專題9圓錐曲線第二定義的應(yīng)用

微點(diǎn)2圓錐曲線第二定義的應(yīng)用（二）

【微點(diǎn)綜述】

過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，關(guān)于焦點(diǎn)弦問(wèn)題，除了運(yùn)用弦長(zhǎng)公式外，常利用

過(guò)焦點(diǎn)的特點(diǎn)，即用圓錐曲線統(tǒng)一定義求出焦半徑，從而得到焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)，也可使

與焦點(diǎn)弦相關(guān)的問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解，達(dá)到優(yōu)化解題、提高解題效率的效果.本節(jié)在上一

微點(diǎn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步概述圓錐曲線第二定義的應(yīng)用.

（四）求離心率（或其取值范圍）

22

例1.已知點(diǎn)F是橢圓C:5+￡=l（a>0,0>0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)8是短軸的一個(gè)端

點(diǎn)，線段5斤的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)。，且麗=2而，則橢圓C的離心率為

【答案】昱

3

【解析】解法1：BF=2FD,根據(jù)題意0/=c,OB=bBF=a,ED=g點(diǎn)。

2

橫坐標(biāo)C+；c==3c,縱坐標(biāo)bg,假設(shè)點(diǎn)。在第一象限，帶入橢圓方程

222

9c2b2]_

=1,9e?=3,73

彳+方3V

2-11百

解法2：tan￡=一,cos0--,—,e=——

ca1+133

【評(píng)注】應(yīng)用以下兩個(gè)結(jié)論，可以快速求出橢圓或雙曲線的離心率（或其取值范

圍）.

88

（1）橢圓與雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|4同=至=越（恒網(wǎng)=至=之叵為直線與

112431243

2525

焦點(diǎn)所在軸的夾角）；

（2）在圓錐曲線中，若e|cos8|=C，則有e|cosq=KW|（恒同=?為直線

與焦點(diǎn)所在軸的夾角）.

22

例2.（2021?重慶?三模）已知雙曲線C：，-5=1（。＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為

月,F2,過(guò)月的直線交雙曲線C的左支于P,。兩點(diǎn)，若可;=西.西，且

△PQ6的周長(zhǎng)為12a,則雙曲線C的離心率為（）

A*B.6C*D.2&

【答案】A

【分析】根據(jù)條件求得|P5|=3a,.?.歸耳|=%在RtZ^Pf；鳥(niǎo)中，由勾股定理可

得關(guān)于a,c的等式，進(jìn)而可求得離心率.

【詳解】由雙曲線定義知|尸閭一|尸￡|=|。周一|。周=2a,

則|尸制=|尸閭-2a,|Q￡|=|Q周一2a,.?.|P2|=|尸制+|Q周=|尸閭+|Q周一4a,

APQK的周長(zhǎng)為|%|+|＜2巴|+|P+=2（|P瑞|+|。/）-4a=1勿,

???I尸閭+|。國(guó)=8即|PQ|=4a,

由PgQ6）=OnP￡.PQ=OnPgLPQ,

2

AZF2PQ=90°,^\PF2f+16a=\QF2f,A\QF2\-\PF2\=2a,

.".\PF2\-3a,\QF2\-5a,.".\PF{\=a,

在RdPf；月中，a2+（3a）2=（2c）2,故6=￡=?.故選A.

a2

【評(píng)注】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由%=%?函得到NEPQ=90°.

（五）求最值

22

例3.過(guò)橢圓二+匕=1的右焦點(diǎn)B并垂直于X軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,橢

259

圓上不同的兩點(diǎn)A（N，y）,C（X2，%）,滿足條件：I5AM6⑸,1外C|成等差數(shù)列，則弦

AC的中垂線在）軸上的截距的范圍是（）

A.崎B?崎+臀）

【答案】C

【分析】利用焦半徑公式得％+Z=8,設(shè)AC中點(diǎn)M（4,y°）,利用點(diǎn)差法可求得

kAC,進(jìn)而求得弦AC的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用加（4,%）在橢

圓“內(nèi)”，可求得結(jié)果.

