集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

（時(shí)間：120分鐘滿分:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.[2024?武昌模擬]若集合A={x?N*|x是4與10的公倍數(shù)},3={x?1000},

則An§=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.{20,30）

2.[2024?浙江名校聯(lián)考]設(shè)命題?：V〃GN,n2<3n+4,則p的否定為（）

A.V〃GN,〃2>3〃+4B.V〃?N,?2^3n+4

C.BnEN,*三3九+4D.BHEN,/>3"+4

3.[2024.成都診斷]設(shè)集合A={2,3,a2-2a-3},B={Q,3},C={2,a}.若BUA,

Anc={2},則a=（）

A.13B.i1C.lD.3

4.[2024?廣州調(diào)研]已知p：Q+2）（x—3）V0,q：|x—1|<2,則尸是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.[2024.濟(jì)南質(zhì)檢]“x>y”的一個(gè)充分條件可以是（）

]X

A.2x~y>2B.f>VC.->1D.xP>"

6.[2023?無(wú)錫模擬]已知實(shí)數(shù)a,6滿足如下兩個(gè)條件：（1）關(guān)于x的方程3必一2x—

21

溺=0有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根；（2匕+石=1.若對(duì)于上述的一切實(shí)數(shù)a,b,不等式。+

2。>川+2加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（—4,2）B.（-2,4）

C.（—8,-4]U[2,+8）D.（—8,-2]U[4,+8）

7.[2024.泰安模擬]在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個(gè)不等臂的天平稱取藥品.實(shí)驗(yàn)

一：小明將5克的祛碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)

驗(yàn)二：小芳將20克的祛碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡,

則在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共稱得的藥品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

8J2024.武漢質(zhì)檢］閱讀下面文字：“已知吸為無(wú)理數(shù)，若（也）于為有理數(shù)，則存

在無(wú)理數(shù)。=0=陋，使得次為有理數(shù)；若（6）小為無(wú)理數(shù)，則存在無(wú)理數(shù)。=

（也#，b=\［2,此時(shí)或=［（6十］/=（業(yè)日/=（小卜=2,為有理數(shù)依據(jù)

這段文字可以證明的結(jié)論是（）

A.（陋）d是有理數(shù)

B.（也）十是無(wú)理數(shù)

C.存在無(wú)理數(shù)a,。，使得小為有理數(shù)

D.對(duì)任意無(wú)理數(shù)a,b,都有力為無(wú)理數(shù)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.［2023?南京質(zhì)檢］設(shè)p=a+,，aGR,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.pN2/

B.“a>l”是“p>2g”的充分不必要條件

C.“p>3”是“a>2”的必要不充分條件

D.3tzG（3,+8）,使得2<3

10.［2024?太原質(zhì)檢］已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且x+2y=4,則下列結(jié)論正確的是

（）

21

A.孫三2B-+-^2C.2x+4v28D.x2+4y2<8

11.［2023?武昌模擬］早在公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何

中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng).畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類

中項(xiàng),其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.而今我們稱審為正數(shù)a,

b的算術(shù)平均數(shù)，幅為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式M

6>0）叫做基本不等式.已知實(shí)數(shù)a,6滿足a>0,b>0,a+b=2,

則下列結(jié)論正確的有（）

的最小值是21芋B.3/+02的最小值為3

C.2g+也的最大值為3D?的最小值是2

題號(hào)1~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9I10I11

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

［Ivl---Z7

12/2024?上海閔行質(zhì)檢］已知集合4={》4<1},3=H<0,若“xGA”是

“xdB”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是..

13.［2024.浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬］能夠說(shuō)明“若0<a<6<c,則a<6c”是假命題的一

組實(shí)數(shù)a,b,。的值依次為.

