熱力學(xué)基礎(chǔ)Chapter1ElementsofThermodynamicsTheFirstLawandSecondLawofThermodynamics熱力學(xué)第一定律和第二定律PartⅠ體系的分類(lèi)：封閉體系(closedsystem)：與環(huán)境沒(méi)有物質(zhì)交換。敞開(kāi)體系(opensystem)：與環(huán)境有質(zhì)量交換。體系體系簡(jiǎn)單體系（simplesystem)：體系內(nèi)部沒(méi)有任何絕熱(adiabatic)、剛性(rigid)、不滲透(impermeable)的界面(boundary)，而且不受外部和內(nèi)部力場(chǎng)的作用。復(fù)雜體系(compositesystem)：體系由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單體系構(gòu)成，如半滲透膜海水淡化體系；或者體系處于外部或內(nèi)部力場(chǎng)中，如磁場(chǎng)、電場(chǎng)等。

簡(jiǎn)單體系是最常見(jiàn)的一種體系。對(duì)于簡(jiǎn)單體系，體系的能量等于其內(nèi)能，即E=U。Section1TheFirstLawofThermodynamics

熱力學(xué)第一定律是對(duì)自然界普遍存在的能量守衡(energyconversation)規(guī)律的總結(jié)，可以用下面的數(shù)學(xué)公式表示：物理化學(xué)告訴我們封閉體系的熱力學(xué)第一定律是

而在實(shí)際化工過(guò)程或物理過(guò)程中遇到的體系不一定都是封閉體系，通常是敞開(kāi)體系。敞開(kāi)體系的熱力學(xué)第一定律如何表達(dá)？下面是敞開(kāi)體系的示意圖。

△(Energyofthesystem)+△(Energyofsurroundings)=0z1z21(in)2(out)u1u2P1,T1

H1,U1水平線(xiàn)FigureTheschematicofopensystemP2,T2

H2,U2對(duì)于給定的敞開(kāi)體系進(jìn)入體系的能量流入體系的物質(zhì)帶入的能量，體系與環(huán)境交換的熱和功，離開(kāi)體系的能量:體系能量的積累=進(jìn)入體系的能量-離開(kāi)體系的能量Note:Δ=2-1(Exit-Entrance)離開(kāi)體系的物質(zhì)帯走的能量,其中，是流體的質(zhì)量流速，kg/s；是熱交換速率，J/s；是功率。對(duì)于界面是剛性的體系，不存在體積功，只包括兩部分，一是流體進(jìn)入和離開(kāi)體系所做的流動(dòng)功率；另一種是軸功率(shaftworkrate)，，它是通過(guò)機(jī)械裝置，如泵，熱機(jī)，等做的功。因此這就是敞開(kāi)體系熱力學(xué)第一定律的通用形式。因?yàn)镠=U+PV，得到Aninsulated,electricallyheatedtankforhotwatercontains190kgofliquidwaterat600Cwhenapoweroutageoccurs.Ifwateriswithdrawnfromthetankatasteadyrateof0.2kg/s,howlongwillittakeforthetemperatureofthewaterinthetanktodropfrom60to350C?Assumethatcoldwaterentersthetankat100C,andCv=Cp=C,independentofTandP.(一個(gè)保溫很好、容量為190kg的電熱水器將水加熱到600C時(shí)，突然斷電。如果此時(shí)電熱水器以0.2kg/s的質(zhì)量流速放出熱水，問(wèn)需要多長(zhǎng)時(shí)間電熱水器里面的水由600C降到350C？假設(shè)：電熱水器進(jìn)口的冷水溫度為100C，水的CV=CP=C，與溫度無(wú)關(guān)。)ProblemSolution

Itisobviousthatweshouldconsiderthewaterinthetankasthesystem.Thereforethesysteminthisproblemisanopensystem.