1Q

【詳解】?.?|乃川,1巴例,1乙。成等差數(shù)列，:.\F2A\+\F2C\=2\F2B\=—,

44

利用焦半徑公式得：因川=5-（玉，|瑪［=5-三9,代入可得芯+々=8

J。

設(shè)AC中點(diǎn)M（4,%）,橢圓上不同的兩點(diǎn)4（玉,凹）,。（*2,%），

2

V+支=1

259,兩式作差可得二=4?干，?&=《+，

左2

V,2玉一々25x+為25%

+^-=1

259

.?.弦AC的中垂線的方程為：>-%=筌氣》-4）,

36

當(dāng)尤=0時(shí)，y=-等，此即AC的中垂線在y軸上的截距,

<1,得-*<%<］，故選C.

【評(píng)注】（1）對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系'’或"點(diǎn)差法”求解，在使用根與

系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用A>0條件，在用"點(diǎn)差法''時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線

是否相交.

（2）用"點(diǎn)差法''求解弦中點(diǎn)問(wèn)題的解題步驟：

①設(shè)點(diǎn)，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入：將兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程；③作

差：將兩式相減，再用平方差公式展開(kāi)；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

式，然后求解.

例4.（2017?新課標(biāo)I理10）已知F為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相

垂直的直線4，6，直線4與C交于4、B兩點(diǎn)，直線4與C交于。、E兩點(diǎn)，則

|4卻+|。目的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】解法I：如圖，直線4與c交于A、8兩點(diǎn)，直線4與c交于。、

￡兩點(diǎn)，要使|A8|+|D￡|最小，則A與O,B,E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線OE的斜率

v2=

為I,又直線/,過(guò)點(diǎn)（1,0）,則直線乙的方程為y=x-i，聯(lián)立方程組一，則

y=x-l

y2-4j-4=0,乂+必=4,乂%=一4,

?|X—刃=血'阮=8,+目的最小值為2|。目=16,故

選A.

解法2：設(shè)直線4的傾斜角為。，則4的傾斜角為根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得

加急=焉

2P4

阿2P

sin2[1+6>cos20cos20,

44416

\AB\+\DE\=--------1-----------------------------------

sin20cos20sin2<9cos20sin220

,.?0<sin228ql,.,?當(dāng)6=45°時(shí)，|AB|+|DE|的最小，最小為16,故選A.

【評(píng)注】對(duì)于拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重點(diǎn)抓住拋物線的定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)

化到準(zhǔn)線上.另外，直線與拋物線方程聯(lián)立，求判別式、韋達(dá)定理是通法，需要重

點(diǎn)掌握.考查到最值問(wèn)題時(shí)要能想到用函數(shù)思想與方法及基木不等式進(jìn)行解決.

例5.（2021?云南大理?二模）設(shè)拋物線V=8x的焦點(diǎn)為凡過(guò)F的直線/與拋物線

交于點(diǎn)A,B,與圓x2+y2—4x+3=0交于點(diǎn)p,Q,其中點(diǎn)A,P在第一象限，則

21Api+|QB|的最小值為（）

A.2V2+3B.272+5C.4^+5D.4V2+3

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系，利用拋物線的焦半徑公式，將2|用+|。目

表示為焦半徑與半徑的關(guān)系，然后根據(jù)坐標(biāo)乙,4的特點(diǎn)結(jié)合基本不等式求解出

2|AP|+|Q8|的最小值.

【詳解】如圖所示，???圓的方程為丁+>2-48+3=0即為（x—2）2+產(chǎn)=1,.?.圓心

為（2,0）,即為拋物線V=8%的焦點(diǎn)且半徑R=l,

2\AP\+\QB\=2（|AF|-R）+（附-R）,2\AP\+\QB\=2\AF\+\BF\-3,

又,.14曰=4=x.+2,\BF\=xB+~=xB+2,/.2|AP|+|2B|=2xA+xg+3,

設(shè)/:x=/ny+2,/.\2，Ax2-（4+8m2）x+4=0,XX=4,

y=Sx'7AB

21AH+|Q6|=2/+/+322y]2xAxB+3=4行+3,取等號(hào)時(shí)

xA=&,4=2血.

綜上可知：（2|AP|+|Q即疝產(chǎn)40+3.故選D.

y

【評(píng)注】本題考查拋物線與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運(yùn)

用，難度較難.（1）已知拋物線丁=2沖（〃>0）上任意一點(diǎn)幾）以及焦點(diǎn)

F,則有|用廠|=%+$（2）當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線/與拋物線y2=2px（p>0）相交于

2

A（X,X）,B（&,y2）,則有貼=勺,y%=-P??

