最大值為1010．故選：．【點評】本題考查的知識要點：數列的遞推關系式，數列的通項公式的求法，疊加法，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．三．解答題（共5小題，滿分46分）17．（14分）在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求的最大值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由余弦定理結合已知條件可得，再利用基本不等式可求出，從而可求出的最大值；（2）由已知條件結合基本不等式可得，再由正弦定理得，所以，由（1）知，則可求出的范圍，從而可求得結果．【解答】解：（1）由余弦定理得，因為，所以，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，因為，所以，所以的最大值為；（2）因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以由正弦定理得，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，由（1）知，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，即的取值范圍為．【點評】本題考查了正余弦定理和基本不等式在解三角形中的應用，屬于中檔題．18．（14分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）若平面，，，點為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）．【分析】（1）連接，由題意可證得，再由線面平行的判斷定理可證得結論；（2）建立空間直角坐標系，由題意可得各點的坐標，設的坐標，由題意，可得點的坐標，求出平面的法向量的坐標，求出直線的方向向量的坐標，求出兩個向量的的余弦值，進而求出直線與平面所成的角的正弦值．【解答】（1）證明：連接，交于，連接，在正方形中，可得為，的中點，為的中點，在中，可得，又因為平面，平面，所以平面；（2）解：因為平面，以為坐標原點，以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，因為，則，0，，，0，，，4，，，4，，設，0，，則，4，，，則，0，，所以，，，，0，，因為，所以，即，解得，可得，0，，，，，，0，，，0，，，4，，設，，，點為線段上，，即，，，，，，，所以，即，，，即，，，所以，，，設平面的法向量為，，，，0，，，4，，則，即，令，可得，，，所以，，．所以，，設直線與平面所成的角為，且，，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面平行的證法及用空間向量的方法求線面所成的角的正弦值，屬于中檔題．19．某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數的分布列為4560.4其中，．（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為（單位：元），設時的概率為，求當取最大值時，利潤的分布列和數學期望；設某數列滿足，，，若，求的最小值．【分析】（1）方法1：設恰有一位顧客選擇分4期付款的概率的概率為．由題可知：，然后求解即可．方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，利用相互獨立事件乘法乘積求解概率即可．（2）（ⅰ）由題可得的值分別為4000，4500，5000，5500，6000．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．（ⅱ）由題可得，得到，判斷數列是等比數列，然后分類求解的最小值．【解答】解：（1）方法1：設恰有一位顧客選擇分4期付款的概率的概率為．由題可知：，則．方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，所以．（2）（ⅰ）由題可得的值分別為4000，4500，5000，5500，6000．，，，，，所以，取最大值的條件為所以分布列為：400045005000550060000.160.240.330.180.09．（ⅱ）解：由題可得，所以，化簡得，即是等比數列，首項為，公比為，所以，化簡得由題可知：（1）由題可知：，顯然對所有都成立；（2），也是對所有都成立；（3）當為偶數時，上述不等式恒成立；當為奇數時，，解得即綜上所述，的最小值為5．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，數列與函數的應用，考查轉化思想以及計算能力，題目比較新穎，是難題．20．已知橢圓經過點