1stStep:確定體系

Sincethesystemisanopensystem,weshouldusetheequationofthegeneralfirstlawofthermodynamicsforopensystems,tosolvetheproblem2ndStep:應(yīng)用敞開(kāi)體系熱力學(xué)第一定律3rdStep:分析熱力學(xué)第一定律中的各個(gè)項(xiàng)

Inthisproblem,theheatrateiszerobecauseapoweroutageoccursandheatlossesfromthetankarenegligible.Theworkrateisalsozerosincethereisnomechanicalequipmentintheprocess.Themassinthetankandthemassflowrateareconstant.Moreover,ifthedifferencesbetweeninletandoutletkineticandpotentialenergiescanbeneglected,theequationof1stlawissimplifiedasthefollowingform:

whereUandHrefertotheinternalenergyandenthalpyofthewaterinthetank;H1istheenthalpyofthecoldwaterenteringthetank.

ThereforeIntegratingtheaboveequationfromt=0toarbitrarytimetyields

Substitutionofnumericalvaluesintothisequation,gives

Since

在另外一些情況下，如果體系的部分界面可以移動(dòng)，則體系的體積要發(fā)生變化，體系與環(huán)境之間有體積功的交換。這時(shí)，如果忽略體系的動(dòng)能差和勢(shì)能差，敞開(kāi)體系的熱力學(xué)第一定律可以寫(xiě)成下面的形式ProblemProcess:A4m3storagetankcontaining2m3ofliquidisabouttobepressurizedwithairfromalarge,high-pressurereservoirthroughavalveatthetopofthetanktopermitrapidejectionoftheliquid(seethefollowingfigure).Theairinthereservoirismaintainedat100barand300K.Thegasspaceabovetheliquidcontainsairat1barand280K.Whenthepressureinthetankreaches5bar,theliquidtransfervalveisopenedandtheliquidisejectedattherateof0.2m3/minwhilethetankpressureismaintainedat5bar.AirReservoirStorageTankLiquidTransferValveQuestions:Whatistheairtemperatureinthestoragetankwhenthepressurereaches5barandwhentheliquidhasbeendrainedcompletely?SolutionThedefinitionofsystem:Themostconvenientsystemisthegasinthetankatanytime.Thisisthenanopensystematconstanttotalvolume.Step(a):Why?ReservoirlagerrelativetosystemSinceThenIntegrationNote:Hin

isconstantandthesubscriptidenotestheinitialstate.Consideringtheairasanidealgas,thenForidealgas,Thesubscript0denotesthereferencestate.SinceStep(b)Thedefinitionofsystem:Thesystemstillisthegasinthetankatanytime.Butinthiscase,thetotalvolumevarieswhilethepressureremainsconstant.Wherethesubscriptirepresentstheconditionsexistingattheendofstep(a).穩(wěn)流體系(steady-stateflowsystem)熱力學(xué)第一定律

穩(wěn)定流動(dòng)體系(簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)流體系）的特征是：

一、體系的質(zhì)量積累為零，即體系的質(zhì)量不隨時(shí)間的變化而變化；

三、體系的性質(zhì)以及體系進(jìn)口(entrance)和出口(exit)的性質(zhì)不隨時(shí)間的變化而變化。

二、體系的能量積累為零，即體系的能量不隨時(shí)間的變化而變化；

對(duì)于穩(wěn)流體系，敞開(kāi)體系熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式簡(jiǎn)化為下面的形式

如果穩(wěn)流體系只有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，因?yàn)榛蛘邔?xiě)成上式就是穩(wěn)流體系的熱力學(xué)第一定律，所有項(xiàng)的單位都是kJ/kg。

ProblemWaterat880Cispumpedfromastoragetankattherateof0.189m3·min-1.Themotorforthepumpsuppliesworkattherateof1.492kW.Thewatergoesthroughaheatexchanger,givingupheatattherateof4.2×104kJ·min-1,andisdeliveredtoasecondstoragetankatanelevation15.25mabovethefirsttank.Whatisthetemperatureofthewaterdeliveredtothesecondtank?At880Cthedensityofwateris961kg·m-3,theheatcapacityofwateratconstantpressureis4.18kJ·kg-1·0C-1.

