第十七章一元二次方程（5大知識歸納）知識點一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2．正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)（1）明確只有當二次項系數(shù)時，整式方程才是一元二次方程。（2）各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)).（3）熟練整理方程的過程一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解列出實際問題的一元二次方程知識點二：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。知識點三：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題知識點四：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，得①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根．利用這一基本知識常可以簡捷地處理問題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當時，方程的兩根必一正一負．若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值．當時，方程的兩根同正或同負．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根．⑴韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實數(shù)，當時，一般地：①，②且，③且，特殊地：當時，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負根的條件．⑶以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：．⑷其他：①若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．②若，則方程必有實數(shù)根．③若，方程不一定有實數(shù)根．④若，則必有一根．⑤若，則必有一根．⑸韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個方面：①已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；②已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；③已知方程的兩根，求作方程；④結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；⑤逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；⑤利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱．知識點五：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗解是否合理；⑥寫出答案作答考點1數(shù)字問題數(shù)字問題有以下幾種常見類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，則這個兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，則這個三位數(shù)是.考點2多邊形對角線問題利用一元二次方程解多邊形對角線問題時需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對角線的總條數(shù).考點3循環(huán)問題雙方參與問題有以下幾種常見類型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個人握1次手，則個人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個人互送1張賀卡，則個人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個隊只比賽1場(單循環(huán))，則個隊比賽場;②若兩個隊相互比賽1場(雙循環(huán))，則個隊比賽場.考點4傳播問題1、病毒傳染問題：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人.開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了個人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個人又傳染了個人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹枝問題：設(shè)一個主干長x個枝干，每個枝干長x個小分支，則一共有1+x+x2個枝。考點5增減率問題增減率問題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來量是，平均增長率是，增長次數(shù)