專題20圖形的旋轉（30題）

一、單選題

1.（2023?江蘇無錫?統考中考真題）如圖，44BC中，ABAC=55°,將AABC逆時針旋轉a（0°<a<55。）,得

到VADE,DE交AC于F.當a=40。時，點。恰好落在上，此時—AFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

2.（2023?天津?統考中考真題）如圖，把AABC以點A為中心逆時針旋轉得到VADE,點、B,C的對應點分

別是點。，E,且點E在3C的延長線上，連接3。，則下列結論一定正確的是（）

A.NCAE=NBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.（2023?四川宜賓?統考中考真題）如圖，AABC和AME是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，把AADE

以A為中心順時針旋轉，點M為射線3。、CE的交點.若AB=6，AD=1.以下結論：

①BD=CE；②3￡>_LCE；

③當點E在54的延長線上時，MC=上史；

2

④在旋轉過程中，當線段MB最短時，AMBC的面積為

其中正確結論有（）

BC

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2023?山東聊城?統考中考真題）如圖，已知等腰直角AABC,ZACB=90°,AB=&，點C是矩形ECG尸

與AABC的公共頂點，且CE=1,CG=3；點。是CB延長線上一點，且CD=2.連接BG,。尸，在矩形ECG產

繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段BG達到最長和最短時，線段對應的長度分別為機和小

rn

則絲的值為（)

c.VioD.屈

二、填空題

5.（2023?江蘇連云港?統考中考真題）以正五邊形ABCDE的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新

五邊形AB'CD'E'的頂點皿落在直線BC上，則正五邊AB8E旋轉的度數至少為'

6.（2023?湖南張家界?統考中考真題）如圖，AO為NR4C的平分線，且N54C=50。，將四邊形ABOC繞

點A逆時針方向旋轉后，得到四邊形聲短。，且NQ4c=100。，則四邊形ABOC旋轉的角度是

7.（2023?湖南常德?統考中考真題）如圖1,在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=8,BC=6,。是AB上一

點，且AD=2,過點。作。石〃3c交AC于E,將VADE繞A點順時針旋轉到圖2的位置.則圖2中”的

CE

值為.

圖1圖2

2k

8.（2023?江蘇無錫?統考中考真題）已知曲線G、C?分別是函數y=-二（x<0）,y=—（%>0,x>0）的圖像，邊

xx

長為6的正AABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點8、C在X軸上（3在C的左側），現將44BC繞原點。順

時針旋轉，當點8在曲線G上時，點A恰好在曲線C?上，則上的值為

9.（2023?遼寧?統考中考真題）如圖，線段AB=8,點C是線段A3上的動點，將線段8C繞點5順時針旋轉

120。得到線段3D,連接8,在的上方作RtADCE,使/￡）。￡1=90。,/￡'=30。，點b為。￡的中點，連

接AF,當AF最小時，ABCD的面積為.

10.（2023.江西?統考中考真題）如圖，在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,將AB繞點A逆時針旋轉角a

（0。<。<360。）得至UAP,連接尸C,PD.當APCD為直角三角形時，旋轉角a的度數為.

11.（2023?上海?統考中考真題）如圖，在AABC中，ZC=35°,將AABC繞著點A旋轉或0°<￡<180。）,

旋轉后的點8落在8C上，點2的對應點為。，連接AD,AD是,SAC的角平分線，則。=.

c

12.（2023?湖南郴州?統考中考真題）如圖，在RCABC中，/SAC=90。，AB=3cm,4=60°.將AABC

繞點A逆時針旋轉，得到△AB'C,若點8的對應點？恰好落在線段BC上，則點C的運動路徑長是

cm（結果用含萬的式子表示）.

13.（2023?內蒙古?統考中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,將“ISC繞點A逆

AF）

時針方向旋轉90。，得到△Afi'C.連接BE，交AC于點。，則=的值為.

14.（2023?黑龍江綏化?統考中考真題）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.現將AABC以點8為旋轉中

心旋轉45。，得到△A3C,延長CA交直線BC于點D則AO的長度為.

