第09講函數模型及其應用

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過...........................................4

高頻考點一：幾類不同增長的函數模型..............................4

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）.10

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、塞函數模型）.14

高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題......................20

第一部分：基礎知識

1、常見函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=kx+b(k,b為常數,k/0)

(左/為常數且左w0)

反比例函數模型f(x)=±+b

X

二次函數模型/(x)=ax2+bx+c均為常數，

指數函數模型f{x}^k-bx+c(左，①c均為常數，k<0,b>0,bwl)

對數函數模型f(x)=k-logax+b(左/，。為常數，左w0,〃>0,〃wl)

幕函數模型f(x)=k-xn+b(k,b,幾為常數,左w0,〃wl)

力(x),x&Dx

分段函數f(x)=<力(x),XGD2

/(x),xeD3

指數、對數、事函數才慎型性質比較

函數

y=優(〃>1)y=logax(a>l)y=%〃(〃>0)

性質

在（0,+8）上的

單調遞增單調遞增單調遞增

增減性

介于指數函數與

增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩對數函數之間，相

對平穩

隨x的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與X軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個毛,當X〉不時，有logaX<x"<a"

第二部分：高考真題回顧

1.（多選）（2023?全國?統考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定

義聲壓級4=20xlg上，其中常數為（網>0）是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

己知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為",PZ,P3,則（）.

A.Pi>P2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.A<100/J,

【答案】ACD

【分析】根據題意可知與e[60,90],e[50,60],=40,結合對數運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：人460,90],雅目50,60],4=40,

對于選項A：可得乙八-乙八=20xlg2-20x1g匹=20xlg包，

PoPoPi

因為474,則=20xlg旦NO,即1g旦NO,

P2Pl

所以且21且。1，。2>。，可得P12P一故A正確；

Pi一「一

對于選項B：可得4_4=20x1g&_20X1g旦=20X1g&,

PoPoP3

因為=4「40N10,貝必°xlg正21°,即

P3P3/

所以&2VI5且22，,3>0,可得6P3，

P3

當且僅當4=5。時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為乙私=2。義3星=40,即1g星=2,

PoPo

可得m=100,即p3=lOOpo,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：4]-￡02=20xlga",

Pi

且乙，一乙丹490-50=40,貝U20x1g包440,

〃2

即lgaW2,可得包4100,且所以“VlOOp,,故D正確；

PlP1

故選：ACD.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：幾類不同增長的函數模型

典型例題

例題1.（2023上?廣東廣州?高三鐵一中學校考階段練習）函數f（x）的數據如下表，則該函數的解析式可

能形如（）

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./（%）=+b

B./（x）=Axex+b

C.f（x）=k\x\+b

D.f^x）=k{x-Xy+b

【答案】A

【分析】由函數/（x）的數據即可得出答案.

【詳解】由函數的數據可知，函數〃-2）=/（2）"（-1）=〃1）,

偶函數滿足此性質，可排除B,D；

當尤＞0時，由函數/'（X）的數據可知，函數/（X）增長越來越快，可排除C.

故選：A.

例題2.（2023上?河北石家莊,高一石家莊二中校考階段練習）有一組實驗數據如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現這組數據的最佳函數模型是

A.y=4xB.y=g-2”

C.y=log2xD.y=2尤-3

【答案】B

【分析】根據數據判斷函數的增長速度選擇函數模型.

【詳解】/（3）-/（2）=1.16,“4）—"3）=275,/（5）-/（4）=5.69,/（6）-/（5）=10.3,

通過所給數據可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，

AC選項函數增長的速度越來越慢，D選項函數增長的速度不變，B選項函數增長的速度越來越快，所以B

正確.

故選：B.

例題3.（2023上?山西臨汾?高一統考期中）在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數據：

X12345

y5.38011.23220.18434.35653.482

下列所給函數模型較適合的是()

A.y=ax+b(a>l)B.j=a^/x+b(a>1)

C.y=—+b(a>1)D.y=ax2+b(a>1)

【答案】D

【分析】由數據中y隨x的變化情況，分析適用的函數模型.

