中考大題07幾何中的最值問題在中考數(shù)學(xué)中，幾何最值問題的考察，在小題中通常是選擇或者填空題的壓軸問題；在解答題中偶爾也會(huì)作為壓軸題中的第2個(gè)小問題出，難度比較大，是對(duì)學(xué)生探究能力的綜合考察。在中考數(shù)學(xué)中常見的幾何最值問題是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)常考察，但是考到的時(shí)候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的時(shí)候才能有捷徑應(yīng)對(duì)。題型一：將軍飲馬模型大題典例1．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2a>0型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F0,14a的距離PF，始終等于它到定直線l：y=?14a的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=?14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=12a．例如，拋物線

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=14x【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線y=14x2上一點(diǎn)Px0,【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線y=14x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y=12x?3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y=ax2a>0平移至y=ax??2+ka>0．拋物線y=ax??2+ka>0內(nèi)有一定點(diǎn)F?,k+14a，直線l過點(diǎn)M?,k?14a且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離P請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點(diǎn)D?1,32是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y=142．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由解法指導(dǎo)變式訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kxx>0經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN2．（2023·甘肅隴南·三模）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)是AB邊上任意一點(diǎn)，則CD的最小值為______．（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值；（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是BC邊上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值？若存在，求出四邊形AGCD面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型二：費(fèi)馬點(diǎn)大題典例（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/解法指導(dǎo)【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)常見結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；2）對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長(zhǎng)度，即當(dāng)A,A’,P,P’四點(diǎn)共線時(shí)取最小值.【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練1．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接B（2）【問題探究】如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q①求證：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)S△PAD=2S△PBC，Q為2．（2022·山東德州·一模）若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時(shí)△ACP'≌△ABP，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫出PA+PB+PC的值．3．（2019·山西·一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：費(fèi)馬，17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡爾發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，使得∠APB=∠APC=∠BPC=證明：如圖②，把△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'∵_(dá)_______，∴△APP∴AP=PP∴PA+PB+PC=PP點(diǎn)C'可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，∴當(dāng)B、P、P'、這時(shí)∠BPA=180∠APC=∠AP∠BPC=360任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；（2）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2+題型三：阿氏圓大題典例1．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+12．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋12EP解法指導(dǎo)對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.變式訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PAPB=k（k>0且【模型建立】如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

第1步：一般將含有k的線段PB兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；第2步：在OB上取點(diǎn)C，使得OP2=OC?OB，即OCOP=第3步：連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖3）．【問題解決】如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，⊙O半徑為3，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B32,0，點(diǎn)P在弧MN上移動(dòng)，連接

