專題03二次函數最值問題專項訓練例題1：（線段最值）（2023上·廣東江門·九年級新會華僑中學校考期中）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點和．若點是所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點作平行于軸，交于點．

(1)求三個點，，的坐標；(2)當點運動至拋物線的頂點時，求此時的長；(3)設點的橫坐標為，的長度為；求與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍；是否存在最值，如有寫出最值．【答案】(1)、、(2)(3)當時，有最大值2【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值；（1）根據二次函數的解析式求三個點，，的坐標；（2）求得拋物線的頂點坐標為，當點運動至拋物線的頂點時得到，求得，于是得到結論；（3）根據，，于是得到，化成頂點式，即可得到結論；【詳解】（1）令，則，令，則，解得，或，∴、、；（2）拋物線的頂點坐標為，當點運動至拋物線的頂點時，，∵平行于軸，且點在直線上，∴橫坐標為，，設直線的解析式為：，，，，直線的解析式為：，，；（3）∵點的橫坐標為，∴，，，，當時，有最大值2．例題2：（面積最值）（2022上·廣東江門·九年級校考期中）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸相交于、兩點，與y軸相交于點B．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線與y軸的交點B的坐標和拋物線頂點坐標；(3)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．【答案】(1)(2)；拋物線的頂點坐標是(3)，S的最大值為4【分析】本題是二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及割補法求三角形的面積等知識點，熟練掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．（1）將點A與點C坐標代入可得關于a，b的方程組，解之可得；（2）求出時y的值可得點B的坐標，將解析式配方成頂點式可得其頂點坐標；（3）連接，由得出S關于m的函數解析式，配方成頂點式即可知其面積最大值．【詳解】（1）解：將、兩點代入中，得解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：在中，當，得，拋物線與軸的交點B坐標把配方，得拋物線的頂點坐標是；（3）解：如圖所示，連接，

點的橫坐標為，點在這條拋物線上，點的坐標為：，當時，有最大值，最大值為4．例題3：（將軍飲馬最值）（2023上·廣東惠州·九年級惠州市鐵路學校校聯考期中）如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)求的面積；(3)點是拋物線的對稱軸上一點，當的值最小時，求點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)的面積為6；(3)拋物線對稱軸上存在一點E，使的值最小，點E的坐標為．【分析】本題是二次函數的綜合題，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．（1）利用待定系數法將A，B兩點坐標代入拋物線解析式，解方程組即可求得結論；（2）利用拋物線解析式求得點C坐標，利用點的坐標表示出線段的長度，根據三角形的面積公式即可求得結論；（3）連接交對稱軸于點E，則此時最小；分別求得對稱軸方程和直線的解析式，據此即可求得點E坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：令，則，∴．∴．∵，∴，∴．∴，∴的面積為6；（3）解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線．連接交對稱軸于點E，則此時最小，如圖，