【詳解】由所給數據可知y隨尤的增大而增大，且增長速度越來越快，

而A中的函數增長速度保持不變，B中的函數增長速度越來越慢，C中的函數是隨x的增大而y減小，D中

的函數符合題意.

故選:D.

例題4.（2023上?四川南充?高一四川省南充高級中學校考階段練習）假設某學習小組對家庭每月用水的收

費提供了如下兩種模型:模型一:若用水量不超過基本月用水量加？，則只付基本費8元和損耗費c元（c<5）；

若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按b元/n?進行付費；模型二：

用函數模型y=屋機>9+〃（其中七m,〃為常數，且加彳1）來模擬說明每月支付費用y（元）關于

月用水量尤（n?）的函數關系.己知該市某家庭1—3月的用水量x分別為9m3,15H?和21m3,支付的費用y

分別為9元，19元和31元.

（1）寫出模型一中每月支付費用y（元）關于月用水量Mn?）的函數解析式；

⑵寫出模型二中每月支付費用y（元）關于月用水量Mn?）的函數解析式，并分析說明學習小組提供的模型

哪個更合理？

9,0<%<10

【答案】（i）y=

2x—ll,x>10

⑵y=50?tr41，%>0,模型一與生活中的實際情況更接近

【分析】（1）分析出第2,3月份用水量15m3和210?均大于最低限量如？，列出方程組，求出6=2,2a=c+19,

不妨設9>°,推出矛盾，故9<a,得到c=l,求出答案；

（2）得到方程組，求出m=（g,，左=50,〃=T1,得到解析式，并用三個方面說明模型一與生活中的實

際情況更接近.

8+c,0<x<"

【詳解】(1)由題意得丁=

8+。(尤一Q)+C,尤>a

第2,3月份水費均大于13元，故用水量15m3和21m3均大于最低限量加？,

8+b(15-a)+c=19

于是有解得。=2,

8+A(22-〃)+c=33

從而2〃=c+19,

再考慮1月份用水量是否超過最低限量加？,

不妨設9>々，將x=9代入y=8+人（%—〃）+。中，得8+/?（9—a）+c=9,

故2=c+17,與2〃=c+19矛盾，舍去,

故94々，即8+c=9,解得0=1,

故4=10,

z八f9,0<x<10

所以每月支付費用y（元）關于月用水量Xm3的函數解析式y='

\2X—11,>1U

（2）y=k-mx~9+n,

k?m9-9+n=9k+n=9?

由題意知，,女15-9+〃=19,即.hm6+n=19(2)

k-m2i~9+〃=31%?加2+〃=31(3)

由②-①得％(MT)=1°，由③-①得上(/-1)=22,

所以=解得機6=2,所以機=（蚌，

M-155⑶

代入左（加6—1）=10,解得左=50,又上+〃=9,所以〃=T1,

x-9

所以y=50（：j6-41-x>0.

模型一與生活中的實際情況更接近（言之有理即可）.

建議從以下三方面考慮：

原因一：惠民政策，生活中，比如：打車，交稅，交氣費等都是與模型一接近,

百姓繳費少；

i_x-9

原因二：指數爆炸，由機=停]>1知，y=5o]￡|丁-41關于X是快速增長，

但模型一在（10,+?）上勻速增長，更符合實際意義;

原因三：當x=0時,41，

由于⑷1空巴丫_幽_生〈幽

十［封216'hoj250012162500,

33

所以故y=5o{|j-41<o,不符合實際意義.

練透核心考點

1.（2023上?江蘇?高一專題練習）今有一組實驗數據如下：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是（）

A.v=log,tB.v=loglZC.v=^-^-D.v=2t-2

22

【答案】C

【分析】選x=4代入四個選項的解析式中選取所得的v最接近7.5的解析式即可.

【詳解】對于選項A：當x=4時，v=log24=2,與7.5相差較多，故選項A不正確；

對于選項B：當尤=4時，^logi4=-2；與7.5相差較多，故選項B不正確；

2

42-1

對于選項C：當x=4時，v=-----=7.5,故選項C正確；

2

對于選項D：當％=4時，v=2/-2=2x4-2=6,與7.5相差較多，故選項D不正確；

故選：C.