(1)PA+2PB的最小值是多少？(2)請(qǐng)求出（1）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2020·山西·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問題．一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B的距離之比等于定比m:n，則點(diǎn)P的軌跡是以定比m:n(m:n≠1)內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，滿足PAPB=mn，點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上且MAMB下面是“阿氏圓”的證明過程（部分）：過點(diǎn)B作BD//AP交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∴∠A=∠ABD，∠APM=∠BDM．∴△APM∽△BDM．∴PABD又∵M(jìn)AMB∴PABD∴BD=BP．∴∠BPD=∠BDP．∴∠APD=∠BPD．如圖2，在圖1（隱去MD，BD）的基礎(chǔ)上過點(diǎn)B作BE//PN交AP于點(diǎn)E，可知NANB任務(wù)：（1）判斷PN是否平分∠BPC，并說明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?2,0)，B(1,0)，PA=2PB，則點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為________．題型四：胡不歸問題大題典例（2019·湖南張家界·中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔPBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+1解法指導(dǎo)【解題關(guān)鍵】在求形如“BC+kAC”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kAC相等的線段，將“BC+kAC”型問題轉(zhuǎn)化為“BC+CE”型.(若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可).變式訓(xùn)練1．（2021·四川綿陽·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是x＝－32且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求AP＋2PC的最小值；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若AB=m，函數(shù)y=ax2(1)求該拋物線的解析式；(2)如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G．當(dāng)函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于2時(shí)，求(3)在（2）的條件下，當(dāng)k取最大值時(shí)，函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，若過P作平行于x軸的直線交圖形G于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交函數(shù)y1=kx+1?2k的圖象于點(diǎn)R，D為線段RQ上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)R出發(fā)，沿RD→DP運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P停止，已知點(diǎn)C在RD上運(yùn)動(dòng)的速度為5單位長(zhǎng)度每秒，在DP上運(yùn)動(dòng)的速度為1單位長(zhǎng)度每秒．求當(dāng)點(diǎn)題型五：瓜豆原理大題典例在△ABC中，D為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到BE，連接DE與AB相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若D為AC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，AC=4，BD=29，連接AE，求線段AE(2)如圖2，G是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D在線段AC上，連接DG，EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，∠ADE=∠DBC，∠DBC＋∠G=∠EBF，證明(3)如圖3，若△ABC為等邊三角形，AB=62，點(diǎn)M為線段AC上一點(diǎn)，且2CM=AM，點(diǎn)P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EP，MP，EM，請(qǐng)直接寫出當(dāng)EP+MP最小時(shí)△EPM解法指導(dǎo)【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角;③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.【模型一】如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA【模型二】如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA變式訓(xùn)練1．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=23，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作圓．點(diǎn)P為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，作P'C⊥PC，使點(diǎn)P'落在直線BC的上方，且滿足P'（1）求∠BAC的度數(shù)，并證明△AP（2）如圖2，若點(diǎn)P在AB上時(shí)，連接BP'，求（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出當(dāng)BP2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)D和點(diǎn)C出發(fā)，沿著射線DA、射線CD運(yùn)動(dòng)，且DE＝CF，直線AF、直線BE交于H點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中：①求證：AF⊥BE；②在圖中畫出點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)路徑并求出點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中：①線段DH長(zhǎng)度的最小值為______．②線段DH長(zhǎng)度的最大值為_________．必刷大題刷模擬1．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=kx與直線y=2x+b交于(1)求m和n的值；(2)點(diǎn)C是直線x=?2上一點(diǎn)，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．2．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△OAB中，OB=3，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得OA'B'，連接【問題探究】（2）如圖2，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，CP，將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°【實(shí)際應(yīng)用】（3）如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，邊AB=10，AD=20，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，Q為△ADP內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)3．（2022九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．4．（23-24九年級(jí)上·天津北辰·階段練習(xí)）已知拋物線y=ax2+bx+3(a<0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B(?3,0)(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段PF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)F，當(dāng)線段PF取得最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若取線段BC的中點(diǎn)E，向右沿x軸水平方向平移線段BE，得到線段B'E'，當(dāng)C5．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝33x＋3和直線l2：y＝﹣3x＋b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1）求△ABC的面積；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF＋22OP6．（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長(zhǎng)；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝．7．（2023·江蘇淮安·二模）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)A是一只探照燈，距離地面高度AB=m，照射角度∠MAN=α，在地平線l上的照射范圍是線段MN，此燈的光照區(qū)域△AMN的面積最小值是多少？(1)小明同學(xué)利用特殊化方法進(jìn)行分析，請(qǐng)你完成填空：如圖2，設(shè)α=90°，m=4，構(gòu)造△AMN的外接圓⊙O，可得OA≥AB，即OA的最小值為4，又MN=2OA，故得MN的最小值為__________，通過計(jì)算可得△AMN的面積最小值為__________．(2)當(dāng)α=45°，解：作△AMN的外接圓⊙O，作OH⊥MN于H，設(shè)MN=2x(3)請(qǐng)你寫出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域△AMN的面積最小值是__________________________．（用含m，(4)如圖3，探照燈A到地平線1距離AB=4米，到垂直于地面的墻壁n的距離AD=6米，探照燈的照射角度∠MAN，且sin∠MAN=45，光照區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛MCN，點(diǎn)M、N分別在射線CD、CB上，設(shè)△ACM的面積為S1，△ACN的面積為刷真題1．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)Px0,y0，其中y(3)若點(diǎn)D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．2（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C1,0，交y軸于點(diǎn)B0,3，拋物線的對(duì)稱軸交x（1）求拋物線的解析式；（2）將線段OE繞著點(diǎn)О沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段OE'，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，連接AE'，BE'，求BE'+（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是?1,0

