2023年八升九數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)計(jì)劃

專(zhuān)題21二次函數(shù)綜合題一存在性等腰三角形類(lèi)

1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=（2/+汝一3與苫軸交于點(diǎn)4（6,0）,B（-L,0）,與y軸交于

點(diǎn)C,連接BC,過(guò)點(diǎn)N、C作直線2C.

（2）點(diǎn)P為直線4C下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PF1AC交力C于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作PEII4C交x軸于點(diǎn)￡,求

AE+PF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶在（2）問(wèn)的條件下，將拋物線丫=磔2+法—3沿射線。3方向平移祗個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線？，新拋

物線V與原拋物線交于點(diǎn)M；連接CP,把線段CP沿直線4C平移，記平移后的線段為C?:當(dāng)以P、M為

頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的P'點(diǎn)的坐標(biāo).

2.如圖，已知拋物線、=-%：2+6%+4與苫軸相交于/、8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,若已知/點(diǎn)的坐標(biāo)

（2）連接4C、BC,求線段BC所在直線的解析式；

⑶在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)尸，使AACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.如圖，直線y=—x+4與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線y=—始+bx+c經(jīng)過(guò)/,8兩點(diǎn)，與

X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,D、￡為直線48上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。一直在點(diǎn)E的左側(cè)，DE=&,FE1AC,GDI

AC,FGLOB,GD=1.

⑴求拋物線的解析式；

⑵設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)四邊形DEFG與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)D橫坐標(biāo)m的取值范圍；

⑶當(dāng)以N,E,尸為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

4.如圖，拋物線y=ax2+b%+3與x軸相交于點(diǎn)—B,對(duì)稱(chēng)軸是x=l,與y軸相交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)aPCB是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,^S^BCM=SABCP^若存在，求出點(diǎn)M的橫

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖1,拋物線y=—爭(zhēng)2+爭(zhēng)+g與無(wú)軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.將直線“以

點(diǎn)力為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，交y軸于點(diǎn)D,交拋物線于另一點(diǎn)E.

⑴求直線2E的解析式；

⑵點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△B4D的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶如圖2,將△ACD沿射線4E方向以每秒等個(gè)單位的速度平移，記平移后的△4CD為△4C7Z,平移時(shí)間

為t秒，當(dāng)△4C任為等腰三角形時(shí)，求t的值.

6.如圖①，拋物線Ci：y=/+2久一3與拋物線C2：y=a/+2a久一1組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線"，拋物線

心和拋物線心與x軸有著相同的交點(diǎn)4（—3,0）、3（點(diǎn)3在點(diǎn)/右側(cè)），拋物線Ci與了軸交點(diǎn)為G,拋物線C?

與了軸交點(diǎn)為

⑴求。的值.

⑵如圖①，點(diǎn)￡是點(diǎn)“關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接EG,點(diǎn)尸在x軸上，當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為何值時(shí)，

△EFG是以EG為底的等腰三角形？

⑶如圖②點(diǎn)M是x軸下方拋物線Ci上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNlx軸于點(diǎn)N,交拋物線C2于點(diǎn)。，試探

究：在M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，券的比值是否為一個(gè)定值；如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=|/+1-2與無(wú)軸交于4、2兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)）,

與〉軸交于點(diǎn)C,連接4C、BC.

⑴求的面積；

⑵如圖1,點(diǎn)。為線段AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE||y軸交線段4C于￡點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作EGIIBC交y

軸于點(diǎn)G,求DE+當(dāng)EG的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶如圖2,將拋物線沿射線C4方向平移緣個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線V，點(diǎn)M為原拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N為

新拋物線:/對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BMN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)

N坐標(biāo)其中一種情況的過(guò)程.

8.如圖，拋物線L:y=a久2+^+4與x軸交于點(diǎn)4(一1,0)、5(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線L向右平移一

個(gè)單位得到拋物線〃.

(1)求拋物線L與〃的函數(shù)解析式；

(2)連接4C,探究拋物線〃的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)aC,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存

在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.綜合與探究

如圖1,平面直角坐標(biāo)系％。y中，拋物線y=—/2+人％+3與汽軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一2,0),拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線分別交X軸

和直線BC于點(diǎn)。和點(diǎn)E.

⑴求拋物線及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)點(diǎn)E為線段DP的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,作射線。P,交直線BC于點(diǎn)F,當(dāng)AOB尸是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(4,0),C(8,0),D(8,-8),拋物線y=a/+版經(jīng)

過(guò)4C兩點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿線段4B向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)

動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PE1AB交4C于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)/的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF14。于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)f為何值時(shí)，線段EG的長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？

⑶連接EQ,是否存在t的值使AECQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t值若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考公

式：平面內(nèi)兩點(diǎn)匕。1,丫1)、。2(*2-2)間的距離JO1—冷產(chǎn)+(丫2—乃/)

11.綜合與探究

如圖1,拋物線＞=52+6%+3(￡1大0)與苫軸交于4(一2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線

在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作POlly軸交直線BC于點(diǎn)。，連接PC,PB,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為相.

圖1圖2

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)①請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示△PBC的面積.

②當(dāng)aPBC的面積為竽時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,在(2)②的條件下，點(diǎn)。是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線PQ交直線BC于點(diǎn)G,當(dāng)△CQG是等腰

三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.已知拋物線丫=a/+?+8與》軸交于4(一3,0),8(8,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖2,將直線BC沿y軸向下平移5個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)N.過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，交

直線MN于點(diǎn)。，是否存在一點(diǎn)尸，使△BMD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的加的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a久2+。久+c交x軸于點(diǎn)4(-4,0)、B(2,0),交y軸于點(diǎn)C

(0,6),在y軸上有一點(diǎn)E(0,—2),連接4E.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；

⑶拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△力EP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有尸點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

-1___

14.如圖，拋物線丫=一/2+爪％+?與％軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)

己知4(-l,0),C(0,2).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)如

果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶點(diǎn)F是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ACBF的面積最大？求出ACBF的最大

面積及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo).

15.如圖，已知拋物線y=/+。久+c(b,c是常數(shù))與x軸交于4(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P為

線段上的動(dòng)點(diǎn)(不與4、B重合)，過(guò)P作PQIIBC交拋物線于點(diǎn)Q,交4C于點(diǎn)D.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求△CPD面積的最大值；

⑶連接CQ，當(dāng)CQ1PQ時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑷點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以4。、。為頂點(diǎn)