2.（2023上?浙江?高一校聯考階段練習）今有一組實驗數據及對應散點圖如下所示，則體現這些數據關系

的最佳函數模型是（）

X10202941505870

y123.87.4111521.8

30■

20-

x

A.y=A\ogax+pB.y=A-a+p

C.y=ax2+bx+cD.y=kx+b

【答案】C

【分析】根據散點圖的變化趨勢及散點的分布情況判斷回歸方程的類型.

【詳解】由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且在第一象限內上單調遞增,

對于Ax,.=x/+1-,Ay,.=y.+1-yt,ie（1,2,3,4,5,6},由題意可得：

X102029415058

A%

0.10.20.30.40.50.57

可知，［x,潦J近似于線性，所以適合二次函數模型.

故選：C

3.（2023上?上海?高一上海市建平中學校考階段練習）近來，國內多個城市紛紛加碼布局"夜經濟"，以滿

足不同層次的多元消費，并拉動就業、帶動創業，進而提升區域經濟發展活力，某夜市的一位工藝品售賣

者，通過對每天銷售情況的調查發現：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格P（x）（單

位：元）與時間（單位：天）的函數關系近似滿足尸（引=10+：且銷售量Q（x）（單位：件）與時間x（單

位：天）的部分數據如下表所示

X1015202530

Q")5055605550

（1）給出以下四個函數模型：①Q（x）=ox+6；②。（x）=4x-時+人；③Q（x）=a-6x；@Q（x）=alogbx.

請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量Q（x）與時間x的變化關系,

并求出該函數的解析式及定義域

⑵設該工藝品的日銷售收入為f（無）（單位：元），求f（x）的最小值.

［答案］⑴選擇模型②，e（x）=-|x-20|+60（l<x<30,xeN,）

（2）441元.

【分析】（1）根據表格中數據的增減性，結合函數的單調性，可得答案;

（2）根據分段函數的性質，結合基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）由表格數據知，當時間無變換時，Q（x）先增后減，而①③④都是單調函數

所以選擇模型②，Q（x）=a\x-^+b

由Q（15）=Q（25）,可得15-時=|25-時,解得加=20

Q(15)=5a+6=55

解得。=-1*=60

0(20)=6=60

所以日銷售量。⑺與時間x的變化的關系式為。（尤）=-卜-20|+60（1〈尤430,尤eN*）.

x+40,l<x<20/*

(2)由(1)知：2(^)=-|x-20|+60=—x+80,20<%<30'

|^10+-j(x+40),l<x<20

所以“x)=P(尤)(尤)=<(xeN*

I10+-|(-x+80),20<%<30

40

10元+—+401,1W20

即〃X

x)=<onxeN*

-10x+—+799,20<x<30

x

當1VXW20,XEN*時,

由基本不等式，nTW/（x）=10x+—+401>2^10x—+401=441,

40

當且僅當10%=，時，即％=2時等號成立，

x

QQ

當20<xW30,x￡N*時，/（%）=—10%+—+799為減函數，

Q

所以函數的最小值為“X）1nm=/（30）=499+『441,

綜上，當x=2時，函數“X）取得最小值441元.

4.（2023上?四川宜賓?高一統考階段練習）2023年宜賓市新添城市名片"中國動力電池之都"，初步建成較

為完整的配套協同動力電池產業布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產業鏈.新能源電動車主

要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車、純電動汽車.有關部門在國道上對某

型號純電動汽車進行測試，國道限速60km/h.經數次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量。（單位：wh）

與速度x（單位：km/h）的數據如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量。與速度x的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①

2(無)$犬一2V+CX；②2(x)=l一(2)；③Q3(x)=2001og〃x+6.

（1）當0VXV60時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數表

達式;

⑵現有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛50km,高速上行駛250km.假設

該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量Q與速度x的關系滿足（1）中的函數表

達式；高速路上車速x（單位：km/h）滿足xe[80,120],且每小時耗電量N（單位：wh）與速度x（單

位：km/h）的關系滿足N（x）=2x2_10x+200（80WxW120）.則當國道和高速上的車速分別為多少時，該車

輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？

11

【答案】（l）選①Q（x）=而x3-2尤2+5,x3-2x2+160.r；

⑵在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為50km/h,43625wh.