15.（2023?浙江嘉興?統考中考真題）一副三角板ABC和。跖中，

NC=N￡>=90。，NB=30。，NE=45。,BC=EF=T2.將它們疊合在一起，邊BC與所重合，8與AB相

交于點G（如圖1）,此時線段CG的長是,現將AD郎繞點C⑺按順時針方向旋轉（如圖2）,

邊E尸與A3相交于點“，連結加，在旋轉0。至IJ60。的過程中，線段掃過的面積是.

三、解答題

16.（2023?北京?統考中考真題）在AABC中、ZB=ZC=a（O°<a<45°）,AMJ_5C于點。是線段MC

上的動點（不與點M,C重合），將線段。暇繞點。順時針旋轉2a得到線段QE.

（D如圖1,當點E在線段AC上時，求證：。是MC的中點；

（2）如圖2,若在線段上存在點尸（不與點8,M重合）滿足。尸=￡）C,連接AE,EF,直接寫出4E產

的大小，并證明.

17.（2023?四川自貢?統考中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別是斜

（1）將ACDE繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點N距離的最大值和最小值;

⑵將ACDE繞頂點C逆時針旋轉120。（如圖2）,求的長.

18.（2023?四川達州?統考中考真題）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1,AABC的頂點均在小正方形

的格點上.

（1）將"LBC向下平移3個單位長度得到△A4G,畫出△A4C；

（2）將AABC繞點C順時針旋轉90度得到&,畫出“B?；

⑶在（2）的運動過程中請計算出AABC掃過的面積.

19.（2023?遼寧?統考中考真題）在RtAABC中，ZACB=90°,C4=CB,點。為的中點，點。在直線A8

上（不與點A3重合），連接CD,線段CO繞點C逆時針旋轉90。，得到線段CE,過點8作直線/L3C,

過點E作跖，/,垂足為點尸，直線所交直線OC于點G.

（1）如圖，當點。與點。重合時，請直接寫出線段AD與線段跖的數量關系；

（2）如圖，當點D在線段A3上時，求證：CG+BD=y/2BC;

s

（3）連接DE,ACDE的面積記為S-41BC的面積記為邑，當EF:3C=1:3時，請直接寫出”的值?

20.（2023?四川樂山?統考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數學探究活

動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：

如圖，將一個三角形紙板AABC繞點A逆時針旋轉。到達△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC,BC=B'C；ABAC=ZB'AC',ZABC=ZABC',ZACB=ZAC'B'（）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉的關鍵；故數學就是一門哲學.

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：；

（2）如圖，小王將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板ABC繞點。逆時針旋轉90。到達扇形紙板

A'B'C'的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果超'=6cm,則在旋轉過程中，點B經過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另

一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是

多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

21.（2023?浙江紹興?統考中考真題）在平行四邊形A5co中（頂點AB,C,O按逆時針方向排列）,

4

4B=12,4D=10,/3為銳角，且sinB=g.

（1）如圖1,求A3邊上的高的長.

⑵P是邊A3上的一動點，點C,。同時繞點尸按逆時針方向旋轉90。得點C,D'.

①如圖2,當點C'落在射線C4上時，求成的長.

②當△ACD是直角三角形時，求取的長.

22.（2023?四川南充?統考中考真題）如圖，正方形A3CD中，點M在邊3C上，點￡是4欣的中點，連接ED,

EC.

BMC

（1）求證：ED=EC；

（2）將BE繞點E逆時針旋轉，使點B的對應點"落在AC上，連接當點M在邊8C上運動時（點M不

與B,C重合），判斷AOW?的形狀，并說明理由.

⑶在（2）的條件下，已知AB=1,當/OEB，=45。時，求8M的長.

23.(2023?江蘇揚州?統考中考真題)【問題情境】

在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含30。的三角板開展數學探究活動，兩塊三角板

分別記作AADB和^AD'C,ZADB=ZA'D'C=90。,NB=NC=30。，設AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將AADB和△4D'C的邊AD、A77重合，再將AA'DC繞著點A按個勺'付方向旋轉，旋轉角為

a(0°<a<360°),旋轉過程中AADB保持不動，連接BC.