22

例6.（2022江蘇南京六合月考）已知橢圓,+3=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1,T）,尸是橢圓

的右焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，則MP+迅的最小值為.

【答案】4

【詳解】如圖，F(xiàn)（l,0）,橢圓的離心率為￡=叱，由橢圓的第二定義可知

a5

y/5\MF\=\MN\,

+的最小值，就是由P作PN垂直于橢圓的準(zhǔn)線于N,|PN|為所

2

求，橢圓的右準(zhǔn)線方程為》=幺=5,；.MP+石的最小值為：5-1=4.

C

（六）解決存在型問(wèn)題

22

例7.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：鼻+#=l(a>Z?>0)的右焦點(diǎn)為尸，上

頂點(diǎn)為M,直線的斜率為-變，且原點(diǎn)到直線的距離為述.

23

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)廠的直線/：丁=丘+機(jī)伏<0,〃?>0)與橢圓。交于48兩點(diǎn)，且

與圓爐+)2=1相切.試探究的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值；若不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】(I)y+/=l(ID是，2G

【分析】(/)由題意設(shè)E(c,0)、M(0,b),由斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式列方

程即可得解；(〃)由直線與圓相切可得加=1+左2,設(shè)A&,y),B(孫冉)，由韋

達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得|4同，由焦半徑公式可得|AF|、|BF|,進(jìn)而可得A/W尸的

周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】(Q設(shè)尸(c,0),M(0,&),則一2=一也，

c2

直線的方程為二+2=1,即法+。-仇?=0,

cb

...原點(diǎn)到直線FM的距離為-苫-=四,解得力=1,C=V2(負(fù)值舍去)，

yjb2+c23

尤

又〃=〃+。2=3，.?.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上2+y2=l.

3-

ImI

(〃)?.?直線/：丁=履+皿攵<0,加>。)與圓Y+V=1相切，.?.不二1,即

，1+攵~

m2=1+公，

V2_

設(shè)A(西,yj,8(%,%)，聯(lián)立了+)，得(3/+1卜2+6岐+3(加2_])=0,

y=kx+m

/.A=36k2>-12（3公+1）（〃/一。=設(shè)（3/-w2+l）=24公>o,

_-6km3（病一1）

%+*2=o；2,.，X,X,=-----，

3左+1123^+1

|AB|=Jl+父,歸-*21=Jl+公?J（X]+*2）~-4中2

l-42

,同理

\BF\=y/3-—X,,

3一

|AF|+|SF|=2>/3--（^+x2）,

...AABF的周長(zhǎng)是

2癢部+切-袈-乎尚一黔=25貝3的周長(zhǎng)

為定值2G.

【評(píng)注】本題考查了橢圓方程的確定及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓中的定

值問(wèn)題及運(yùn)算求解能力，合理轉(zhuǎn)化條件、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

2

例&設(shè)雙曲線方程"%"過(guò)v其右焦點(diǎn)且斜率不為零的直紹與雙曲線交于

43兩點(diǎn)，直線4的方程為1=心4,B在直線4上的射影分別為C，D.

（I）當(dāng)4垂直于x軸，/=-2時(shí)，求四邊形ABCD的面積;

（II）。=0,《的斜率為正實(shí)數(shù)，A在第一象限，B在第四象限，試比較

與1的大小;

\BD\-\FA\

(Ill)是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)滿足題意的任意直線和直線的

交點(diǎn)總在X軸上，若存在，求出所有的「值和此時(shí)直線49和交點(diǎn)的位置；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I)24(ID(III)，存在，f=；,此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為

加

【分析】(/))當(dāng)4垂直于x軸，直線4方程為x=2,四邊形ABOC為矩形，將

x=2代入雙曲線方程，求出A5坐標(biāo)，得出|AB|,即可求解；

(〃)設(shè)4的方程為x=my+2,,篦>0,設(shè)A,6兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為以，%,將4

的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出力，為關(guān)系，結(jié)

合力>0,為<0，將根據(jù)線段長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)

\AC\-\FB\JAC\\BF\^XA|九1

，

\BD\-\FA\~\BD\'\AF\~xH'\yA\

n~r

T+

j?利田占川用在皿曲緯knTM—?'--3巾

丹小JHi吊、c，Q住以紙J-HJ1號(hào)11,由

XB\y\

A1+半.1%|\r+—

y}3

%>-%>°，即可得出結(jié)論.