【分析】（1）根據表格中的數據，對3個函數模型逐一判斷即得.

（2）分別求出國道和高速上該輛車耗電量的最小值及對應行駛速度即可得解.

【詳解】（1）對于③，Q3（x）=2001og0x+6,當x=0時，它無意義，不符合題意；

10io

對于②，e2（x）=i-（-）\當x=io時，e2（io）=i-（-）,xo＜（-）＜（-）°=i,

所以2（io）=1-（：嚴＜1,不符合原意；

因此選①,Q（尤）=X3—lx2+ex.

由表中的數據得，^X1O3-2X1O2+CX1O=142O,解得C=160,

所以Q（x）$x3_2f+160x.

250

（2）高速上行駛250km,所用時間為一h,

x

貝I」所耗電量為了（無）=—-N（x）=--（2x2-10x+200）=500（%+—）-2500,

XXX

顯然函數"X）在［80,120］上單調遞增，

于是/（尤）血,=7（80）=500x（80+黑）-2500=38125wh；

oO

國道上行駛50km,所用時間為留h,

X

貝I」所耗電量為g（X）=竺.0（X）=竺.號/_2/+160%）=x2-100.x+8000,

而04x460,則當x=50時，gWman=g（50）=5500wh.

所以當這輛車在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為50km/h時，

該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為38125+5500=43625wh.

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）

典型例題

例題L（2023上?湖南岳陽?高二統考期末）2022年某開發區一家汽車生產企業計劃引進一批新能源汽車制

造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產X(百輛)新能源汽車，還需另投入成本c(x)

10X2+200X,0<X<30

萬元，且C(x)=<10000.由市場調研，每輛車售價5萬元，且全年內生產的車輛當年能

504元+------3000,x230

全部銷售完.

(1)求出2022年該企業生產新能源汽車的利潤“力(萬元)關于年產量x(百輛)的函數關系式；(利潤=

銷售量-成本)

(2)2022年產量為多少百輛時，該企業生產新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.

-10X2+300%-1000,0<X<30

【答案】⑴2⑺=7》一出

+2000,x230

Lx

(2)50百輛時，企業所獲得利潤最大為1600萬元

【分析】(1)根據利潤與產量、成本之間的關系，寫出分段函數的解析式即可;

(2)分別根據二次函數、均值不等式求函數在每一段的最值，比較大小即可得解.

【詳解】(1)當0<x<30時，

L(x)=500x—1000~(10x2+200x)=-10x2+300^-1000

當xN30時，

L(x)=500x-l000-(504x+-3000)=-4x-+2000

XX

-10%2+300元-1000,0<%<30.

L(x)=<

-4%_12222+2000,%>30.

X

(2)當0vxv30時,

L(x)=-10A:2+300A:-1000=-10(x-15)2+1250

;.x=15時，L(x)取得最大值,最大值為1250

當X230時,

，10000…八一10000

L(x)=-4x-------F2000=-(4x+)+2000<-2+2000=1600

xx

當且僅當4x=竺啰,即x=50時，等號成立,

X

所以當x=50時，L(x)有最大值1600.

綜上所述：x=50,取得最大值，最大值為1600,即2022年生產量為50百輛時，企業所獲得利潤最

大，最大利潤為1600萬元.

例題2.(2023上?貴州六盤水?高一統考期末)心理學家根據高中生心理發展規律，對高中生的學習行為進

行研究，發現學生學習的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學生的興趣激

增，中間有一段時間學生的興趣保持理想狀態，隨后學生的注意力開始分散.分析結果和實驗表明，用/(X)表

示學生掌握和接受概念的能力(了。)的值越大，表示接受能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：

-0.1尤2+2.8x+38,0<xW10,

min),滿足以下關系：〃x)=56,10<x<20,

-lx+96,20<尤440.

(1)上課多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？

⑵有一道數學難題，需要54的接受能力及15min的講授時間，老師能否及時在學生處于所需接受能力的狀

態下講授完成這道難題？

【答案】⑴上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘

(2)老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完這道題

【分析】(1)在(。,10］上利用二次函數求得最大值；xe(10,20］時,/(尤)=56,在xe(20,40］利用一次函數

求得最大值即可；

(2)當xe(0,10］,xe(10,20］,xe(20,40］時分別令〃x)K54求解.

