山西省忻州巿第一中學2025屆高一上數學期末監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的圖象的一個對稱中心是（）A B.C. D.2．管理人員從一池塘內隨機撈出40條魚，做上標記后放回池塘.10天后，又從池塘內隨機撈出70條魚，其中有標記的有2條.根據以上數據可以估計該池塘內魚的總條數是（）A.2800 B.1800C.1400 D.12003．在正內有一點，滿足等式，，則（）A. B.C. D.4．納皮爾是蘇格蘭數學家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數的發明，著有《奇妙的對數定律說明書》，并且發明了對數尺，可以利用對數尺查詢出任意一對數值.現將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若根據對數尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃5．平行線與之間的距離等于（）A. B.C. D.6．已知，，三點，點使直線，且，則點D的坐標是(

)A. B.C. D.7．已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，08．若函數，則（）A. B.C. D.9．函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數為奇函數B.函數的最小正周期為C.函數的圖象的對稱軸為直線D.函數的單調遞增區間為10．直線與直線互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數中角的終邊經過點，若時，的最小值為.（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調遞增區間.12．已知向量，，若，則與的夾角為______13．設，，則的取值范圍是______.14．已知函數，，那么函數圖象與函數的圖象的交點共有__________個15．若，則的定義域為____________.16．已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤（1）當滿足條件_________時，有；（2）當滿足條件________時，有．（填所選條件的序號）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為奇函數，且（1）求的值；（2）判斷在上的單調性，并用單調性定義證明18．已知函數，不等式解集為，設（1）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍19．已知函數（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在上的值域20．已知函數（1）若不等式的解集為，求的值；（2）當時，求關于的不等式的解集21．在①函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，圖象關于原點對稱；②向量，；③函數.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知_________，函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求；（2）求函數在上的單調遞減區間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】利用正弦函數的對稱性質可知，，從而可得函數的圖象的對稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數的圖象的對稱中心為，.當時，就是函數的圖象的一個對稱中心，故選：B.2、C【解析】由從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，可得所有池塘中有標記的魚的概率，結合池塘內具有標記的魚一共有40條魚，按照比例即得解.【詳解】設估計該池塘內魚的總條數為，由題意，得從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，所有池塘中有標記的魚的概率為：，又因為池塘內具有標記的魚一共有40條魚，所以，解得，即估計該池塘內共有條魚故選：C3、A【解析】過作交于，作交于，則，可得，在中由正弦定理可得答案.【詳解】過作交于，作交于，則，，在中，，，由正弦定理得.故選：A.4、B【解析】依題意可得，即，即可得到方程，解得即可；【詳解】：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B5、C【解析】，故選6、D【解析】先設點D的坐標，由題中條件，且，建立D點橫縱坐標的方程，解方程即可求出結果.【詳解】設點,則由題意可得：,解得，所以D點坐標為.【點睛】本題主要考查平面向量，屬于基礎題型.7、D【解析】利用向量的坐標運算得到|2用θ的三角函數表示化簡求最值【詳解】解：向量，向量，則2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分別是：16，0；所以|2的最大值，最小值分別是4，0；故選：D【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及三角函數解析式的化簡；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數的有界性8、C【解析】應用換元法求函數解析式即可.