用泵將880C的熱水由低位槽送到高位槽，流量為0.189m3/min，泵的功率為1.492KW，熱水在途中經(jīng)過(guò)一熱交換器，以42000kJ/min的速度放出熱量。兩個(gè)貯槽的高度差為15.25m。求水進(jìn)入高位槽時(shí)的溫度。已知880C水的密度為961kg/m3，水的CP為4.18kJ/kg·0C。

Solution1stTankPump2ndTankHeatExchanger1ststep:Thedeterminationofthesystemorcontrolvolume:

Inthisproblem,thesystemisthewaterwhichisdirectedfromthefirsttank,goesthroughapumpandaheatexchanger,anddirectedintothesecondtank.Thissystemthereforeisasteady-stateflowsystem.

2ndstep:Applyingthefirstlawofthermodynamicsforsteady-stateflowprocessestothesystem:

Theequationthatwillbeusedtosolvethisproblemis

Themassflowrateis:

PayattentiontothesignsofQ

andWsIfthedifferenceofkineticenergiesarenegligible,thenSinceThereforeSection2TheSecondLawofThermodynamics

熱力學(xué)第二定律主要解決過(guò)程進(jìn)行的方向和限度的問(wèn)題，其基本內(nèi)容簡(jiǎn)要概括為：熱力學(xué)第二定律的文字表達(dá)（說(shuō)法）克勞修斯(Clausius)說(shuō)法：不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體，而不引起其它變化。開(kāi)爾文(Kelvin)說(shuō)法：不可能從單一熱源取出熱使之完全變?yōu)楣Γ话l(fā)生其它的變化。后來(lái)被奧斯特瓦德(Ostward)表述為：第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)是不可能造成的。熱力學(xué)第二定律基本內(nèi)容熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)(熵增原理)即孤立體系發(fā)生的過(guò)程總是向熵增加的方向進(jìn)行，直至熵達(dá)到最大值，體系達(dá)到平衡態(tài)。熵增原理只能用于判斷孤立體系(與環(huán)境沒(méi)有質(zhì)量和能量交換)過(guò)程進(jìn)行的方向和限度。對(duì)于實(shí)際的敞開(kāi)體系，如何運(yùn)用熱力學(xué)第二定律判斷過(guò)程進(jìn)行的方向和限度？敞開(kāi)體系的熵平衡

我們可以象寫(xiě)敞開(kāi)體系的能量平衡(energybalance)方程一樣,寫(xiě)出敞開(kāi)體系的熵平衡(entropybalance)方程。兩者的重要區(qū)別在于，體系的能量是守衡的(Energyisconserved.)，但熵不守衡(Entropyisnotconserved.)。因?yàn)楦鶕?jù)熱力學(xué)第二定律，體系經(jīng)歷任何一個(gè)自發(fā)過(guò)程時(shí)，總的熵是增加的。因此，在寫(xiě)熵平衡方程時(shí)，必須考慮一個(gè)非常重要的物理量--熵產(chǎn)生(entropy-generation,SG)。敞開(kāi)體系的熵平衡示意圖：流體流經(jīng)體系的熵變化速率體系的熵變化速率環(huán)境的熵變化速率熵產(chǎn)生速率++=用表示在體系第j個(gè)表面處體系與環(huán)境的熱交換速率，表示環(huán)境的溫度，則環(huán)境的熵變化速率是Payattentiontotheminussignof因此，敞開(kāi)體系的熵平衡方程為

熵產(chǎn)生SG反映了過(guò)程的不可逆性(irreversibility)。過(guò)程的不可逆來(lái)源于兩個(gè)方面。一是體系內(nèi)部的不可逆性（internalirreversibility），二是體系與環(huán)境熱交換的不可逆性（externalthermalirreversibility），如存在一定量的溫度差導(dǎo)致的熱交換過(guò)程。任何一個(gè)自發(fā)過(guò)程，SG>0。

對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程，因?yàn)殪仄胶夥匠毯?jiǎn)化成

如果穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程只有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，則上式是穩(wěn)流體系的熵平衡方程，可用于熵產(chǎn)生的計(jì)算。Problem