【詳解】(1)解：由題知/(x)=0.1/+2.8x+38在(0,期上單調遞增，

所以=/d0)=56,

又xe(10,20］時，/(%)=56,

/?(彳)=-2*+96在彳€(20,40］上單調遞減，/(x)e(16,56］,

所以上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘.

(2)當xw(0,10］時，令/(x)N54,Bp-0.1X2+2.8%+38>54,

化簡得尤2—28尤+160WO,解得84x<20,又無e(0,10］,

所以8<x<10,此時有效時間為2分鐘,

當xe(10,20］時,/(x)=56,有效時間為10分鐘，

當xe(20,40］時，令/(尤)254,解得20<xV21,有效時間為1分鐘，

由于講授時間需15分鐘，但有效時間2+10+1=13分鐘，13<15,

所以老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態下講授完這道題.

練透核心考點

1.(2023下?河南?高一校聯考階段練習)中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導

體自給率目標邁出的重要一步.根據國際半導體產業協會(SEMI)的數據，在截至2024年的4年里，中國計劃

建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產線，建設該生產線的成本為300萬

元，若該型芯片生產線在2024年產出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V(x)(單位：萬元)，已

知當0<xW5時，V(x)=125；當5<xW20時，V(x)=犬+40x—100；當x>20時，V(x)=81x+1^)()-600,

已知生產的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.

(1)已知2024年該型芯片生產線的利潤為尸(無)(單位：萬元)，試求出尸(x)的函數解析式.

(2)請你為該型芯片的生產線的產量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產線所獲利潤最大，并預測最大

利潤.

80x-425,0<x<5

【答案］(1)尸(x)=l-x2+40x-200,5<x<20；

1600

—X-+----3--0-0--,-尤>20

X

(2)當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.

【分析】(1)根據利潤等于售價減成本可求利潤P5)的表達式;

(2)根據P(x)的表達式分別求出每段函數的最大值即可.

【詳解】(1)(1)由題意可得，P(x)=80%-V(x),

80%—300--125,0vxW5

所以尸(x)=,80X-300-(x2+40.r-100),5<x<20,

80x-300-(8lx+-600),x>20

X

80x-425,0<x<5

即尸(x)=(+40x-200,5<x<20.

一X-2^22+300,x>20

、尤

(2)當0<xW5時，尸(x)VP(5)=-25；

當5Vx<20時，尸(x)=-x2+40x-200,對稱軸x=20,P(x)<尸(20)=200；

當x>20時，由基本不等式知x+竺竺280,

X

當且僅當彳=幽，即x=4O時等號成立，故2(^^=一80+300=220,

綜上，當2024年該型芯片產量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.

2.(2023上?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學校考期中)"智能"是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞

運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現在主干道上，車內沒有司機，也沒有方向盤，這就是無

人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車,公交車發車時間間隔"單位：

分鐘)滿足54/420,teN,經測算，該路無人駕駛公交車載客量。⑺與發車時間間隔/滿足:

60-(?-10)2,5<r<10

P⑺h其中reN.

60,10</<20

⑴求P⑸,并說明。(5)的實際意義;

⑵若該路公交車每分鐘的凈收益,二刨產-1。（元）‘問當發車時間間隔為多少時’該路公交車每分

鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.

【答案】（1）35；發車時間間隔為5分鐘時，載客量為35

（2）6分鐘，38元

【分析】（1）根據題意求得P（5）=35,從而說明其實際意義；

（2）根據題意，分類討論t的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數的單調性即可得解.

60-(/-10)2,5</<10

【詳解】（1）因為P⑺=<

60,10<f<20

所以"5)=60-(5-10)2=35,

實際意義為：發車時間間隔為5分鐘時，載客量為35.