【詳解】令，則，所以，即.故選：C9、D【解析】根據圖象得到函數解析式，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，可得解析式，分別根據正弦函數的奇偶性、單調性、周期性與對稱性，對選項中的結論判斷，從而可得結論.【詳解】由圖象可知，，∴，則.將點的坐標代入中，整理得，∴，即；，∴，∴.∵將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，∴.，∴既不是奇函數也不是偶函數，故A錯誤；∴的最小正周期，故B不正確.令，解得，則函數圖像的對稱軸為直線.故C錯誤；由，可得，∴函數的單調遞增區間為.故D正確；故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查三角函數的圖象與性質，熟記正弦函數的奇偶性、單調區間、最小正周期與對稱軸是解決本題的關鍵.10、B【解析】時，直線分別化為：，此時兩條直線不垂直.時，利用兩條直線垂直可得：，解得.聯立方程解出即可得出.【詳解】時，直線分別化為：，此時兩條直線不垂直.時，由兩條直線垂直可得：，解得.綜上可得：.聯立，解得，.∴這兩條直線的交點坐標為.故選：【點睛】本題考查了直線相互垂直、分類討論方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2），【解析】（1）根據角的終邊經過點求，再由題意得周期求即可；（2）根據正弦函數的單調性求單調區間即可.【小問1詳解】因為角的終邊經過點，所以，若時，的最小值為可知，∴【小問2詳解】令，解得故單調遞增區間為：，12、##【解析】先求向量的模，根據向量積，即可求夾角.【詳解】解：，，所以與的夾角為.故答案為：13、【解析】由已知求得，然后應用誘導公式把求值式化為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質求得范圍【詳解】，，所以，所以，，，，故答案為：14、8【解析】在同一坐標系中，分別畫出函數，及函數的圖像，如圖所示：由圖可知，兩個函數的圖象共有8個交點故答案為8點睛：解決函數與方程問題的基本思想就是數形結合思想和等價轉化思想，運用函數圖象來研究函數零點或方程解的個數，在畫函數圖象時，切忌隨手一畫，可利用零點存在定理，結合函數圖象的性質，如單調性，奇偶性，將問題簡化．15、【解析】使表達式有意義，解不等式組即可.【詳解】由題，解得，即，故答案為：.【點晴】此題考函數定義域的求法，屬于簡單題.16、(1).③⑤；(2).②⑤【解析】若m?α，α∥β，則m∥β；若m⊥α，α∥β，則m⊥β故答案為（1）③⑤（2）②⑤考點：本題主要考查直線與平面垂直的位置關系點評：熟練掌握直線與平面平行、垂直的判定與性質，基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）遞減，見解析【解析】(1)函數是奇函數，所以，得到，從而解得；(2)在區間上任取兩個數，且，判斷的符號，得到，由此證明函數的單調性.詳解】(1)由題意知，則，解得；(2)函數在上單調遞減，證明如下：在區間上任取兩個數，且，因為，所以即，，所以即，函數在上單調遞減.【點睛】本題考查由函數的奇偶性求參數，利用定義證明函數的單調性，屬于基礎題.18、（1）；（2）【解析】（1）由不等式的解集為可知是方程的兩個根，即可求出，根據的單調性求出其在的最大值，即可得出m的范圍；（2）方程可化為，令，則有兩個不同的實數解，，根據函數性質可列出不等式求解.【詳解】（1）∵不等式的解集為∴，是方程的兩個根∴，解得．∴則∴存在，使不等式成立，等價于在上有解，而在時單調遞增，∴∴的取值范圍為（2）原方程可化為令，則，則有兩個不同的實數解，，其中，，或，記，則①，解得或②，不等式組②無實數解∴實數的取值范圍為【點睛】本題考查一元二次不等式的解集與方程的根的關系，考查函數的單調性，考查利用函數性質解決方程解的情況，屬于較難題.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用降冪公式、輔助角公式，結合正弦型函數最小正周期公式進行求解即可；（2）結合（1）的結論，利用正弦型函數的單調性進行求解即可.【小問1詳解】，函數的最小正周期為；【小問2詳解】由，則，則，即，所以函數在上的值域為.20、（1）；（2）見解析.【解析】(1)根據二次不等式解集與二次函數圖像的關系即可求出a的取值；(2)根據二次函數圖像的性質即可分類討論解不等式.【小問1詳解】不等式即，可化為因為的解集是，所以且解得；【小問2詳解】不等式即，因為，所以不等式可化為當時，即，原不等式的解集當時，即，原不等式的解集為當時即原不等式的解集.綜上所述，當時，原不等式的解；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集.21、選擇見解析；（1）；（2）單調遞減區間為.【解析】選條件①:由函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得到，解得，再由平移變換和圖象關于原點對稱，解得，得到，（1）將代入求解；（2）令，結合求解.選條件②:利用平面向量的數量積運算得到，再由，求得得到.（1）將代入求解；（2）令，結合求解.選條件③:利用兩角和的正弦公式，二倍角公式和輔助角法化簡得到，再由，求得得到.（1）將代入求解；（2）令，結合求解.【詳解】選條件①:由題意可知，最小正周期，∴,∴，∴，又函數圖象關于原點對稱，∴，∵，∴，∴，（1）；（2）由，得，令，得，令，得，∴函數在上的單調遞減區間為.選條件②：∵，∴，又最小正周期，∴，∴，（1）；（2）由，得，令