⑴當》=60。時，BC=；當5c=20時，?=°;

(2)當&=90。時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取BC的中點R將AA'O'C繞著點A旋轉一周，點E的運動路徑長為.

24.(2023.湖南.統考中考真題)(1)［問題探究］

如圖1,在正方形A8C。中,對角線AC、3D相交于點。.在線段AO上任取一點尸(端點除外)，連接P￡>、PB.

D?-----------------,C

QA

圖1

①求證：PD=PB；

②將線段DP繞點尸逆時針旋轉，使點。落在54的延長線上的點。處.當點P在線段AO上的位置發生變

化時，/。尸。的大小是否發生變化？請說明理由；

③探究A。與OP的數量關系，并說明理由.

(2)［遷移探究］

如圖2,將正方形A8CO換成菱形ABCD,且WC=60。，其他條件不變.試探究AQ與CP的數量關系，

并說明理由.

Dy-----------入C

A

圖2

25.(2023?湖北隨州?統考中考真題)1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一

條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家

托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當AABC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉60。得到AA'PC,連接尸P,

由PC=P'C,ZPCP=60。，可知△PCP為①三角形,故PP=PC,又PA=R4,故

PA+PB+PC=PA+PB+PP'>AB,

由②可知,當8,P,P',A在同一條直線上時，PA+P3+PC取最小值，如圖2,最小值為A3,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，5.WZAPC=ZBPC=ZAPB=(3);

已知當AABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/區4czi20。，

則該三角形的“費馬點”為④點.

(2)如圖4,在AABC中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點P為AABC的“費

馬點”，求PA+P8+PC的值；

AA

A

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2.x/3km,ZACB=60°.現欲

建一中轉站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為。

元/km,。元/km,0a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元.(結果

用含a的式子表示)

26.(2023?四川?統考中考真題)如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點A在直線AB上方旋轉，連接BC,

以BC為邊在BC上方作RU5DC,且ZDBC=30°.

⑴若N&)C=90。，以A3為邊在4B上方作RtZXBAE,且NA￡B=90。，NEBA=30。，連接DE,用等式表

示線段AC與DE的數量關系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE_LAB,AB=4,AC=2,求8C的長；

(3)如圖3,若ZBCD=90。,AB=4,AC=2,當AQ的值最大時，求此時tan/CBA的值.

27.(2023?湖北黃岡?統考中考真題)【問題呈現】

△C4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接AC,BE,探究AC,

BE的位置關系.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當“7=1時，直接寫出AD,8E的位置關系:

(2)如圖2,當根N1時，(1)中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應用】

(3)當機=6,43=4",0石=4時，將ACDE繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求3E的長.

28.(2023?內蒙古赤峰?統考中考真題)數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三

角尺放在正方形A3C。中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，45。角的兩

邊CM,CN始終與正方形的邊AD,AB所在直線分別相交于點N,連接MN,可得ACMN.

【探究一】如圖②，把VCDM繞點C逆時針旋轉90。得到ACB”,同時得到點H在直線AB上.求證：

Z.CNM=Z.CNH■,

【探究二】在圖②中，連接3D,分別交CM,CN于點、E,F.求證：LCEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線8。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連

接AC交于點。，求黑的值.

NM

29.（2023?湖南?統考中考真題）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：

在正方形ABCD的邊上任意取一點G,以為邊長向外作正方形BEFG,將正方形BEFG繞點8順時針

旋轉.

圖①圖②圖③

特例感知：

（1）當BG在BC上時，連接DEAC相交于點P,小紅發現點P恰為。尸的中點，如圖①.針對小紅發現

的結論，請給出證明;

（2）小紅繼續連接EG,并延長與D廠相交，發現交點恰好也是O9中點P,如圖②，根據小紅發現的結論,

請判斷VAPE的形狀，并說明理由;

規律探究:

（3）如圖③，將正方形B￡FG繞點2順時針旋轉a,連接。尸，點P是中點，連接AP,EP,AE,NAPE

的形狀是否發生改變？請說明理由.