(2)因為⑺+24-10,

所以當5?t10時，y=360_6（：10）+24_]0=]]0_3+平卜—2[牛=38,

當且僅當8="，即r=6時，等號成立，

t

所以當，=6時，y取得最大值38；

當10WtW20時，y=6x6；+24_]0=平]0,該函數在區間[10,20]上單調遞減，

則當f=10時，>取得最大值28.4；

綜上所述，當發車時間間隔為6分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、塞函數模型）

典型例題

例題L（2023上?湖南長沙?高一長沙市第十五中學校聯考階段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶

水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用80。。的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可

以產生最佳口感.為了控制水溫，某研究小組聯想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規律：設物

體的初始溫度是4,經過rtnin后的溫度是T，貝U7-4=（"_4）eW（e=2.71828…），其中4表示環境溫度，

/?表示半衰期.該研究小組經過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是80℃,放在20℃的室溫中，lOmin以后茶

水的溫度是50℃,在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1,參考數

據In2ao.7,ln3?l.l）（）

A.5.7minB.5.8min

C.5.9minD.6.0min

【答案】A

【分析】根據已知條件列出關于〃，，的方程組可得答案.

【詳解】由題意可得方程組：

50-20=（80-20）e一了①10

,,,由①式化簡可得：〃=涓，代入②式，

60-20=（80-20）屋［②

由1“，10（ln3-ln2）.

所以:-----------?5.7min,

In2

大約需要放置5.7min能達到最佳飲用口感.

故選：A.

例題2.（2023上?湖北咸寧?高一校考階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著

名的香農公式：C=Wlog2^l+^.它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬

W,信道內信號的平均功率S,信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫作信噪比.當信噪比比較大

N

時，公式中真數里面的1可以忽略不計.按照香農公式，若帶寬W不變，信噪比?從1000提升到12000,

N

則。比原來大約增加了（）.（附：lg2?0.3010,lg3?0.4771）

A.32%B.43%C.36%D.68%

【答案】C

ccC-C

【分析】根據三=1000和3=12000表示出對應cc,然后根據謂1結合對數的運算求解出結果.

NNg

【詳解】當2=1000時，最大信息傳遞速度為G=Wlog2（l+l000卜Wlog2100°，

當f=12000時，最大信息傳遞速度為G=Wlog2(1+12000)?Wlog212000,

C「G_log212000-log21000一log212000_1_lg12000

所以C比原來增加了

C]-log21000-log21000-IglOOO

lgl000+lgl2?3+21g2+lg3,21g2+lg3小，

=------------------------1=------------------------1=-----------------?30%,

333

故選：C.

例題3.（2023上?安徽六安?高一校考階段練習）一種放射性元素，最初質量為1000g,按每年10%衰減.

⑴寫出x年后這種放射性元素質量>與％之間的函數關系式；

⑵求這種放射性元素的半衰期（放射性物質的質量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，已知

（lg2=0.3010,lg3=0.4771）.

【答案】⑴y=1000x0.9%

（2）6.6年

【分析】（1）由遞推關系寫出函數解析式即可.

（2）依據題意列出方程，求解即可.

【詳解】（1）最初的質量為經過1年后，y=1000（l-10%）=1000x0.9,

經過2年后，y=1000x0.92,由此推知，x年后，＞=1000x0.9,,

年后，》關于x的表達式為＞=1000x0.9,.

（2）歹!J出方程1000x0.9*=500,

0.9,=0.5nlg0.9x=lg0.5nxlg0.9=lg0.5,

lg0.5_-lg2_0.3010

a6.6（年），

lg0.9-21g3-l-1-2x0.4771

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

例題4.（2023上?全國?高一期末）"實施科教興國戰略，強化現代化建設人才支撐”是2022年10月16日

在中國共產黨第二十次全國代表大會上報告的一部分,必須堅持科技是第一生產力、人才是第一資

源、創新是第一動力，深入實施科教興國戰略、人才強國戰略、創新驅動發展戰略，開辟發展新領域新賽道，

不斷塑造發展新動能新優勢.某科技企業通過加大科技研發投資，提高了企業的技術競爭力，也提高了收入.下

列一組數據是該公司從2017年以來每年的收入（單位:億元）,2017年記為1,后面的年份依次類推.

X/年123456

y/億元0.91.402.565.311121.30

⑴給出以下兩個函數模型:①丫=[；②丫=二.試問:用哪個模型更適合模擬該企業的收入?

