第57講直線的方程

知識梳理

知識點一：直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與X軸相交，則以X軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與/重合所成的角

稱為直線/的傾斜角，通常用西分，7,..表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ee[O,萬）

2、直線的斜率

設直線的傾斜角為夕，則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tana

（1）當&=工時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率

（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣

（與直線方程相聯系）

（4）網越大，直線越陡峭

（5）傾斜角a與斜率％的關系

當左=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當左＞0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大；

當左＜0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角左隨的增大而減小；

3、過兩點的直線斜率公式

已知直線上任意兩點，A（X1,%）,必）貝麟=之——

馬一再

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關.

（2）若占=尤2，則直線鉆的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90。

4、三點共線.

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點共線；反過來，AB、C三點共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在.

知識點二：直線的方程

1、直線的截距

若直線/與坐標軸分別交于（。,0）,（0,》），則稱a,6分別為直線/的橫截距，縱截距

（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧

名思義誤認為與“距離”相關）

（2）橫縱截距均為。的直線為過原點的非水平非豎直直線

2、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y-y^k^x-x^不含垂直于無軸的直線

斜截式y=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一必二

兩點式不含直線元=者（占…）和直線y=x（x片%）

截距式2+2=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標系內的直線都適用

(A2+B20)

3、求曲線（或直線）方程的方法：

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個點，或者一點一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線

方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）

4、線段中點坐標公式

若點《，鳥的坐標分別為（占，%）,（%,為）且線段￡￡的中點M的坐標為（尤，y），則

<2，此公式為線段打8的中點坐標公式.

[2

5、兩直線的夾角公式

若直線，=勺彳+伉與直線y=&x+%的夾角為a,則tana?=.

1+kxk2

必考題型全歸納

題型一：傾斜角與斜率的計算

例1.（2024.四川眉山.仁壽一中校考模擬預測）己知a是直線x—2y+3=。的傾斜角，則

A/2sina+—+sin6Z,,、

I的值為（z）

cosla

A4?4754A/5n3出

.D.------R.------JU?-----

331520

例2.（2024.重慶?重慶南開中學校考模擬預測）已知直線/的一個方向向量為

0=1in§,cos§J,則直線/的傾斜角為（）

兀c兀-2兀-4兀

A.—B.—C.—D.—

6333

例3.（2024?江蘇宿遷?高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）經過4-1,3）,B（右,-豆）兩

點的直線的傾斜角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

變式1.（2024?全國?高二專題練習）如圖，若直線的斜率分別為匕&-，則（）

B.k3<kI<k2

C.kx<k2<k3D.k3<k2<kx

變式2.（2024?全國?高二專題練習）直線>=-后+3的傾斜角為（）

A.30B.60C.120D.150

變式3.（2024?全國?高二課堂例題）過兩點A（4,y）,3（2,-3）的直線的傾斜角是135。，則

y等于（）

A.1B.5C.-1D.-5

變式4.（2024.高二課時練習）直線/經過4（2,1）,3（1,歷）兩點，那么直線/的斜

率的取值范圍為（）.

A.（0,1]B.C.（-2,1]D.[l,+oo）

變式5.（2024?全國?高三專題練習）函數一/的圖像上有一動點，則在此動點處

切線的傾斜角的取值范圍為（）

3兀

A.0-TB.T,7r

3兀兀3兀

C.T,71D.2'T

【解題方法總結】

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式左=入二匹，根據該公

%一9

式求出經過兩點的直線斜率，當占=%，%*%時，直線的斜率不存在，傾斜角為90,求斜

率可用左=tana（a片90）,其中a為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可分割.牢

記“斜率變化分兩段，90是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”.這可通過畫正切

函數在上的圖像來認識.

題型二：三點共線問題

例4.（2024?全國?高二專題練習）已知三點（2,-3）,（4,3）,，,g]在同一條直線上，則實數左

的值為（）

A.2B.4C.8D.12

例5.（2024?遼寧營口?高二校考階段練習）若三點A（0,8）,。（辦T）共線，則

實數冊的值是（）

A.6B.-2C.—6D.2

例6.（2024?重慶渝中?高二重慶復旦中學校考階段練習）若三點M（2,2）,N（。，

0）,Q（0,6）,（ab包）共線，則工+工的值為（）

ab

A.1B.—1C.—D.—

22

變式6.（2024.全國?高三專題練習）若平面內三點A（l,-d）,B（2,a2）,C（3,〃）共線，

則a=（）

A.1土也或0B.三叵或0

C.生或D.竺^或0

22

【解題方法總結】

斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變,

即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等.這正是利用斜率可證三點共線的原因.

題型三：過定點的直線與線段相交問題

例7.（2024.吉林.高三校考期末）已知點4（1,3）,8（-2,-1）.若直線/:y=k（x-2）+1與線段

A3相交，則左的取值范圍是（）

A.kN-B.k〈—2

2

C.k>—或k4—2D.—24左4—

22

例8.（2024?高三課時練習）已知點”（2,-3）和N（-3,-2）,直線/:y=6-a+l與線段MN

相交，則實數。的取值范圍是（）

3、3

A.a>—^a<-4B.-4<a<-

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

例9.（2024?全國?高三專題練習）已知A（2,0）,B（0,2）,若直線y=上"+2）與線段A3有

公共點，則k的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[l,+oo)

C.[0,1]D.(ro,-+8)

變式7.（2024.全國.高三專題練習）已知點A（-2,3）,3（3,2）,若直線以+y+2=0與線段

A3沒有交點，則。的取值范圍是（)

54

C.