30.（2023?貴州?統考中考真題）如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究,

在等腰直角三角形ABC中，C4=CB,ZC=90°,過點5作射線BDIAB,垂足為6,點尸在CB上.

圖②圖③

如圖②，若點尸在線段CB上，畫出射線上4,并將射線Q4繞點尸逆時針旋轉90。與3D交于點E,根據題

意在圖中畫出圖形，圖中NPBE的度數為..度;

⑵【問題探究】

根據(1)所畫圖形，探究線段上4與PE的數量關系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點尸在射線CB上移動，將射線叢繞點尸逆時針旋轉90。與8。交于點E,探究線段之

間的數量關系，并說明理由.

專題20圖形的旋轉（30題）

一、單選題

1.（2023?江蘇無錫?統考中考真題）如圖，44BC中，ABAC=55°,將AABC逆時針旋轉a（0°<a<55。）,得

到VADE,DE交AC于F.當a=40。時，點。恰好落在上，此時—AFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根據旋轉可得ZB="）B=ZADE,再結合旋轉角夕=40。即可求解.

【詳解】解：由旋轉性質可得：NBAC=NDAE=55。,AB=AD,

'：a=40°,

：.ZDAF=15°,NB=ZADB=ZADE=70°,

：.ZAFE=NDAF+ZADE=85°,

故選：B.

【點睛】本題考查了幾何一旋轉問題，掌握旋轉的性質是關鍵.

2.（2023?天津?統考中考真題）如圖，把AABC以點A為中心逆時針旋轉得到VADE,點8,C的對應點分

別是點。，E,且點￡在8c的延長線上，連接即，則下列結論一定正確的是（）

B.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根據旋轉的性質即可解答.

【詳解】根據題意，由旋轉的性質，

可得=AC=AE,BC=DE,故B選項和D選項不符合題意,

ZABC=ZADE

?.彳員CE=ASC+?BAC

彳如⑦=ADE+?BAC,故C選項不符合題意，

彳員CB=AED

彳頁C3=CAE+?CEA

?.?彳CEA+1BED

WAE=BED,故A選項符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質和三角形外角運用是解題的關鍵.

3.（2023?四川宜賓?統考中考真題）如圖，AABC和AADE是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，把

以A為中心順時針旋轉，點M為射線2D、CE的交點.若AB=6AD=1.以下結論：

@BD=CE；②BD1CE；

③當點E在54的延長線上時，MC=上詆；

2

④在旋轉過程中，當線段M5最短時，AMBC的面積為

其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】證明絲即可判斷①，根據三角形的外角的性質得出②，證明"CMS/ECX得出

籌=與1,即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當CE在0A的下方與。A相切時，MB的值最

小，可得四邊形AEWD是正方形，在Rt^MBC中MC=dBC?-MB?=0+1，然后根據三角形的面積公式

即可判斷④.

【詳解】解：:△ABC和石是以點A為直角頂點的等腰直角三角形,

BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

???△_6AZ）白,

ZABD=ZACE,BD=CE,故①正確；

^ZABD=ZACE=a,

：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=NDBC+ZBCA+NACE=45。-a+45。+a=90。，

:.BDLCE,故②正確；

當點E在54的延長線上時，如圖所示

ZDCM=NECA,NDMC=ZEAC=90°,

ZDCMs/ECA

.MCCD

*'ACEC

AB=y[3,AD^l.

：.CD=AC-AD=y/3-l,CE=yjAE2+AC2=2

.MC_V3-1

MC=t詆，故③正確;

2

,?/BMC=90。，

...當CE在。A的下方與。4相切時，MB的值最小，ZADM=ZDAE=ZAEM=90°

二四邊形AEMD是矩形，

又

，四邊形AEMD是正方形，

**?MD=AE=1,

；BD=EC=4AC2-A￡2=◎，

MB=BD-MD=e-1，

在RtAMBC中，MC^y/BC2-MB2

PB取得最小值時,MC=y]AB2+AC2-MB2=r3+3-(a-lj=6+1

???S"=gAffixMC=g("l)(0+l)=g

故④正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質，勾股定理，切線的性質，垂線段最短，全等三角形

的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

4.(2023?山東聊城?統考中考真題)如圖，已知等腰直角AABC,ZACB=90°,AB=魚，點C是矩形ECG產

與AABC的公共頂點，且CE=1,CG=3；點。是CB延長線上一點，且8=2.連接3G,￡＞尸，在矩形ECG尸

繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段BG達到最長和最短時，線段DR對應的長度分別為“和小