人3

（2）該企業大約在哪一年收入超過100億元?（參考數據:lg3《0.477,愴210.301）

【答案】（1）用模型②尸g更適合模擬該企業的收入

（2）大約在2025年該企業的收入超過100億元.

X

12

【分析】（1）在同一平面直角坐標系內作出函數）與＞的圖象，并在此坐標系內描出表格提供的數

據對應的點，觀察即可；

（2）解出了＞100,xeN*,貝U%n=9,即可求解.

17X

【詳解】（1）在同一平面直角坐標系內作出函數＞與＞=[■的圖象,

并在此坐標系內描出表格提供的數據對應的點如圖所示.

觀察圖象知，這些點基本上都落在函數y='的圖象上或附近，

所以用模型②y=y更適合模擬該企業的收入.

（2）當一〉100時,2">300,

3

因此X>1暇300=翼J4竽=馬2田<8.23,

lg2lg20.301

而xeN*,則XmM=9,

所以大約在2025年該企業的收入超過100億元.

練透核心考點

1.（2023上?江蘇?高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環境，從而對入侵地的生態

系統造成危害的現象，若某入侵物種的個體平均繁殖數量為。，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩

代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數模型K（〃）=Xlog3〃（2為常數）來描述該物種累計

繁殖數量”與入侵時間K（單位：天）之間的對應關系，且。=1+1,在物種入侵初期，基于現有數據得

出。=6,7=60.據此估計該物種累計繁殖數量是初始累計繁殖數量的6倍所需要的時間為（）天.（結

果保留一位小數.參考數據：比2a0.30,In3。0.48）

A.19.5B.20.5C.18.5D.19

【答案】A

【分析】根據題意，利用結定的函數模型求得彳，進而利用對數的運算法則列式即可得解.

【詳解】因為。=馬+1，2=6,T=60,所以6="+1,解得九=12,

AZ

設初始時間為K-初始累計繁殖數量為"，累計繁殖數量是初始累計繁殖數量的6倍的時間為K2,

則K2-K]=12log3（6M）-12log3n=121og36

cIn2+ln30.30+0.48,十、

=12x------------=12x---------------?19.5（天）.

In30.48

故選：A.

2.（2023上?江蘇南通?高一海安高級中學校考階段練習）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環境下的溫度

變化：如果物體初始溫度為"，則經過一定時間單位：分鐘）后的溫度T滿足T一?；=:"（"-如，其

中刀是環境溫度，九為常數，現有一杯8（TC的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現在55。。

經測量室溫為25P,茶水降至75P大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等

待分鐘.

（參考數據：lg2x0.30,lg3x0.50,lg520.70,lgll?1.04.）

【答案】6

【分析】根據已知條件求出參數〃的值，進而轉化為解指數方程，利用對數的運算以及換底公式即可求出結

果.

【詳解】根據題意可知，環境溫度（=251,初始溫度”=8（TC,

經過一定時間f（單位：分鐘）后的溫度T滿足T一（"一

因為茶水降至75℃大約用時一分鐘，即f=1,T=75P,

所以75-25=卜1（80-25），解得1|=bgj《,貝/-

所以要使得該茶降至55P,即T=55P,則有55-25=（工1（80-25），得\=l°glH=l°glA，

Z、log.—\o—

L6].;11lgnlg6-lgllIg2+lg3-lgll0.3+0.5-1.04

故"log,--h=——±1707=-7^-=----------=------------=------------------------=6.

Iloa1?1°IglO-lgll1-lgll1-1.04

11

所以大約需要等待6分鐘.

故答案為：6.

3.（2023上?上海?高一上海南匯中學校考階段練習）用打點滴的方式治療"支原體感染"病患時，血藥濃度

（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內的總濃度）隨時間變化的函數符合9。）=乂（1-2-力，其函數圖象如圖

所示，其中乂為與環境相關的常數，此種藥物在人體內有效治療效果的濃度在4到15之間，當達到上限

濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數符合。2（。=。2,，其中c為停藥時的人體血

藥濃度.

2

0

8

6

4

2

。|48《單位:小時)

⑴求出函數G(。的解析式；

(2)一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注

射？(如果計算結果不是整數，保留小數點后一位)

【答案】(l)q⑺=16x1-