專項素養(yǎng)綜合練(十)等腰三角形中作輔助線的六種常用方法1.如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=8,△ABC的面積為32,DE垂直

平分AC,分別交邊AB、AC于點D、E,F為直線DE上一動點,

點G為BC的中點,連接CF,FG,求CF+FG的最小值.類型一等腰三角形中有底邊中點時,常作底邊上的中線解析如圖,連接AG,AF,∵DE是AC的垂直平分線,∴AF=FC,∴CF+FG=AF+FG.當(dāng)A,F,G三點共線且AG⊥BC

時,AF+FG的值最小,∴CF+FG的最小值為AG的長.∵AB=

AC,點G為BC的中點,∴AG⊥BC.∵BC=8,△ABC的面積為32,∴

×8×AG=32,∴AG=8,∴CF+FG的最小值為8.類型二等腰三角形中證與腰有關(guān)的線段時,作腰的平行線2.如圖,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于點E,交AC的延長線于

點F,交BC于點D,且BE=CF,求證:DE=DF.證明如圖,過點E作EG∥AC交BC于點G,則∠EGD=∠FCD,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ABC=∠EGB,∴EB=EG.∵EB=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,

∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.類型三等腰三角形中證與底有關(guān)的線段時,常作底的平行線3.在等邊△ABC中,點E是AB上的動點,點E與點A、B不重合,

點D在CB的延長線上,且EC=ED.(1)如圖1,若點E是AB的中點,求證:BD=AE;(2)如圖2,若點E不是AB的中點時,(1)中的結(jié)論“BD=AE”是

否成立?若不成立,請直接寫出BD與AE的數(shù)量關(guān)系;若成立,

請寫出證明過程.解析(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵點E是AB的中點,∴CE平分∠ACB,AE=BE,∴∠BCE=30°.

∵ED=EC,∴∠D=∠BCE=30°.∵∠ABC=∠D+∠BED,∴∠

BED=60°-30°=30°,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.∴AE=DB.(2)成立.證明:過點E作EF∥BC交AC于點F,如圖.∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB.∵△ABC是等邊三角形,∴

∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,

∠AFE=∠ACB=60°.∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∠DBE=∠

EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.∴△AEF是等

邊三角形.∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF.在△DEB和△ECF中,

∴△DEB≌△ECF(AAS),∴DB=EF,∴AE=BD.類型四補形法4.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AC,∠ABD=60°,∠ADB=78°,∠

BDC=24°,求∠DBC的度數(shù).解析如圖,延長BD到點M使得DM=DC,連接AM,∵∠ADB=78°,∴∠ADM=180°-∠ADB=102°.∵∠ADB=78°,∠BDC=24°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°,∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中,

∴△ADM≌△ADC(SAS),∴AM=AC=AB.∵∠ABD=60°,∴△AMB是等邊三

角形,∴∠DCA=∠M=60°.∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO

=60°,∴∠BAO=∠ODC=24°.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵

∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,∴24°+2×(60°+∠CBD)=180°,∴∠CBD=18°.類型五倍長類中線法5.(一題多解)如圖,△ABC中,AD為中線,E為AB上一點,AD、

CE相交于點F,且AE=EF,求證:AB=CF.證明證法一:延長FD至點H,使FD=DH,連接BH,如圖1.∵AD為△ABC中線,∴BD=CD,∵在△BDH與△CDF中,BD=

CD,∠BDH=∠CDF,DH=DF,∴△BDH≌△CDF(SAS),∴∠H

=∠CFD,CF=BH.∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE.∵∠AFE=∠

CFD,∴∠EAF=∠H,∴AB=BH,∴AB=CF.證法二:過點B作BH∥CF,交AD的延長線于H,如圖2.∵BH∥CF,∴∠H=∠DFC.∵AD為△ABC中線,∴BD=CD,∵∠H=∠DFC,∠BDH=∠

CDF,∴△BDH≌△CDF(AAS),∴CF=BH.∵AE=EF,∴∠EAF

=∠AFE.∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H,∴AB=BH,∴AB=

CF.6.如圖,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求證:AB

=CD.證明如圖,延長DE到點F,使EF=ED,連接BF,∵E是BC的中點,∴BE=CE.在△BEF和△CED中,

∴△BEF≌△CED(SAS).∴∠F=∠CDE,BF=CD.∵∠BAE=∠CDE,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.又∵BF=CD,∴AB=CD.類型六截長補短法7.如圖,在△ABC中,∠A=60°.BE與CF交于點P,且分別平分∠

ABC,∠ACB.(1)求∠BPC的度數(shù);(2)連接EF,求證:△EFP是等腰三角形.解析(1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°.∵

BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠ABE=∠CBE=

∠ABC,∠BCF=∠ACF=

∠ACB,∴∠CBE+∠BCF=

∠ABC+

∠ACB=

(∠ABC+∠ACB)=

×120°=60°,∴∠BPC=180°-(∠CBE+∠BCF)=180°-60°=120°.(2)證明:在BC上截取BQ=BF,連接PQ,如圖,

在△FBP和△QBP中,

∴△FBP≌△QBP(SAS),∴FP=QP,∠BFP=∠BQP.∵∠BPC=120°,∴∠FPE=∠BPC=120°,∵∠A=60°,∴∠AFP+∠AEP