則竺的值為()

n

c.VToD.岳

【答案】D

【分析】根據銳角三角函數可求得AC=8C=1,當線段3G達到最長時，此時點G在點C的下方，且8,C,

G三點共線，求得5G=4,DG=5,根據勾股定理求得。尸=回，即加=圓，當線段BG達到最短時,

此時點G在點C的上方，且8,C,G三點共線，則3G=2,DG=1,根據勾股定理求得。尸=血，即〃=及，

即可求得生=屈.

n

【詳解】：AABC為等腰直角三角形，A3=應，??.AC=BC=A0sin45o=夜x正=1,

2

當線段BG達到最長時，此時點G在點C的下方，且8,C,G三點共線，如圖:

DG=DB+BG=5,

在RtZXDG召中，DF=JOG?+GF?=招+f=后，

即機=A/26,

當線段BG達到最短時，此時點G在點C的上方，且B,C,G三點共線，如圖:

DG=BG-DB=\,

在RtADG/中，DF=^DG1+GF2=#+12=72?

即〃=^2，

故嘲小

故選：D.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，勾股定理等，根據旋轉推出線段BG最長和最短時的位置是解題的關鍵.

二、填空題

5.（2023?江蘇連云港?統考中考真題）以正五邊形ABCDE的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新

五邊形AB'CD'E'的頂點DC落在直線上，則正五邊ABCDE旋轉的度數至少為

【答案】72

【分析】依據正五邊形的外角性質，即可得到，。B的度數，進而得出旋轉的角度.

【詳解】解：：五邊形ABCDE是正五邊形,

ZDCF=360°^5=72°,

新五邊形AB'CD'E'的頂點D0落在直線3C上，則旋轉的最小角度是72。，

故答案為：72.

【點睛】本題主要考查了正多邊形、旋轉性質，關鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運用.

6.（2023?湖南張家界?統考中考真題）如圖，4。為/R4C的平分線，且NR4C=50。，將四邊形ABOC繞

點A逆時針方向旋轉后，得到四邊形四短且NtMC=100。，則四邊形ABOC旋轉的角度是.

【答案】75。

【分析】根據角平分線的性質可得NBAO=NQ4C=25。，根據旋轉的性質可得NB4C=ZB'AC'=50。,

ZB'AOf=ZOfAC=25°,求得NQ4O'=75。，即可求得旋轉的角度.

【詳解】為NBAC的平分線，44c=50。，

ZBAO=ZOAC=25°,

將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉后，得到四邊形AB'0'C,

：.ABAC=AB'AC=50°,ZB'AO=ZO'AC=25°,

ZOAO'=ZOAC-ZO'AC=100°-25°=75°,

故答案為：75°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，旋轉的性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵.

7.（2023?湖南常德?統考中考真題）如圖1,在RtAiABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一

點，且45=2,過點。作。E〃BC交AC于￡,將VADE繞A點順時針旋轉到圖2的位置.則圖2中”的

CE

值為.

【分析】首先根據勾股定理得到AC=,他23灰=10,然后證明出△45ESZ\MC,得到募=笠，進

ABAC

4DAR

而得到F=然后證明出△ABD“ACE，利用相似三角形的性質求解即可.

AEAC

【詳解】???在RtAABC中，ZABC=90°,45=8,BC=6,

?*-AC=VAB2+BC2=10

DE//BC

：.ZADE=ZABC=90°,ZAED=ZACB

：.AADE^ABC

.ADAE

**AB-AC

.AD_AB

**AE-AC

ZBAC=ZDAE

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

：.ZBAD=ZCAE

AABZ）S八ACE

?BDAB_84

CD-AC-10-5,

4

故答案為：—.