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點(diǎn)Q．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+2CQ的值最大時(shí)，求點(diǎn)4．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線y=?x交于點(diǎn)B4,?4，點(diǎn)C0,?4在y軸上．點(diǎn)P從點(diǎn)B(1)求拋物線y=?x(2)當(dāng)BP=22時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)P作PD⊥OA交拋物線于點(diǎn)D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD(3)如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．5．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB

中考大題07幾何中的最值問題在中考數(shù)學(xué)中，幾何最值問題的考察，在小題中通常是選擇或者填空題的壓軸問題；在解答題中偶爾也會(huì)作為壓軸題中的第2個(gè)小問題出，難度比較大，是對(duì)學(xué)生探究能力的綜合考察。在中考數(shù)學(xué)中常見的幾何最值問題是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)常考察，但是考到的時(shí)候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的時(shí)候才能有捷徑應(yīng)對(duì)。題型一：將軍飲馬模型大題典例1．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2a>0型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F0,14a的距離PF，始終等于它到定直線l：y=?14a的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=?14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=12a．例如，拋物線

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=14x【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線y=14x2上一點(diǎn)Px0,【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線y=14x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y=12x?3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y=ax2a>0平移至y=ax??2+ka>0．拋物線y=ax??2+ka>0內(nèi)有一定點(diǎn)F?,k+14a，直線l過點(diǎn)M?,k?14a且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離P請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點(diǎn)D?1,32是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y=14【答案】(1)0,1，y=?1；(2)2,(3)8(4)9【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得x02=8y02+2（3）過點(diǎn)P作PE⊥直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF=d1+1，PE=d2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)F，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2的值最小；待定系數(shù)法求直線PE的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為25?4,9?45，根據(jù)點(diǎn)E是直線（4）根據(jù)題意求得拋物線y=14x2?1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,0，準(zhǔn)線l的方程為y=?2，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF，則PO+PD=PG+PD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)D，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，【詳解】（1）解：∵拋物線y=14x∴14a=1，∴拋物線y=14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，準(zhǔn)線故答案為：0,1，y=?1；（2）解：由（1）知拋物線y=14x2的焦點(diǎn)∵點(diǎn)Px0,y0∴x02+又∵y0∴4解得：y0=1∴x0∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,（3）解：過點(diǎn)P作PE⊥直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF=d1+1

若使得d1+d2取最小值，即PF+PE?1的值最小，故當(dāng)F，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，∵直線PE與直線m垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y=?2x+b，將F0,1代入解得：b=1∴直線PE的解析式為y=?2x+1，∵點(diǎn)P是直線PE和拋物線y=1令14x2=?2x+1，解得：故點(diǎn)P的坐標(biāo)為25∴d1∵點(diǎn)E是直線PE和直線m的交點(diǎn)，令?2x+1=12x?3故點(diǎn)E的坐標(biāo)為85∴d2d1即d1+d（4）解：∵拋物線y=14x∴14a=1，∴拋物線y=14x2?1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F過點(diǎn)P作PG⊥準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF，則PO+PD=PG+PD，如圖：

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故當(dāng)D，P，G三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PD=PG+PD=DG，即此刻PO+PD的值最小；如圖：

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為?1,32，DG⊥準(zhǔn)線∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?1，代入y=14x即P?12則△POD的面積為S△POD【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論．2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小,最小值是2【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3?m得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上得到33?m=6m，解得m=1，得到點(diǎn)（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AP=A'P，A'2,?3，則AP+PB=A'【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點(diǎn)C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD?OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC?EC=3?m，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是3?m,3，∵A、B6，m∴33?m解得m=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函數(shù)的解析式是y=6設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=?∴直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?1（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交

∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2?62+∴此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AP+PB+AB=AB+A設(shè)直線A'B的解析式是則2n+t=?36n+t=1解得n=1t=?5∴直線A'B的解析式是當(dāng)y=0時(shí)，0=x?5，解得x=5，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,0，此時(shí)AP+PB+AB=AB+A綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小，最小值是2【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)變式訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kxx>0經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點(diǎn)N是反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CN【答案】(1)y=20x(2)①6852；②N209，9【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)．（1）求出C(5，4)，用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20x，令x=8得（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M，此時(shí)MB+MC最小，由C(5，4)，B(8②設(shè)M(0，m)，N(n，20n)，分兩種情況：當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，證明△CMK≌△NCT(AAS)，可得4?m=5?n5=20n?4，即可解得N(209，9)；當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過N作【詳解】（1）∵A(8，4)，∴C(5，將C(5，4)代入4=k解得k=20，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=20在y=20x中，令x=8得∴B的坐標(biāo)為(8，（2）①作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'交y軸于M∵C，C'關(guān)于y∴MB+MC=MB+MC當(dāng)B，M，C'共線時(shí)，MB+MC'最小，即MB+MC由（1）知C(5，4)，∴C∴BC∴MB+MC的最小值是6852②設(shè)M(0，m)，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于∵△CMN的等腰直角三角形，∴CM=CN，∠MCK=90°?∠NCT=∠CNT，∵∠K=90°=∠T，∴△CMK≌△NCT(AAS∴CK=NT，MK=CT，∴4?m=5?n5=解得n=20∴N(209，當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，如圖：同理可得SN=RC，SM=NR，∴n=20解得n=26?2或∴N(26?2，綜上所述，N的坐標(biāo)為(209，9)或(262．（2023·甘肅隴南·三模）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，則CD（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值；（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是BC邊上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值？若存在，求出四邊形AGCD面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）125；（2）9625【分析】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，主要考查了矩形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，軸對(duì)稱，解本題的關(guān)鍵是確定出滿足條件的點(diǎn)的位置，題目綜合性較強(qiáng)．（1）根據(jù)垂線段最短，利用用三角形的面積即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)軸對(duì)稱確定出點(diǎn)M和N的位置，再利用面積求出CF，進(jìn)而求出CE，最后用三角函數(shù)即可求出CM+MN的最小值；（3）先確定出EG⊥AC時(shí)，四邊形AGCD的面積最小，再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離，最后用面積之和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，如圖：根據(jù)垂線段最短可知此時(shí)CD最小，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4∴AB=A∵12∴CD=AC×BC故答案為：125（2）如圖，作出點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時(shí)CM+MN=EM+MN=EN最小；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=3，∴BD=B∵CE⊥BD，∴1∴CF=BC×CD∵點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于BD對(duì)稱，∴CE=2CF=24在Rt△BCF中，cos∴sin在Rt△CEN中，EN=CE?∴CM+MN的最小值為9625（3）四邊形AGCD的面積存在最小值，最小值為152如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，∴AC=A∵AB=3，AE=2，∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為?，∵S∴當(dāng)四邊形AGCD的面積最小時(shí)，?最小，∵把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，∴EG=BE=AB?AE=1，∴點(diǎn)G軌跡是以點(diǎn)E為圓心，1為半徑的圓在矩形ABCD內(nèi)部的一部分上的點(diǎn)，∴EG⊥AC時(shí)，?最小，由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，延長(zhǎng)EG交AC于H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin在Rt△AEH中，AE=2，sin∴EH=4∴?=EH?EG=8∴S題型二：費(fèi)馬點(diǎn)大題典例（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC最小值為A'B，此時(shí)的∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°?∠APC?∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．又∵已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·∴當(dāng)PA+PB+2將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+P