2,3

變式8.（2024.全國?高三專題練習）已知直線+2a=0和以M（3,5）,N（4,-2）為端點的

線段相交，則實數。的取值范圍是（）

A.a<lB.-l<a<l

C.a<-l^a>lD.〃（一1或aNl或a=0

變式9.（2024.全國?高三專題練習）已知4（2,—3）,B（-3-2）,直線/過點尸（1,1）且與線段

A5相交，則直線/的斜率上的取值范圍是（）

33

A.左WT或女2—B.-4<k<—

44

1、43

C.k<——或女2—D.——<k<4

434

變式10.（2024?全國?高三對口高考）已知點P（-M）,Q（2,2）,若直線/：x+⑺+”=0與產。

的延長線（有方向）相交，則加的取值范圍為.

變式IL（2024.全國?高三專題練習）已知4-1,2）,3（2,4）,點尸（尤,y）是線段A2上的動點，

則）的取值范圍是.

X

變式12.（2024?全國?高三專題練習）尸（x,y）在線段43上運動，已知A（2,4）,S（5,-2）,

則學的取值范圍是.

【解題方法總結】

一般地，若已知4（百,%）,8（尤2，%），2（%，%），過「點作垂直于x軸的直線/'，過P點的

任一直線/的斜率為z,則當/'與線段的不相交時，々夾在原4與怎B之間；當/'與線段4?

相交時，上在&14與原B的兩邊.

題型四：直線的方程

例10.（2024?全國?高三專題練習）過點（1,2）且方向向量為（-1,2）的直線的方程為（）

A.2x+y-4=0B.%+y-3=O

C.x—2y+3=0D.x—2y+3=0

例IL（2024?全國?高三專題練習）過點A（L4）的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該

直線方程為（）

A.x—y+3=0B.%+丁一5=0

C.4%-丁=0或x+y—5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

例12.（2024?吉林白山?撫松縣第一中學校考模擬預測）對方程子=2表示的圖形，下列

敘述中正確的是（）

A.斜率為2的一條直線

B.斜率為一;的一條直線

C.斜率為2的一條直線，且除去點（-3,6）

D,斜率為的一條直線，且除去點（-3,6）

變式13.（2024.全國?高三專題練習）經過點尸（-1,。）且傾斜角為60。的直線的方程是

（）

A.s/3x-y-1=0B.乖x-y+拒=o

C.氐-y-石=0D.尤-gy+l=0

變式14.（2024?全國?高三專題練習）

變式15.（2024.全國?高三專題練習）已知過定點直線依-y+4-左=o在兩坐標軸上的截距

都是正值，且截距之和最小，則直線1勺方程為（）

A.x-2y-l=0B.無一2y+7：0C.2x+y—6=0D.尤+2y—6=0

變式16.（2024?全國?高三專題練習）若直線/的方程、中，ab>0,ac<0,則

bb

此直線必不經過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

變式17.（2024.全國?高三專題練習）已知直線/的傾斜角為60,且/在，軸上的截距為

-1,則直線/的方程為（）

A.y=--x-lB.y=尤+1

33

C.y=\[3x—1D.y=6x+1

【解題方法總結】

要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方

程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式.

題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題

例13.（2024.全國?高三專題練習）若一條直線經過點4（-2,2）,并且與兩坐標軸圍成的三

角形面積為1,則此直線的方程為.

例14.（2024.全國.高三專題練習）已知直線/過點M（2,l）,且分別與x軸的正半軸、y軸

的正半軸交于A,8兩點，。為原點，當△AOB面積最小時，直線/的方程為.

例15.（2024?全國?高三專題練習）已知直線/的方程為：

（2+7九）x+（l-2〃?）y+（4—3加）=0.

（1）求證：不論加為何值，直線必過定點M；

（2）過點M引直線上使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

變式18.（2024?全國?高三專題練習）直線/過點M（L2）,且分別與龍,丁軸正半軸交于A、B

兩點，。為原點.

⑴當面積最小時，求直線I的方程；

⑵求|0聞+2|0用的最小值及此時直線/的方程.

變式19.（2024?全國?高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，直線/過定點尸（3,2）,且

與x軸的正半軸交于點與＞軸的正半軸交于點N.

（1）當PATPN取得最小值時，求直線/的方程；

（2）求△MON面積的最小值.

變式20.（2024?北京懷柔?高二北京市懷柔區第一中學校考期中）已知直線/經過點

尸（2,2）,O為坐標原點.

（1）若直線/過點。（-2,0）,求直線/的方程，并求直線/與兩坐標軸圍成的三角形面積;

（2）如果直線/在兩坐標軸上的截距之和為8,求直線/的方程.