【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質和判定定理.

9k

8.（2023?江蘇無錫?統考中考真題）已知曲線G、。2分別是函數>=——（%<0）,y=—（左>0,X>0）的圖像，邊

xx

長為6的正AABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點3、。在X軸上（3在。的左側），現將繞原點。順

時針旋轉，當點3在曲線G上時，點A恰好在曲線G上，則左的值為.

【答案】6

【分析】畫出變換后的圖像即可（畫AAQB即可），當點A在y軸上，點3、C在X軸上時，根據AABC為等

邊三角形且可得黑=4,過點A、8分別作x軸垂線構造相似，貝LBHOsOEA,根據相似

三角形的性質得出S0.E=3,進而根據反比例函數%的幾何意義，即可求解.

【詳解】當點A在y軸上，點8、C在無軸上時，連接AO,

???AABC為等邊三角形且AO」3C,則ZBAO=30°,

tan4AO=tan30。=%=迫，

OA3

如圖所示，過點分別作％軸的垂線，交工軸分別于點瓦尸，

AOLBO,NBFO=ZAEO=ZAOB=90°,

Z.BOF=90°-ZAOE=ZEAO,

ABFOSOEA,

S-AOE（OA）3，

-

…之s.0--1'

..S/XAOE=3,

k=6.

【點睛】本題考查了反比例函數的性質，％的幾何意義，相似三角形的性質與判定，正確作出輔助線構造相

似三角形是解題關鍵.

9.（2023?遼寧?統考中考真題）如圖，線段AB=8,點C是線段A3上的動點，將線段8C繞點8順時針旋轉

120。得到線段3D,連接C。，在A3的上方作RtADCE,使/。。e=90。,/石=30。，點尸為￡）石的中點，連

接AF,當"最小時，ABCD的面積為.

【答案】也

【分析】連接CF,BF,BF,切交于點P,由直角三角形的性質及等腰三角形的性質可得跳■垂直平分CF,

//止尸=60。為定角，可得點尸在射線2P上運動，當A尸，5尸時，AF最小，由含30度角直角三角形的性

質即可求解.

【詳解】解：連接CRBF,BF,切交于點P,如圖，

??,NOCE=90。，點尸為DE的中點，

FC=FD,

ZE=30。，

ZFDC=60°,

△人?是等邊三角形，

ZDFC=NFCD=60°；

??,線段BC繞點B順時針旋轉120°得到線段BD,

：.BC=BD,

FC=FD,

，3尸垂直平分CF,ZABF=60°,

.?.點尸在射線3P上運動，

.?.當尸時，AF最小,

止匕時ZFAB=90°-ZABF=30°,

：.BF=-AB=4-

2

,/ZBFC=-ZDFC=30°,

2

NFCB=NBFC+ZABF=90°,

BC=LBF=2,

2

*/PB^-BC=1,

2

由勾股定理得PC=^/BC2-PB2=43，

/.CD=2PC=2g,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了等腰三角形性質，含30度直角三角形的性質，斜邊中線性質，勾股定理，線段垂直平

分線的判定，勾股定理，旋轉的性質，確定點尸的運動路徑是關鍵與難點.

10.（2023?江西?統考中考真題）如圖，在YABCD中，ZB=6Q°,BC=2AB,將AB繞點A逆時針旋轉角a

（0。＜。＜360。）得到AP,連接尸C,PD.當APCD為直角三角形時，旋轉角a的度數為.

【答案】90°或270°或180°

【分析】連接AC,根據已知條件可得/區4c=90。，進而分類討論即可求解.