Aninventorclaimstohavedevisedaprocesswhichtakesinonlysaturatedsteamat1000Candwhichbyacomplicatedseriesofstepsmakesheatcontinuouslyavailableatatemperaturelevelof2000C.Theinventorclaimsfuturethat,foreverykilogramofsteamtakenintotheprocess,2000kJofenergyasheatisliberatedatthetemperaturelevelof2000C.Showwhetherornotthisprocessispossible.Inordertogivetheinventorthebenefitofanydoubt,assumecoolingwateravailableinunlimitedquantityatatemperaturelevelof00C.SolutionVeryimportant:Foranyprocesstobetheoreticallypossible,itmustmeetthefirstandsecondlawsofthermodynamics.Thedetailedmechanismneednotbeknowninordertodeterminewhetherthisisthecase;onlytheoverresultisrequired.Analysis:(1)

SincecoolingisavailableatTσ=00C,maximumusecanbemadeofthesteambycoolingittothistemperature.Thereforeassume

thatthesteamiscondensedandcooledto00C;(2)Accordingtothe2ndthermodynamicslaw,wemustsupposetharsomeheatQσistransferredtothecoolingwateratTσ=00C.Theschematicpresentationofthisprocessisasfollows.ApparatusHeatreservoirTσ=00CHeatreservoir(coolingwater)T’=2000CSaturatedsteamat1000CLiquidwaterat1000CH1=2676.0kJ/kgS1=7.3554kJ/KH2=0.0kJ/kgS2=0.0kJ/KQ’=-2000kJQσAnalysisbythefirstlawofthermodynamics

Forthisprocess,theequationofthefirstlawofthermodynamicsforsteady-stateflowsystemissimplifiedas

SinceWs=0,thenTheenthalpiesofsaturatedsteamat1000Candcoolingwaterat00CareobtainedfromtheTableofsaturatedsteamintheAppendix4,asH1=2676.0kJ/kg,H2=0.0kJ/kg.ThereforeConclusion:

Theprocessobeythefirstlawofthermodynamics.Analysisbythesecondlawofthermodynamics

Forthepresentprocess,theequationofentropybalanceisFromtheTableofsaturatedsteamintheAppendix4,S1=7.3554kJ/K,S2=0.0kJ/K,thereforeConclusion:

Thisprocessdoesnotobeythesecondlawofthermodynamics.Thereforetheprocessasdescribedisimpossible.Question:Whatisthemaximumamountofheatwhichcanbetransferredtotheheatreservoirat2000C?

Forthisprocess,theenergybalanceisTheentropybalanceis(A)(B)Themaximumheatrejectiontothehotreservoiroccurswhentheprocessiscompletelyreversible,inwhichSG=0,andCombinationofEqsAandBleadsTherefore(C)

SincethemagnitudeofQ’islargerthan,thereforethepresentprocessisimpossible.理想功(Idealwork)、損失功(Lostwork)

熱力學(xué)第一定律和第二定律研究了能量的守衡和熱功轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。在化工或物理過(guò)程中，我們常常面對(duì)另外兩個(gè)有關(guān)能量的問(wèn)題：一是過(guò)程能量利用率的大小，二是能量品質(zhì)的高低。

如，如果一個(gè)化工或物理過(guò)程對(duì)外做功，我們希望做的功越大越好；反之，如果一個(gè)化工或物理過(guò)程消耗功，我們希望消耗的功越小越好。這就提出如何評(píng)價(jià)過(guò)程能量利用率的問(wèn)題。1kJ250C的海水和1kJ1000C的水蒸汽相比，誰(shuí)做的有用功大？這就提出如何評(píng)價(jià)能量品質(zhì)的問(wèn)題。

上述問(wèn)題需要用新的物理量--理想功(idealwork)來(lái)解決。理想功的定義：

體系狀態(tài)變化在一定的環(huán)境條件下按完全可逆的方式進(jìn)行時(shí)，理論上能產(chǎn)生的最大功或者必須消耗的最小功，稱(chēng)為理想功，用符號(hào)Wid

表示。1、非流動(dòng)過(guò)程的理想功

非流動(dòng)過(guò)程的熱力學(xué)第一定律是可逆過(guò)程在封閉體系或非流動(dòng)過(guò)程的熱力學(xué)第一定律表達(dá)式中，W包括體積功和非體積功兩部分，而體積功是無(wú)用功，沒(méi)有技術(shù)經(jīng)濟(jì)價(jià)值，在計(jì)算理想功時(shí)，必須將無(wú)用功扣除掉，即因?yàn)?、穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程的理想功

穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程的熱力學(xué)第一定律是Note：Ws是有用功。

穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程的熱力學(xué)第二定律是可逆過(guò)程

對(duì)于大多數(shù)的化工過(guò)程，流體的動(dòng)能差和勢(shì)能差相對(duì)于其它項(xiàng)而言，可以忽略不計(jì)，因此

對(duì)于只有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口的穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程，上式是最常用的穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程的理想功計(jì)算公式。

熱力學(xué)效率(Thermodynamicefficiency)

有了理想功，就可以評(píng)價(jià)一個(gè)化工或物理過(guò)程能量利用率的大小，所用的指標(biāo)是熱力學(xué)效率。熱力學(xué)效率的定義其中，Wac是實(shí)際過(guò)程做的功。注意熱力學(xué)效率與熱機(jī)效率的區(qū)別。損失功

損失功(lostwork)的定義

流動(dòng)過(guò)程的損失功對(duì)于流動(dòng)過(guò)程根據(jù)穩(wěn)定流動(dòng)過(guò)程的熱力學(xué)第二定律PartⅡ平衡判據(jù)和穩(wěn)定判據(jù)EquilibriumCriteriaandStabilityCriteriaClausiusStatement:

Thetotalentropyofacompletesystemanditssurroundingsproceedstowardamaximumasequilibriumisapproached.

GibbswasapioneerinreconstructingequivalentmathematicalcriteriatorigorouslydescribetheconditionsofstableequilibriumsetforthbyClausius.平衡判據(jù)ClassificationofEquilibriumStates通常情況下，平衡是指穩(wěn)定平衡。平衡：體系狀態(tài)不隨時(shí)間變化而變化，被認(rèn)為處于平衡狀態(tài)。穩(wěn)定平衡：如果給處于平衡狀態(tài)的體系一擾動(dòng)，體系能回復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，這樣的平衡稱(chēng)為穩(wěn)定平衡。平衡穩(wěn)定平衡(StableEquilibrium)不穩(wěn)定平衡(UnstableEquilibrium)亞穩(wěn)定平衡(MetastableEquilibrium)中性平衡(NeutralEquilibrium)(a)StableEquilibrium(b)UnstableEquilibrium(c)MetastableEquilibrium(d)NeutralEquilibrium大部分的實(shí)際體系都處于亞穩(wěn)定平衡狀態(tài)。如，所有含有碳和氫原子的有機(jī)化合物在氧存在的條件下通過(guò)反應(yīng)生成CO2和H2O，而到達(dá)一個(gè)更穩(wěn)定的狀態(tài)；大部分金屬相對(duì)于它們的氧化物也處于亞穩(wěn)定平衡狀態(tài)。但在許多情況下，體系過(guò)渡到更穩(wěn)定狀態(tài)的障礙相當(dāng)大，阻止了這種變化在有限的時(shí)間內(nèi)發(fā)生。因此，可以將亞穩(wěn)定平衡狀態(tài)看作是穩(wěn)定平衡。極值原則（ExtremaPrinciples）Question:

如何判斷一個(gè)給定的體系是否達(dá)到穩(wěn)定平衡?熱力學(xué)第二定律已經(jīng)證明，對(duì)于封閉體系內(nèi)發(fā)生的絕熱過(guò)程，如果過(guò)程是可逆的，總的熵變化等于零；如果過(guò)程是自發(fā)進(jìn)行或是不可逆的，總的熵變化大于零。由于孤立體系是封閉、絕熱體系的一種特殊形式，上述結(jié)果同樣適用于孤立體系。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為ifreversibleifirreversible式中，下標(biāo)NE、NV和M表示體系的總能量、總體積和總質(zhì)量是常數(shù)，它是孤立體系必須滿(mǎn)足的條件，或是孤立體系的約束條件。通過(guò)上述公式，可以得到以下結(jié)論：一個(gè)孤立體系要達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)，其熵對(duì)于任何一個(gè)允許的變化都必須具有最大值。假設(shè)體系的總熵NS