.b

14J2023?福州模擬］若。克不飽和糖水中含有6克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為/這個(gè)

質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖

水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式F->?(a>6>0,機(jī)>0),數(shù)學(xué)中常稱其為糖水

不等式.依據(jù)糖水不等式可得出log32logl510(用或“>”填空)，并

寫出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.（13分）［2024?天一大聯(lián)考］已知關(guān)于x的不等式『一ax—x+b<0.

（1）若此不等式的解集為{x|—求a,5的值；

（2）若。=。，求不等式的解集.

16.（15分）［2023?青島質(zhì)檢］已知集合A={x￡—x—12W0},B={X\JC-2X+1-

m^WO,m>0}.

（1）若機(jī)=2,求An（［RB）；

（2）x?A是xdB的條件，若實(shí)數(shù)機(jī)的值存在，求出機(jī)的取值范圍；若不

存在，說(shuō)明理由.（請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾虎诒匾怀浞郑虎鄢湟腥芜x一個(gè)，補(bǔ)充

到空白處）

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.（15分）［2024達(dá)州診斷］設(shè)函數(shù)人功=2廣

⑴若火防力（x+附的解集為{x|x＜0},求實(shí)數(shù)m的值;

（2）若0＜。＜5,且人0=火。），求2+占的最小值.

aD1

18.（17分）［2024.南通質(zhì)檢］為了控制某種病毒的傳播，某單位購(gòu)入了一種新型的空

氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中

釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)

0W無(wú)W4時(shí)，產(chǎn)占一1;當(dāng)4VxW10時(shí)，y=5—%.若多次噴灑，則某一時(shí)刻空

氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，

當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒

的作用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑,6小時(shí)后再噴灑a（lWaW4）個(gè)單位的消毒劑，

要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.（精確到0.1,參考數(shù)

據(jù)：也心1.4）

19.(17分)[2023?長(zhǎng)沙質(zhì)檢]已知函數(shù)人功=正=1+產(chǎn)G—3的定義域?yàn)榧螪,

最大值為機(jī)，記g(a,b,c)=7^~+-；/,其中a,b,c是正實(shí)數(shù).

b+cc+aa+b

⑴求m；

(2)VXF￡),求證：“x)Wg(a,b,c).

集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

1.C［因?yàn)锳={xCN*IX是4與10的公倍數(shù)}={x￡N*|x=2Qk,MN*}={20,40,

60,…},Q{xWR|Zl000},202=400—1000,402=1600>1000,所以4

n6={20},故選c.］

2.C［由題意可得，命題P：VZ7GN,4<3〃+4的否定為：3z?GN,z72^3z?+4.

故選C.］

3.B［因?yàn)獒t(yī)4所以才一23-3=0,

解得a=-1或a=3.

若a=-l,貝!|4=⑵3,0},C={2,一1},此時(shí)4n—{2},符合題意；若a

=3,則4={2,3,0},C={2,3},此時(shí)40仁{2,3},不符合題意.故選B.］

4.B［由題意知0：—2<T<3,(7：—1<JT<3.

因?yàn)?-1,3)(-2,3),所以p是q的必要不充分條件.故選B.］

5.D［由2r><=2，

得X—y>—l,

3

若x=l,y=~,則xVy成立,

所以由不能推出x>y；

由可得|x|>|引，不一定能推出x>y,例如當(dāng)￡=—3,y=2時(shí)，x>y

成立，但x>y不成立；

x

若亍>1,當(dāng)yVO時(shí)，可得xVy-

因此，選項(xiàng)A,B,C均不符合題意；

因?yàn)橛煽傻脁>y,但由不一定能推出所以那是*

的充分條件，所以選項(xiàng)D符合題意.

故選D.]

ab

6.A[設(shè)方程3x—2x—ab=Q的兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根分別為豆,用,則xx=—r<0,

12O

/.ab>0.

21

又一+7=1，/.a>0,b>0,

ab

則a+26=（石+2力化+鼻=4+?+”24+2、=8（當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2

\abjba\lba

時(shí)取“=”），由不等式a+28>/+2"恒成立，得瞽+2Z8,解得一4V/ZT<2.