【詳解】解：連接AC,取8C的中點E,連接AE,如圖所示，

?.,在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,

BE=CE=-BC=AB,

2

是等邊三角形，

AZBAE=ZAEB=60°fAE=BE,

：.AE=EC

：.ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°,

2

???ABAC=90°

：.AC±CD,

如圖所示，當點尸在AC上時，止匕時NW=NBA。=90。，則旋轉角。的度數為90。,

當點P在C4的延長線上時，如圖所示，貝iJa=360。—90。=270。

當尸在B4的延長線上時，則旋轉角。的度數為180。，如圖所示,

VPA=PB=CD,PB//CD,

???四邊形PACD是平行四邊形，

?.*AC±AB

，四邊形PAC’D是矩形，

NPDC=90。

即是直角三角形,

綜上所述，旋轉角。的度數為90。或270。或180。

故答案為：90。或270。或180。.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，旋轉的性

質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

11.（2023?上海?統考中考真題）如圖，在AABC中，ZC=35°,將“LBC繞著點A旋轉。（0°＜。＜180。），

旋轉后的點B落在BC上，點8的對應點為。，連接ADAD是，54c的角平分線，則。=.

【分析】如圖，AB^AD,ZBAD=a,根據角平分線的定義可得/。0=/氏4。=￡,根據三角形的外角

性質可得/4。3=35。+￡，即得N8=NADB=35o+a,然后根據三角形的內角和定理求解即可.

【詳解】解：如圖，根據題意可得：AB=AD,ZBAD=a,

,/AD是NBAC的角平分線，

ZCAD=ZBAD=a,

VZADB=ZC+ZCAD=35°+a,AB^AD,

：.ZB^ZADB=350+a,

則在AABC中，VZC+ZGW+ZB=180°,

35°+2a+35°+c=180°,

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質以及三角形的內角和等知識，熟

練掌握相關圖形的性質是解題的關鍵.

12.（2023?湖南郴州?統考中考真題）如圖，在中，/SAC=90。，AB=3cm,NB=60°.將AABC

繞點A逆時針旋轉，得到△AB'C',若點8的對應點？恰好落在線段BC上，則點C的運動路徑長是

cm（結果用含"的式子表示）.

【答案】布兀

【分析】由于AC旋轉到AC',故C的運動路徑長是CC的圓弧長度，根據弧長公式求解即可.

在直角AABC中，/3=60。，則/C=30。,

貝U3C=2AB=2x3=6（cm）.

，AC=^BC2-AB2=V62-32=3/(cm).

由旋轉性質可知，AB=AB',又一3=60。，

AABB'是等邊三角形.

ZBAB'=60°.

由旋轉性質知，ZCAC=60°.

故弧CC'的長度為：言x2x%xAC=gx3g=g;r(cm)；

故答案為：血兀

【點睛】本題考查了含30°角直角三角形的性質、勾股定理、旋轉的性質、弧長公式等知識點，解題的關鍵

是明確C點的運動軌跡.

13.(2023?內蒙古?統考中考真題)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=1,將AABC繞點A逆

時針方向旋轉90。，得到△ABC，.連接BB',交AC于點，則詼的值為.

【答案】5

【分析】過點。作于點凡利用勾股定理求得A8=M，根據旋轉的性質可證AABB'、ADFB是

等腰直角三角形，可得=再由身仞8=:*3。'4。=：、。?><42,得4。=亞〃尸，證明

△AFD?AACB,可得變=竺，即AF=3D尸，再由4尸=如一。尸，求得。F=叵，從而求得

BCAC42

CD=-,即可求解.

2

【詳解】解：過點。作。尸，AB于點產，

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

AB=532+1?=J1U，

將AABC繞點A逆時針方向旋轉90°得到AAB'C,

/.AB^AB'^y/10,ABAB'=90°,

是等腰直角三角形，

NAB?=45。，

又：DF±AB,

：.NFDB=45°,

???△麗是等腰直角三角形,

/.DF=BF,

*.*SAnR=—xBC2xA2D=—xDFxAB即AD=y/WDF,

ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFAD,

AAFD~AACB,

DF

—,即AF=3O尸，

~BCAC

又?:AF=回-DF,

/.DF=—，

4

???3加萼=

0)=3--=-,

222

5

AD2<

CD.1'

2

故答案為：5.

【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，熟

練掌握相關知識是解題的關鍵.

14.（2023?黑龍江綏化?統考中考真題）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.現將AABC以點6為旋轉中

心旋轉45。，得到△A3C,延長CA交直線BC于點D則AD的長度為.