過點(diǎn)A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)常見結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；2）對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長(zhǎng)度，即當(dāng)A,A’,P,P’四點(diǎn)共線時(shí)取最小值.【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練1．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接B（2）【問題探究】如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q①求證：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)S△PAD=2S△PBC，Q為【答案】（1）30°；（2）①見解析；②12；（3）存在，400【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OB'=OB（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明全等即可；②連接PQ，得到△CPQ是等邊三角形，由兩點(diǎn)之間線段最短得AP+DQ+PQ≥AD，求出AD即可得解；（3）過點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AD'Q'，連接DD',QQ',D'P，設(shè)D【詳解】（1）解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA∴OB'=OB=3∴∠OBB故答案為：30°；（2）①證明：∵△BDC是等邊三角形，∴CD=CB，∠DCB=60°，由旋轉(zhuǎn)得∠PCQ=60°，PC=CQ，∴∠DCQ=∠BCP，在△DCQ和△BCP中，CD=CB∠DCQ=∠BCP∴△DCQ≌△BCPSAS②連接PQ，∵PC=CQ，∠PCQ=60°，∴△CPQ是等邊三角形，∴PQ=PC，∵△DCQ≌△BCP，∴PB=DQ，∴PA+PB+PC=PA+QD+PQ，由兩點(diǎn)之間線段最短得AP+DQ+PQ≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、Q、D在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，為AD的值，延長(zhǎng)AC，作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵△ABC是邊長(zhǎng)為43∴AC=CD=CB=43，∠BCD=∠ACB=60°∴∠DCE=180°?60°?60°=60°，∴∠CDE=90°?60°=30°，∴EC=1∴DE=CD2∴AD=D即PA+PB+PC取最小值為12．（3）存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值，理由如下：過點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AD'Q'，連接DD由（2）知，當(dāng)P,Q,Q',D'在矩形ABCD中，AB=600,AD=800，∴BC=AD=800，AD∥BC，∵EF∥∴∠AEF=∠EFD=90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴EF=AD=800，∵S△PAD∴12∴AE=2BE，∵AE+BE=AB=600，∴AE=400，∵點(diǎn)P在EF上，∴當(dāng)D'P⊥EF時(shí)，∵EF∥∴D'∵△ADD∴AD∴D'∵∠EAG=∠AEP=∠EPG=90°，∴四邊形AEPG是矩形，∴GP=AE=400，∴D'∴AQ+DQ+PQ的最小值為4003【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理．2．（2022·山東德州·一模）若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時(shí)△ACP'≌△ABP，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫出PA+PB+PC的值．【答案】(1)150°(2)見解析(3)7【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，證明△APP′為等邊三角形，△PP′C為直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；（2）由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)得到∠APB=120°，∠APD=60°，再證明△APC≌△ADE(ASA)，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得PC=DE，最后根據(jù)線段的和差解答；（3）將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，由勾股定理解得BC=3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證明△BPP′是等邊三角形，再證明C、P、A′、P【詳解】（1）解：∵△ACP'≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；故答案為：150°；（2）證明：∵點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∴∠APB=120°，∴∠APD=60°，又∵AD=AP，∴APD為等邊三角形∴AP=PD=AD，∠PAD=∠ADP=60°，∴∠ADE=120°，∴∠ADE=∠APC，在△APC和△ADE中，∠PAC=∠DAE∴△APC≌△ADE(ASA)；∴PC=DE，∵BE=BP+PD+DE，∴BE＝PA＋PB＋PC；（3）解：如圖，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC=A把△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A'∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝7．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、費(fèi)馬點(diǎn)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)，正確做出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2019·山西·一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：費(fèi)馬，17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡爾發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，使得∠APB=∠APC=∠BPC=證明：如圖②，把△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'∵_(dá)_______，∴△APP∴AP=PP∴PA+PB+PC=PP點(diǎn)C'可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，∴當(dāng)B、P、P'、這時(shí)∠BPA=180∠APC=∠AP∠BPC=360任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；（2）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2+【答案】（1）AP=AP【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AP(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△EFC,△AGC都是等邊三角形,再利用正方形性質(zhì)和勾股定理表示出BG=BO+GO=22a+【詳解】解：（1）AP=AP'（2）如解圖①，連接AC，把△AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC連接EF,BG,AG，可知△EFC,△AGC都是等邊三角形，則EF=CE.又∵FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG.