???實(shí)數(shù)"的取值范圍是（一4,2）.故選A.]

7.C[設(shè)天平左、右兩邊臂長(zhǎng)分別為a,兒小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為

5a2065a

x,y,則由杠桿原理得：5a=bx,ay=20b,于是y=---，故x+尸

baKb+

—^2y隹二跡=20,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào).故選C.]

aba

8.C[題中文字并沒(méi)有明確說(shuō)明（娘）4是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，故A,B錯(cuò)誤；由

題意可知，無(wú)論（鏡）V是無(wú)理數(shù)，還是有理數(shù)，總存在無(wú)理數(shù)a,b,使得才為

有理數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選C.]

9.BC[對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)aVO時(shí)，顯然有p小于0,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，a>l時(shí)，p=a+2,2\/a?2=2蛆時(shí)取等號(hào)），故充分性成

a\[a

立，

而022鋪只需a>0即可，故B正確；

2

對(duì)于C項(xiàng)，2=〃+->3可得0<a<l或a>2,當(dāng)a>2時(shí),>3成立，故C正確;

a

22

對(duì)于D項(xiàng)，由Q3有a+/3+§>3,

故D錯(cuò)誤.故選BC.]

10.BC[A選項(xiàng)：4=x+2y>2d拓,

所以xjW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,

即x=2,尸1時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤;

2卜1x+2y4

B選項(xiàng):

xyxyxy

21

由A知xjW2,貝!|一十-22,故B正確;

xy

C選項(xiàng)：2*+4'22次口=2卷筋=

2卷=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2%即x=2,尸1時(shí)取等號(hào)，故C正確；

D選項(xiàng)：由x+2y=4,得16=:+44+2?x?2陋上+4卜+2><'+

即x+4y^8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,

即x=2,尸1時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.]

11.ABD

7+4福

(a+b)==2—

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=當(dāng),

aD

即a=4小一6,6=8—4福時(shí)取“="，A正確;

對(duì)于B,3,+方2=3，+(2—/=4(才-a+1)=4，-9+3,當(dāng)己=/6=^時(shí)，

3，+4取得最小值3,B正確；

對(duì)于C,由己+，=2,己>0,b>09

可令a=2sin2T,Z?=2COS2A[O<^<—j,

則2y[2+\ll)=2gsinx+鏡cosx

=gibsin(x+O),其中銳角O由

sinT2

sinx—

1JIJIVs

確定,顯然6Vx+(i><—+O,則當(dāng)x+6=3,即“]時(shí),

COS4>=~~j=cos

V5

__o9__

(2?+y[i),因此，當(dāng)a=~,人=工時(shí)，2寸^+,取最大值C不正

UU

確；

flfn6、M(2—a)2(2—2?)24—4己+4?4—46+8f44^,

對(duì)于D,-+-=------------+(——~——=-------------+——7——=-+v(-8+(az

ababab短b)

+力=(^+^1-6=2^+^?

\ab)\ab)

(&+近一6=2e+，+2)—622義(2+2)—6=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=l時(shí)取“=”，D

正確.故選ABD.]

12.{a\a>l}[由T<1,解得一1VxVL所以A={x\x<l}={x\—l<x<l}.

因?yàn)閒+222,所以不等式聽(tīng)手VO等價(jià)于Ix\-a<0.因?yàn)椤皒WZ”是“xGB”

的充分不必要條件，

所以ZB,所以院。，則a>0,

所以不等式|x|一aVO,

即|x|Va,解得一aVxVa,所以8=工學(xué)<。,={R一aVxVa,a>0),又

AB,所以a>l,即{a|a>l}.]

13.pI，答案不唯一)[由“若0<a<b<c,則a<bcn是假命題可得，存

在a,b,c滿足條件OVaVAVc,但a26c,

由此可得6>6c,故cVl,

若取c=J,a=；,貝心V6V),故可取故a,b,c的值依次為1)(答

乙qq乙oqj乙

案不唯一).]