【答案】4+2百或4一2石

［分析］根據題意，先求得BC=26，當AABC以點B為旋轉中心逆時針旋轉45。，過點5作3E，AB交AD

于點E,當ULBC以點B為旋轉中心順時針旋轉45。，過點。作。尸，3c'交BC'于點尸，分別畫出圖形，

根據勾股定理以及旋轉的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點A作儂_LBC于點M,

,等腰AABC,ZBAC=120°,AB^2.

AABC=ZACB=30°,

/.AM=^AB^l,BM=CM=dAB?_AM2=也,

：.BC=2B

如圖所示，當AABC以點5為旋轉中心逆時針旋轉45。，過點3作班，43交AO于點E,

,?ZBAC=120°,

Z.ZDAB=60°,NA'￡S=30。，

在RLxA'BE中，A'E=2A3=4,BE=JA?-A?=2也，

;等腰AA5C,NB4c=120°,AB=2.

ZABC=ZACB=30°,

AABC以點B為旋轉中心逆時針旋轉45。，

ZABA=45°,

ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZA;BD=180°-45°-30°=105°

在△ABD中，ZD=180°-/DA'B-ZA'BD=180°-60°-105°=15°,

/.ZD=ZEBD,

?*.EB=ED=2y[3,

，A'D=A'E+DE=4+2yf3,

如圖所示，當AABC以點8為旋轉中心順時針旋轉45。，過點。作止LBC'交BC'于點尸，

A

：.DF=BF

在RtAOC'F中，NC'=30°

DF=—FC

3

，BC=BF+^BF=2^3

/.DF=BF=3-y/3

：.DC'=2DF=6-2^f3

/.A,D=C,D-A,C,=6-2-X/3-2=4-2A/3,

綜上所述，AD的長度為4-2指或4+2若，

故答案為：4-2指或4+26.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質，分類

討論是解題的關鍵.

15.（2023?浙江嘉興?統考中考真題）一副三角板ABC和。跖中，

ZC=Z￡>=90°,ZB=30°,NE=45。,BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊BC與所重合，8與A3相

交于點G（如圖1）,此時線段CG的長是,現將AD砂繞點C（尸）按順時針方向旋轉（如圖2）,

邊政與A3相交于點連結D/f,在旋轉0。至U60。的過程中，線段掃過的面積是.

【答案】6娓-60；12萬-18宕+18

【分析】如圖1，過點G作GHLBC于H,根據含30。直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質得出

BH=s/3GH,GH=CH,然后由BC=12可求出G”的長，進而可得線段CG的長；如圖2,將ADEF繞點

C順時針旋轉60。得到AQEF，g與AB交于GI,連接。刀，AD{,AQ當尸是ADE尸旋轉0°至U60。的過程

中任意位置，作DN±CR于N,過點B作BM1卬）交RD的延長線于M,首先證明ACDR是等邊三角形，

點2在直線AB±,然后可得線段DH掃過的面積是弓形DRD的面積加上ADQB的面積，求出DN和,

然后根據線段D//掃過的面積=S弓形卬鐘+2乃￡?=S扇形ccp—SAC〃￡>+S0DB列式計算即可.

【詳解】解：如圖1,過點G作于

C(F)

H

At-----------R---------------

D

圖1

,/ZABC=30°,ZDEF=NDFE=45°,ZGHB=ZGHC=90°,

/.BH=+GH,GH=CH,

BC=BH+CH=y/3GH+GH=U,

?*.GH=6A/3-6,

CG==A/2X(6A/3-6)=6^6-6A/2；

如圖2,將ADEF繞點C順時針旋轉60。得到△A與尸，藥與AB交于G1,連接DQ,

由旋轉的性質得：Z￡1CB=Zr)CD1=60°,CD=CDt,

AACD2是等邊三角形，

"?ZABC=30°,

；.ZCGlB=90°,

：.CGX=|BC,

,/CE}=BC,

：.CGt=|CE1；即A3垂直平分CEX,

*/是等腰直角三角形，

點D］在