泰勒公式學問與方法用簡潔函數靠近困難函數是數學中的一種基本思想方法，泰勒公式就是利用多項式函數來靠近其他函數所得到的一個基本定理.1.泰勒公式：設函數在處存在n階導數，則，其中，是函數在處的n階導數值，是皮亞諾余項，它表示時，的高階無窮小.2.麥克勞林公式：當時，泰勒公式變成，這個公式叫做麥克勞林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出幾個常見的麥克勞林公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.3.泰勒公式在中學數學中的應用：（1）構造不等式用于放縮：例如，我們在上面的麥克勞林公式（1）中將右側保留到一次項，其余全部丟掉，就可以得到一個常用的切線放縮不等式，若保留到二次項，則可以得到；類似地，還可以得到，，，，，等不等式.（2）近似計算：泰勒公式綻開的階數越高，計算的精度越高，但計算困難度也隨之上升，我們可以通過選擇恰當的綻開階數，來達到我們須要的計算精度.4.提示：在高考數學中，我們放縮時運用的以泰勒公式為背景的不等式，絕大多數都是一階的，也就是切線放縮；典型例題【例1】已知函數.（1）探討函數的單調性；（2）若，證明：.【解析】，設，則，，，留意到，所以有端點效應，而，所以，故，此時，，設，則，，，所以在上，又，所以，從而在上，因為，所以，故在上，易求得，所以恒成立，因為，所以，即，滿意題意，故實數的取值范圍是.【例2】若當時，恒成立，則實數a的取值范圍是________.【解析】依據泰勒展式，，，所以當時，，從而要使，只需，故，所以.【答案】【例3】（2024·新課標Ⅰ卷）設，，，則（）A. B. C. D.【解析】解法1：依據泰勒綻開式，，所以，，設，則，，，所以，，，，從而故，比較a、b、c的近似表達式簡潔發覺.解法2：，所以選項A、D錯誤，此時視察選項B、C知只需比較a和c的大小即可，設，則，，所以在上，所以，即，故，選B.解法3：，所以選項A、D錯誤，此時視察選項B、C知只需比較a和c的大小即可，留意到，設，，則，當時，，所以，從而，故，當且僅當時取等號，從而在上，所以，即，所以，選B.解法4：設，，，則明顯、、在上都，且，，，，易證當時，，所以，即三個函數在上的增長速率是最大，居中，最小，而，，，所以必定有.【答案】B強化訓練1.（★★★★）若關于x的不等式恒成立，則正實數a的取值范圍是________.【解析】解法1：,兩端同時加x得：，即①，設，則不等式①即為，明顯在R上，所以，從而，留意到，當且僅當時取等號，所以，即，因為，所以，從而.解法2：，首先取得到，從而，其次，當時，因為，所以，又，所以，故a的取值范圍是.【答案】2.（★★★★）若當時，恒成立，則實數a的取值范圍是________.【解析】解法1：，設，則恒成立，，設，則，，所以在上，又，所以，故在上，因為，所以恒成立，從而，故在上，由洛必達法則，，所以.解法2：，由泰勒綻開式，，所以當時，，故，從而要使，只需，所以.【答案】3.（★★★★★）若當時，恒成立，則實數a的取值范圍是________.【解析】解法1：明顯當時，不等式對隨意的實數a都成立，當時，，設，則，設，則，所以在