變式21.（2024?高二單元測試）已知直線/過點尸（4,3）,與x軸正半軸交于點A、與y軸正

半軸交于點B.

（1）求。電面積最小時直線/的方程（其中。為坐標原點）；

（2）求|以卜|依|的最小值及取得最小值時I的直線方程.

變式22.（2024?江西吉安?高二吉安一中校考階段練習）過點M（4,3）的動直線/交x軸的正

半軸于A點，交》軸正半軸于8點.

（I）求為坐標原點）的面積S最小值，并求取得最小值時直線/的方程.

（II）設P是AQ4B的面積S取得最小值時AOIB的內切圓上的動點，求

z/=|PO|2+|PB|2的取值范圍.

變式23.(2024?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習)已知直線/：

辰―y+1+2左=0.

(1)求/經過的定點坐標P;

(2)若直線/交X軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點5.

①,A03的面積為S,求S的最小值和此時直線/的方程；

②當尸A+gpB取最小值時，求直線/的方程.

變式24.(2024.河南鄭州.高二宜陽縣第一高級中學校聯考階段練習)已知直線

I:kx—y+2+3k=。經過定點P.

⑴證明：無論左取何值，直線/始終過第二象限；

⑵若直線/交X軸負半軸于點4交y軸正半軸于點8,當;|PA|+g|PB|取最小值時，求

直線/的方程.

變式25.(2024?江蘇宿遷?高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習)已知直線/過定點

尸且交x軸負半軸于點A、交》軸正半軸于點3.點。為坐標原點.

(1)若A03的面積為4,求直線/的方程；

(2)求|。4|+|08|的最小值，并求此時直線/的方程；

（3）求|E4Hp目的最小值，并求此時直線/的方程.

【解題方法總結】

（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與

截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”

之說.

（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以

根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決.例如：已知一點的坐標，求過

這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或

兩點，選擇截距式或兩點式.在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法

求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏.

題型六：兩直線的夾角問題

例16.（2024?上海浦東新?高三上海市川沙中學校考期末）直線x-by+2=0與直線

氐+2y=1所成夾角的余弦值等于

例17.（2024.高三課時練習）直線x+2y+2=0與直線3x-y-2=0相交，則這兩條直線的

夾角大小為.

例18.（2024.上海寶山?高三統考階段練習）已知直線4：2x-y=0,/2：3x+y-1=。，貝也與

12的夾角大小是.

11

變式26.（2024?重慶?高考真題）曲線y=與3-2在交點處切線的夾角

24

是.（用弧度數作答）

變式27.（2024?全國?模擬預測）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為x+y-2=0與

x-7y-4=0,原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為.

變式28.（2024?全國?高三專題練習）兩條直線=的夾

角平分線所在直線的方程是.

【解題方法總結】

若直線、=上逮+伉與直線，=匕尤+8的夾角為a,則tana=1勺.

題型七：直線過定點問題

例19.（2024?四川綿陽?綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知直線4：x-“y+l=0過

定點A,直線3儂+^-機+3=0過定點8,4與4相交于點尸，則向「+歸用-.

例20.（2024?全國?高三專題練習）已知實數a,b滿足“+26=1,貝|直線依+3y+6=0過定

點.

例21.（2024?陜西咸陽?統考二模）直線y=履-左+e恒過定點A,則A點的坐標為.

變式29.（2024?遼寧營口?高二校考階段練習）直/的方程為質-y+2Z+l=0化eR）,則該

直線過定點.

變式30.（2024.上海寶山.高二統考期末）若實數。、b、c成等差數列，則直線

ax+by+<?=0必經過一個定點，則該定點坐標為.

【解題方法總結】

合并參數

題型八：軌跡方程

例22.（2024.全國?高三對口高考）在平面直角坐標系中，已知一-.MC的頂點坐標分別為

4(2,3)、3(1,-1)、C(5,l),點尸在直線3c上運動，動點。滿足PQ=PA+P8+PC,求點

。的軌跡方程.

例23.(2024?安徽蚌埠?統考三模)如圖，在平行四邊形Q4BC中，點。是原點，點A和點

C的坐標分別是(3,0)、(1,3),點。是線段A3上的動點.

(1)求A3所在直線的一般式方程；

(2)當D在線段上運動時，求線段CD的中點M的軌跡方程.

例24.(2024?湖北咸寧?高二鄂南高中校考階段練習)如圖，已知點A是直線

乙"-2>>+1=。上任意一點，點8是直線/2：尤-2,-4=。上任意一點，連接A3,在線段

AB上取點C使得2Ci=3BC-

(1)求動點C的軌跡方程;

⑵已知點44,-2),是否存在點C,使得|尸。=3?若存在，求出點C的坐標；若不存在,

說明理由.

變式31.(2024.全國.高三專題練習)已知4(-1,1),5(2,1),動點M與A,B兩點連線的

斜率分別為kMA、kMB,若kMA=2kMB,求動點M的軌跡方程

變式32.(2024?高二課時練習)在ABC中，A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求上4的平分線

AD所在直線的方程.

變式33.(2024?江蘇?高二假