∵點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（點(diǎn)G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得），∴線段BG即為點(diǎn)E到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E,F兩點(diǎn)都在BG上（如解圖②）.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∴BO=CO=2在Rt△COG中，GO=G∴BG=BO+GO=22∵點(diǎn)E到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2+∴22a+∴此正方形的邊長(zhǎng)為2.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,中等難度,掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,主要失分原因是:（1）未掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（2）不能夠?qū)㈩}目探究過程中的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行推廣應(yīng)用.題型三：阿氏圓大題典例1．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+1【答案】(1)直線AD的解析式為y=x?1；拋物線解析式為y=(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3或0,5或5,0(3)41【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=3，AB=4，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)∠DAM=90°時(shí)，求出直線AM的解析式為y=?x+1，解方程組y=?x+1y=x2?6x+5，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)∠ADM=90°時(shí)，求出直線DM的解析式為y=?x+5，解方程組（3）在AB上取點(diǎn)F，使BF=1，連接CF，證得BFPB=PBAB，又∠PBF=∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF=12PA，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸x=3，AB=4，∴A1,0將A1,0代入直線y=kx?1，得k?1=0解得k=1，∴直線AD的解析式為y=x?1；將A1,0,B5,0a+b+5=025a+5b+5=0，解得a=1∴拋物線的解析式為y=x（2）存在點(diǎn)M，∵直線AD的解析式為y=x?1，拋物線對(duì)稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)E．∴當(dāng)x=3時(shí)，y=x?1=2，∴D3,2①當(dāng)∠DAM=90°時(shí)，設(shè)直線AM的解析式為y=?x+c，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得?1+c=0，解得c=1，∴直線AM的解析式為y=?x+1，解方程組y=?x+1y=得x=1y=0或x=4∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3；②當(dāng)∠ADM=90°時(shí)，設(shè)直線DM的解析式為y=?x+d，將D3,2得?3+d=2，解得d=5，∴直線DM的解析式為y=?x+5，解方程組y=?x+5y=解得x=0y=5或x=5∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,5或5,0綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,?3或0,5或5,0；（3）如圖，在AB上取點(diǎn)F，使BF=1，連接CF，∵PB=2，∴BFPB∵PBAB∴BFPB又∵∠PBF=∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴PFPA=BF∴PC+1∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+12PA∵OC=5,OF=OB?1=5?1=4，∴CF=O∴PC+12PA

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋12EP【答案】（1）y=?12x2+2x【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=22（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，則BF【詳解】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）2+8，∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a=?1∴該拋物線的表達(dá)式為y=?12x2+2（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，?12（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如圖，在CE上截取CF=22（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP則BF的長(zhǎng)即為所求．連接CP，∵CP為半徑，∴CFCP又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴CFCP=FPPE=1∴BF=BP+12EP由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：BF的長(zhǎng)即BP+12EP∵CF=14CE，E∴F（12，13∴BF=6?【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，題目綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．解法指導(dǎo)對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.變式訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PAPB=k（k>0且【模型建立】如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

第1步：一般將含有k的線段PB兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；第2步：在OB上取點(diǎn)C，使得OP2=OC?OB，即OCOP=第3步：連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖3）．【問題解決】如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，⊙O半徑為3，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B32,0，點(diǎn)P在弧MN上移動(dòng)，連接

(1)PA+2PB的最小值是多少？(2)請(qǐng)求出（1）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)2(2)P(【分析】（1）在x軸上取點(diǎn)H(6,0)，連接AH，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出BPHP=OPOH=12（2）設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，設(shè)P(x,?1【詳解】（1）解：如圖，在x軸上取點(diǎn)H(6,0)，連接AH，