14Y黑由14H(答案不唯一)[因?yàn)椤鉜log32VL所以可得：1密2

log2log2+llog2log10

-5<5，55

log53log53+l即log53V嬴商—l°g由10

因log32VlogudO,

In2In10In2+ln5

故有17百(11115=ln3+ln5'

即IHSH>黑，答案不唯一」

15.解⑴由不等式的解集為3—1VxVl},可知方程^-ax-x+b=o的兩根

a+l=—1+1=0,

為-1和1,則<

力=一1，

解得a=—1,b=—l.

(2)由6=a,原不等式可化為(a+l)x+aV0,因此(x—a)(^s■—1)<0.

當(dāng)aVl時(shí)，原不等式等價(jià)于aVxVl,

即不等式的解集為{xlaVxVl}；

當(dāng)a=l時(shí)，原不等式等價(jià)于(x—l)2V0,不等式的解集為。；

當(dāng)a>l時(shí)，原不等式等價(jià)于IVxVa,

即不等式的解集為{x|1VxVa}.

綜上，當(dāng)aVl時(shí)，不等式的解集為

{x\a<x<l}；

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為。；

當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集為{xllVxVa}.

16.解(1)由不等式/一又一12=(工一4)(x+3)W0,解得一3〈盡4,

可得Z={x|-34后4},

當(dāng)〃=2時(shí)，不等式

2x—3=(x—3)(x+l)W0,

解得一盡3,

即B={x[,

可得{x|xV—L或x>3},

所以Ad([R③={x|-3WxV-L

或3VW4}.

⑵由不等式x-2x-\-\—m=(￡一.一1)(x+7一1)40(卬>0),

解得

所以夕={x|1—777^^1+加，227>0}.

若選擇條件①，則集合力是6的真子集，

"1—/Z7^—3,

得</ZT+1^4,解得R24.

當(dāng)勿=4時(shí)，3={x|-3WW5},AB,符合題意.

所以存在滿足條件①的實(shí)數(shù)加，此時(shí)加的取值范圍為[4,+8).

若選擇條件②，則集合8是4的真子集，

’1—加2—3,

得<2Z7+1W4,解得0V辰3.

jn>0,

當(dāng)勿=3時(shí)，3={x|-2W后4},則6A,符合題意.

所在存在滿足條件②的實(shí)數(shù)如此時(shí)力的取值范圍為(0,3].

若選擇條件③，則集合4=8,

,1—/27=—3,

得《始卜1=4,無(wú)解，

jn>0,

所以不存在滿足條件③的實(shí)數(shù)m.

17.解⑴不等式可化為>2聲—，

故|X—11>|x+m—11,

兩邊同時(shí)平方可得：2mx<2m—而.

???原不等式的解集為{x|xV0},故勿>0,

即xVl一5故1—3=0,0=2.

(2)Tf(a)=fC6),

?QIa_11__r)\b-l\

即|a—11=|b—11.

'：a<b,：.(a-l)+(Z?-l)=O,即a+b=2,

%￡=€+占)匕+(~D]=5+,+片5+2心=9,

4(b—1)a

當(dāng)且僅當(dāng)

ab—19

即a=l，4

力=3時(shí)取“=”

oo

4,_1

的最小值為9.

ab~\

18.(1)解因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以其濃度為

64

寸4,54,

f{x)=4y=<

〔20—2石4<J<10,

64

當(dāng)0WW4時(shí)，由=一424,解得x20,此時(shí)0W后4；

OX

當(dāng)4VW10時(shí)，由20—2x24,解得痣8,此時(shí)4VW8,

綜上0WW8,所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑,則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí);

(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WM10)小時(shí)后，其濃度為

g()(2)a(8—(x—6)0

16a

=10—^'14-xa

16a

=14-xa—4,

14—x

因?yàn)?