是變量z1，z2，…，zn+2的函數(shù)。n+2個(gè)變量包括體系n個(gè)組分的摩爾數(shù)，和體系兩個(gè)強(qiáng)度或容量性質(zhì)。如由Thus體系初始的狀態(tài)點(diǎn)是。給體系施加一個(gè)虛擬的過(guò)程，使得z1

變化δz1，z2變化δz2，…，zn+2變化δzn+2。體系總熵的變化可以通過(guò)將總熵展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。其中，假設(shè)體系的原始狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)，其總熵達(dá)到最大值，則對(duì)于任何可能的來(lái)自于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的擾動(dòng)，體系總熵變化量小于零，即(i=1,2,…,n+2)Thus,

是體系穩(wěn)定平衡狀態(tài)的判據(jù)，

是體系穩(wěn)定性的判據(jù)。上述判據(jù)只能適用于孤立體系。因此，在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)，必須加上孤立體系的約束條件。對(duì)于簡(jiǎn)單孤立體系，體系的能量等于內(nèi)能，約束條件是：如果體系是由兩個(gè)簡(jiǎn)單的子體系復(fù)合而成，約束條件為膜平衡(MembraneEquilibrium)假設(shè)存在一個(gè)由兩個(gè)子體系構(gòu)成的復(fù)雜體系，每一個(gè)子體系由不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的組分A和B組成，兩個(gè)子體系通過(guò)一層膜隔開(kāi)(seethefollowingfigure)。(1)A,B(2)A,BInternalwallFigureEquilibriuminacomplexsystem認(rèn)為該復(fù)雜體系保溫性能好，與環(huán)境沒(méi)有熱交換，它是一個(gè)孤立體系。該體系達(dá)到穩(wěn)定平衡必須滿(mǎn)足的條件是因?yàn)椋ˋ）（B）將孤立體系的約束條件應(yīng)用到公式（A），得到根據(jù)膜的特性的不同，分三種情況進(jìn)行穩(wěn)定平衡條件的判斷。（C）Case(a)TheinternalwallorboundaryispermeableonlytoB,diathermal,andmovable:在這種情況下，必須應(yīng)用另外一個(gè)約束條件，即（B1）將式（B1）代到式（C），得到（C1）穩(wěn)定平衡的判據(jù)是：Case(b)Theinternalwallisrigid,diathermal,andpermeabletoAandB:在這種情況下，必須應(yīng)用另外一個(gè)約束條件，即（B2）將式（B2）代到式（C），得到（C2）穩(wěn)定平衡的判據(jù)是：Case(c)Theinternalwallisdaibatic,movable,andpermeable:在這種情況下，有人會(huì)認(rèn)為必須應(yīng)用另外一個(gè)約束條件，即但是，膜之間的質(zhì)量傳遞也會(huì)引起兩個(gè)子體系能量的變化，因此，上述約束條件不成立，穩(wěn)定平衡的判據(jù)是：相平衡(PhaseEquilibrium)相平衡體系可以看成是簡(jiǎn)單體系的復(fù)合，在簡(jiǎn)單體系之間存在可移動(dòng)、導(dǎo)熱、能透任何組分的相分離膜。相平衡體系也可看成是一個(gè)膜平衡體系。如VaporLiquidPhase-separatingmembrane:movable,diathermal,andpermeabletoallcomponents因此，根據(jù)膜平衡判據(jù)，可以直接寫(xiě)出相平衡的判據(jù)：(i=1,2,…,n)下面從一般意義上推導(dǎo)相平衡判據(jù)。一個(gè)相平衡體系可以作是含有π個(gè)相的多組分孤立體系。其穩(wěn)定平衡判據(jù)是SinceThus(A)約束條件為：（B）（j=1,2,…,n）共有n+2個(gè)約束方程。將n+2個(gè)約束方程變化成下面的形式：（B1）(j=1,2,…,n)(j=1,2,…,n)將式（A）改寫(xiě)成如下形式（A1）(A1)-(B