設直線的解析式為，由題意得：，解得：．∴直線的解析式為．當時，．解得：．∴．∴拋物線對稱軸上存在一點E，使的值最小，點E的坐標為．例題4：（利潤最值）．（2022上·廣東惠州·九年級惠州一中校考階段練習）某公司電商平臺，在2022年十一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發現，某種商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應值數據．x407090y1809030W360045002100(1)求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)若該商品進價為a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤．【答案】(1)(2)售價為60元時，周銷售利潤最大，最大利潤為4800元【分析】（1）設，把，和，，代入可得解析式；（2）根據利潤（售價進價）數量，得，把，，代入上式可得關系式，頂點的縱坐標即為利潤的最大值．【詳解】（1）解：設，根據題意得：，解得，關于的函數解析式為；（2）解：結合（1）得：，把，，代入上式可得：，解得，，售價為60元時，周銷售利潤最大，最大利潤為4800元．【點睛】本題考查二次函數的應用，解本題的關鍵理解題意，掌握二次函數的性質和銷售問題中利潤公式．【變式訓練】1．（2022上·廣東廣州·九年級校考階段練習）已知拋物線交軸于點，過作軸，交拋物線于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果點是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，連接，延長交拋物線于點，點為上方拋物線上的一個點，過點作軸的平行線交于點，作于點，請問是否存在點，使得的周長最長，若存在，請求出周長的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)的坐標為或或(3)當時，的周長最長，為【分析】（1）先根據題意求出，再使用待定系數法可求拋物線的解析式；（2）分兩種情況：當時，當與互相平分時，根據平行四邊形的性質分別求解即可；（3）用待定系數法求出直線的解析式，設，則，根據等腰直角三角形的判定與性質可得是等腰直角三角形，再結合勾股定理可得的周長，利用二次函數的性質即可得到答案．【詳解】（1）解：軸，，，將代入拋物線，得，解得，拋物線的解析式為：；（2）解：，對稱軸為直線，，，當時，如圖所示，則或，的橫坐標為，的橫坐標為，當時，，，當時，，，當與互相平分時，如圖所示，此時為拋物線的頂點，，綜上所述，的坐標為或或；（3）解：設的解析式為，將代入的解析式，得，解得，的解析式為，在上，在拋物線上，且軸，設，則，，軸，，，，，軸，，，是等腰直角三角形，，，，的周長為：，，拋物線的開口向下，當時，的周長最長，為，此時，當時，的周長最長，為．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質、二次函數的最大值，熟練掌握平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質，采用數形結合的思想解題，是解此題的關鍵．2．（2023上·全國·九年級專題練習）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經過市場調查發現，該文具的每天銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x/元…121314…每天銷售數量y/元…363432…(1)直接寫出y與x之間的函數關系式；(2)若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？(3)設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)18元(3)19元，198元【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據題意可列出關于x的一元二次方程，解出x的值，結合x的取值范圍求解即可；（3）根據題意可列出w與x的函數關系式，再根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為，由所給表格可知：，解得：，故y與x的函數關系式為；（2）解：根據題意得：，解得：．又∵，∴，答：銷售單價應為18元．（3）解：，∵，∴拋物線開口向下．∵對稱軸為直線，∴當時，w隨x的增大而增大，∴當時，w有最大值，．答：當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．【點睛】本題考查一次函數、二次函數的實際應用，一元二次方程的實際應用．理解題意，找出等量關系，列出等式是解題關鍵．3.（2023上·廣東佛山·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖像經過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當的值最大時，求此時點P的坐標及的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據點B的坐標得出，則，即可得出點B和點C的坐標；（2）設該拋物線的表達式為，將點代入得，再將點代入，求出a的值即可；（3）先求出直線的解析式，過點P作y軸的平行線交于點H，設點，則點，利用解直角三角形，則，即可求解．【詳解】（1）解：∵點B的坐標為，∴，∵，∴，∴，；（2）解：設該拋物線的表達式為，把點代入得：，把點代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為：，（3）解：設直線函數表達式為：，將點，代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，過點P作y軸的平行線交于點H，∵，∴，∵軸，∴，設點，則點，∴，∵，∴當時，有最大值，其最大值為，此時點．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，涉及到一次函數、解直角三角形等知識，用二次函數關系表示是解題的關鍵．1．（2023上·廣東陽江·九年級校考階段練習）如圖，拋物線（、、為常數，）經過點，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，在直線下方的拋物線上是否存在點使四邊形的面積最大？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）依題意可設交點式，再將代入求解即可；（2）依題意可求出，從而可說明四邊形的面積最大時，面積最大即可．過點P作軸，交于點D．利用待定系數法可求出直線的解析式為，設，則，即可求出，從而可利用三角形面積公式求出，最后根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線（、、為常數，）經過點，，，所以可設拋物線解析式為．將代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，，∴，∴，即為定值．∵，∴四邊形的面積最大時，面積最大．設直線的解析式為，則，解得：，∴．如圖，過點P作軸，交于點D．

設，則，∴，∴，∴當時，最大，即此時四邊形的面積最大，，∴此時點P坐標為．【點睛】本題為二次函數綜合題．考查二次函數的交點式，利用待定系數法求函數解析式，一次函數的應用，二次函數的圖象和性質等知識．解（1）正確設出交點式是解題關鍵；解（2）理解四邊形的面積最大時，面積最大，并正確作出輔助線，從而求出的二次函數關系式是解題關鍵．2．（2023上·廣東中山·九年級聯考期中）如圖，拋物線與軸的兩個交點為，，點為拋物線上的一動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)當面積為8時，求點的坐標；(3)當點在線段上方時，求面積的最大值．【答案】(1)(2)，，(3)面積的最大值為【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先得出，設，根據，可得，即有，問題隨之得解；（3）連接，設，，表示出，，，再根據，可得，整理化為頂點式，問題隨之得解．【詳解】（1）∵拋物線與軸的兩個交點為，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）∵，，∴，設，∵，∴，∴，當時，，解得：，∴；當時，，解得：，∴，或者；即滿足條件的P點的坐標為，，：（3）連接，如圖，

當時，，∴，∴，∵，∴，∵點在線段上方，∴設，，∵，，，又∵，∴，整理：，當時，面積的最大，最大值為：．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，待定系數法，解一元二次方程等知識，得出，是解答本題的關鍵．3．（2023下·廣東茂名·九年級校考開學考試）某工廠生產并銷售，兩種型號車床共臺，生產并銷售臺型車床可以獲利萬元；如果生產并銷售不超過臺型車床，則每臺型車床可以獲利萬元，如果超出臺型車床，則每超出臺，每臺型車床獲利將均減少萬元．設生產并銷售型車床臺．(1)當時，若生產并銷售型車床比生產并銷售型車床獲得的利潤多萬元，問：生產并銷售型車床多少臺？(2)當時，設生產并銷售，兩種型號車床獲得的總利潤為萬元，如何分配生產并銷售，兩種車床的數量，使獲得的總利潤最大？并求出最大利潤．【答案】(1)生產并銷售型車床臺(2)當生產并銷售，兩種車床各為臺、臺或臺、臺時，使獲得的總利潤最大；最大利潤為萬元【分析】（1）根據題意，列出一元二次方