∵點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B∴AO=2,OB=3∵OBOP∠BOP=∴△BOP∽△POH，∴BPHP∴HP=2BP，∴PA+2PB=PA+HP，當(dāng)點(diǎn)P在AH上時(shí)，PA+2PB=PA+HP=AH取得最小值，∴AH=2故最小值為210（2）∵A0,2，H(6,0)∴設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)代入得：b=26k+b=0，解得b=2∴y=?1設(shè)P(x,?1∵⊙O半徑為3，∴x2解得：x=6+9∴y=18?3∴P(6+9【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題及一次函數(shù)解析式的確定，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2020·山西·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問題．一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B的距離之比等于定比m:n，則點(diǎn)P的軌跡是以定比m:n(m:n≠1)內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，滿足PAPB=mn，點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上且MAMB下面是“阿氏圓”的證明過程（部分）：過點(diǎn)B作BD//AP交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∴∠A=∠ABD，∠APM=∠BDM．∴△APM∽△BDM．∴PABD又∵M(jìn)AMB∴PABD∴BD=BP．∴∠BPD=∠BDP．∴∠APD=∠BPD．如圖2，在圖1（隱去MD，BD）的基礎(chǔ)上過點(diǎn)B作BE//PN交AP于點(diǎn)E，可知NANB任務(wù)：（1）判斷PN是否平分∠BPC，并說明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?2,0)，B(1,0)，PA=2PB，則點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為________．【答案】（1）PN平分∠BPC．理由見解析；（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓，見解析；（3）(2,0)【分析】（1）利用相似三角形的判定及性質(zhì)仿照?qǐng)D1的證明即可得證；（2）根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑即可證得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓；（3）結(jié)合題目所給的材料分別求得AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)．【詳解】解：（1）PN平分∠BPC．理由如下：∵NANB=m∴PAPB∴PB=PE．∴∠PEB=∠PBE．∵BE//PN，∴∠PEB=∠CPN，∠PBE=∠BPN．∴∠BPN=∠CPN，即PN平分∠BPC．（2）∵∠APM=∠BPM=12∠APB且∠APB+∠BPC=180°，∴∠MPN=1∴MN為直徑．∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓．（3）∵A(?2,0)，B(1,0)，∴AB＝3，且AO＝2OB，∵PA=2PB，∴點(diǎn)O為AB的內(nèi)分點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C為AB的外分點(diǎn)時(shí)，CA＝2CB，∴CB＝AB＝3，∴OC＝OB+BC＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∴點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為（2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，直徑的判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．題型四：胡不歸問題大題典例（2019·湖南張家界·中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔPBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+1【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：y=x2?4x+3，頂點(diǎn)D(2,?1)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)【分析】(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得證；(3)先求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P(x,x2(4)存在，如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AH⊥CF，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)HQ=1【詳解】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=即：3a=3，解得：a=1，故拋物線的表達(dá)式為：y=則頂點(diǎn)D(2,?(2)∵OB=OC∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴AM=又∵D(2，-1)，∴AD=BD=(2?1)2∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵∠AMB∴菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：{3m+n=0解得：{m=?1所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P(x,則SΔPBC∵?32<0，故S故點(diǎn)P((4)存在，理由：如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AH此時(shí)HQ=則AQ+12在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=FOCO∴OF=3，∴F(-3，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：y=∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=33∴Q(0,33利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：y=?聯(lián)立①②并解得：x=故點(diǎn)H(1?33則AH=即AQ+12【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識(shí)，會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.解法指導(dǎo)【解題關(guān)鍵】在求形如“BC+kAC”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kAC相等的線段，將“BC+kAC”型問題轉(zhuǎn)化為“BC+CE”型.(若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可).變式訓(xùn)練1．