北京西城14中2025屆高二上數學期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明“”的過程中，從到時，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.2．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.53．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.4．定義在R上的偶函數在上單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數據(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4006．已知函數的導數為，且滿足，則（）A. B.C. D.7．已知數列的前項和滿足，記數列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.8．設函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．函數，的值域為（）A. B.C. D.10．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條11．雙曲線的虛軸長為（）A. B.C.3 D.612．設函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______14．設點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________15．已知定義在R上的函數的導函數，且，則實數的取值范圍為__________.16．斐波那契數列，又稱“兔子數列”，由數學家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P(5，a)為拋物線C上一點，且|PF|＝8（1）求拋物線C的方程；（2）過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過Q(0，﹣3)，求直線l的方程18．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數，的值；（2）求在區間上的最值.19．（12分）已知函數在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數c的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）某地區2021年清明節前后3天每天下雨的概率為50%，通過模擬實驗的方法來計算該地區這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機數x（，且）表示是否下雨：當時表示該地區下雨，當時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區清明節當天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）．時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經研究表明：從2012年至2021年，該地區清明節有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計算如果該地區2021年（）清明節有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數據：，，，22．（10分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】依題意，由遞推到時，不等式左邊為，與時不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數學歸納法證明等式的過程中，假設時不等式成立，左邊，則當時，左邊，∴從到時，不等式的左邊增加了故選：B2、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以故選：A3、C【解析】根據四種命題的關系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C4、B【解析】，再根據函數的奇偶性和單調性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.5、B【解析】根據圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數學在生活中的應用，屬于基礎題6、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了基本初等函數的導數以及導數的基本運算法則，屬于基礎題.7、B【解析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【詳解】數列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.8、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當時，，.故選：B.9、A【解析】利用基本不等式可得，進而可得，即求.【詳解】∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴，，∴.故選：A.10、D【解析】求得圓心坐標分別為，半徑分別為，根據圓圓的位置關系的判定方法，得出兩圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.11、D【解析】根據題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【詳解】因為，所以，所以雙曲線的虛軸長為.故選：D.12、A【解析】利用導數的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結合根與系數關系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，由消去并化簡得，，設，則，結合拋物線的定義可知.故答案為：；14、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.15、【解析】由題意可得在R上單調遞增，再由，利用函數的單調性轉化為關于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數的導函數，在R上單調遞增，由，得，即實數的取值范圍為故答案為：16、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根據拋物線焦半徑公式構造方程求得，從而得到結果(2)設直線，代入拋物線方程可得韋達定理的形式，根據可構造方程求得，從而得到直線方程【小問1詳解】由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：【小問2詳解】由拋物線方程知：，設直線，，，，，聯立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過點，，，解得：，直線的方程為：，即18、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導，根據在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯立（1）、（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數的單調增區間為：，，減區間為：.函數在取得極大值，在取極小值；經計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.19、（1），；（2）.【解析】(1)極值點處導數值為零，據此即可求出a和b；(2)利用導數求出f(x)在時的最大值即可.【小問1詳解】由題設，，又，，解得，.【小問2詳解】由（1）得，即，當時，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，為極大值，又，顯然f（-）＜f(2)所以為在上的最大值.要使對任意恒成立，則只需，解得或c>1.∴實數c的取值范圍為.20、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內作，連結CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因為，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內作，垂足為E，因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因為，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過B在平面PAB內作，垂足為F，連結CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因為，，所以，從而所以二面角正弦值為.21、（1），；（2）；該地區2020年清明節有降雨的話，降雨量為20.2mm【解析】（1）利用概率模擬求概率；（2）套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，所給的20組數據中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，故所求的概率為；（2）由題中所給的數據可得，，所以，，所以回歸方程為，當時，，所以該地區2020年清明節有降雨的話，降雨量為20.2mm【點睛】求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出；③寫出回歸方程；④利用回歸方程進行預報；22、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立