（2021·四川綿陽·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是x＝－32且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求AP＋2PC的最小值；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線表達(dá)式為：y=?1(2)AP+2PC的最小值是23(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【分析】（1）先求的直線y=12x+2與x軸，y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-1)，然后將點(diǎn)C（2）如圖1，作∠OAE=30°，交y軸于E，過點(diǎn)P作PH⊥AE于H，當(dāng)C，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，AP+2PC的值最小，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)可得CH的長(zhǎng)，從而可得結(jié)論；（3）首先可證明△ABC是直角三角形，且有AC=2BC，然后分三種情況討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M（-3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC；③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．【詳解】（1）y=12x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y∴C（0，2），A（-4，0），由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=?3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），可設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x+4）（x-1），又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），∴2=-4a，∴a=?1∴拋物線表達(dá)式為：y=?1（2）如圖1，作∠OAE=30°，交y軸于E，過點(diǎn)P作PH⊥AE于H，∴PH=1∵AP+2PC=21∴當(dāng)C，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，AP+2PC的值最小，∵∠APH=∠OPC，∠COP=∠AHP=90°，∴∠OCP=∠OAE=30°，Rt△AOE中，AO=4，OE=OARt△CHE中，EH=1∴CH=∴AP+2PC的最小值是2CH=2(3（3）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，AC=2BC，點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似存在以下3種情況：①如圖2，當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②如圖3，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M（-3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC；③如圖4，當(dāng)M在第四象限時(shí)，設(shè)Mn,?12n2∴MN=1當(dāng)ANMN=2時(shí)，AN=2MN，即整理得：n2+2n-8=0，解得：n1=-4（舍），n2=2，∴M（2，-3）；當(dāng)ANMN=12時(shí)，MN=2整理得：n2-n-20=0，解得：n1=-4（舍），n2=5，∴M（5，-18）．綜上所述：存在M（0，2）或（-3，2）或（2，-3）或（5，-18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用，還考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，難度較大，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì)．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若AB=m，函數(shù)y=ax2(1)求該拋物線的解析式；(2)如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G．當(dāng)函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于2時(shí)，求(3)在（2）的條件下，當(dāng)k取最大值時(shí)，函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，若過P作平行于x軸的直線交圖形G于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交函數(shù)y1=kx+1?2k的圖象于點(diǎn)R，D為線段RQ上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)R出發(fā)，沿RD→DP運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P停止，已知點(diǎn)C在RD上運(yùn)動(dòng)的速度為5單位長(zhǎng)度每秒，在DP上運(yùn)動(dòng)的速度為1單位長(zhǎng)度每秒．求當(dāng)點(diǎn)【答案】(1)y=(2)1≤k≤2(3)D?2,7【分析】（1）令y=0，解方程求得AB=4，得出m=4，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出?4a=?4求得a的值，即可求解；（2）先得出y1=kx?1+2k過點(diǎn)?2，?1，根據(jù)題意畫出圖象，觀察函數(shù)圖象可得當(dāng)y1=kx?1+2k過點(diǎn)A時(shí)，與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y1（3）根據(jù)題意得出k的最大值為2，則y1=2x+3，解方程得出Q?2,5【詳解】（1）解：令y=ax解得：x1∴A?1,0∴AB=4，∵AB=m，∴m=4，∵m+n=0，∴n=?4，∵y=ax∴?4a=?4，解得：a=1，∴拋物線解析式為y=x（2）解：∵y1=kx?1+2k=kx+2?1，當(dāng)∴y1=kx?1+2k如圖所示，當(dāng)y1=kx?1+2k過點(diǎn)將A?1,0代入y即?k?1+2k=0解得：k=1，依題意，當(dāng)?1<x<3時(shí)的拋物線解析式為y=?x當(dāng)y1=kx?1+2k與拋物線∴y消去y得，x∴Δ解得：k=2或k=10（舍去）結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于2時(shí)，（3）∵1≤k≤2∴k的最大值為2∴y∵A∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2x+3=5，則P當(dāng)y=5時(shí)，x2解得：x1∴Q?2,5或Q當(dāng)Q?2,5時(shí)，如圖所示，則PQ=1?令x=?2，代入y=2x+3=?1，則R∴RQ=6，則PQ=35∴tan∠PRQ=1如圖所示，作P關(guān)于RQ的對(duì)稱點(diǎn)P'，則P?5,5，過點(diǎn)D作DN⊥P.∴∠∴ND=sin依題意，點(diǎn)C在RD上運(yùn)動(dòng)的速度為5單位長(zhǎng)度每秒，在DP上運(yùn)動(dòng)的速度為1單位長(zhǎng)度每秒．∵PD+ND≥