(〃/)設(shè)4%,力)，B(xB,yB),則D(t,yH),求出直線A。和直線BC

的方程，利用兩條直線相交在％軸上,可得2/可，A%+Q-/)(%+%)=。，將%，%

關(guān)系，代入，得18/〃-12(2-?〃=0對(duì)一切加H±且都成立，有，=1，求出交點(diǎn)

32

的橫坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】(/)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(2,0).故4：x=2.

x=2,

聯(lián)立2y2解得y=±3.故|A3|=6,又|AC|=4,故四邊形A8OC的面積為

x----=1

I3

24.

(//)設(shè)4的方程為1=陽(yáng)+2,這里加>0.

將4的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到3(my+2)2_y2_3=0,即

(3m2-l)y2+12沖+9=0.

由九%<°知3m2—1<0，此時(shí),

2rr

l+y-l^l93

\AC\-\FB\=\AC\\BF\^XA㈤=■

TBDT\FA\~\BD\'\AF'\~x'\y\~2

BAn~+-

43

12m

由于一,=力+%>。，故%>-%>0,

3m2—

11IACI-IFBI,

即叼>卬>。，故丁房，因此兩而<1

(HI)由(〃)得⑶/一廳+口沖+9=0.(有兩交點(diǎn)表示加#±等)

設(shè)4%，%)，8(j,%),則C(f,%)，。?，力)?

4,巧)的絕對(duì)值不小于1，故乙7/,且巧,力/.

丁一力x-t

又因直線斜率不為零，故力力力.直線A。的方程為

力一力XA-f

x-t

直線8c的方程為

Xl

yB-yAB~

若這兩條直線的交點(diǎn)在x軸上，則當(dāng)y=0時(shí),

兩方程的X應(yīng)相同,即x=/+f-')=t+

yA-yByB-yA

故力(加為+2—)+%(利為+2-。=0,即2而%為+(27)(%+%)=0.

912m

現(xiàn).產(chǎn)而二I,以+%=一而n,代入上式,得1M一12（2-輸=°對(duì)一切

士走都成立，即18=24—12r,r=L

32

此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％=，+一期⑴一）

力一打

J（〃%+2一）J?三（%+%）一（2—）%j?27=5

2%一九2%一力224

綜上，f存在，/=；,此時(shí)兩直線的交點(diǎn)為

【評(píng)注】本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程是解題的

基礎(chǔ)，應(yīng)用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解題的關(guān)鍵，將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩交點(diǎn)的坐標(biāo)

關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題.

【總結(jié)】

通過(guò)上面幾個(gè)例子，我們對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有了全面、完整、深刻的理解，

也為我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解題提供了思考的方法，同時(shí)彌補(bǔ)了教材講得

不透徹的局限.

從以上各題可以看出，解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問(wèn)題求解的

“三部曲”，把直線和曲線方程聯(lián)立，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，用韋

達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后將目標(biāo)轉(zhuǎn)化表示，運(yùn)算量往往不是一般的

大，若運(yùn)用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，直達(dá)結(jié)論，起到事半功

倍的效果.

【針對(duì)訓(xùn)練】

（2022綿陽(yáng)三模）

22

1.已知雙曲線C：二一4=1（。＞0,匕＞0）的右焦點(diǎn)為F,過(guò)產(chǎn)且斜率為6的直

a~b~

線交。于A、B兩點(diǎn),若通=5而，則C的離心率為（）

45〃-8

A.-B.-C.2D.一

335

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)出忸耳=x,|A同=5x,利用雙曲線的第二定義，結(jié)合直線的斜率為

G，建立等式，即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)忸耳=x,則|A同=5x,

2

過(guò)A、8作雙曲線右準(zhǔn)線％=幺的垂線，垂足分別為。、C,過(guò)8作4。的垂線，

C

垂足為E.

根據(jù)雙曲線的第二定義可得|人。|=寧，忸q='

.'.\AE\=—,

e

由直線的斜率為石，可得在RtZkABE中，ZA5E=30°,

4

：.\AB\^2\AE\,:.\AB\^\AF\+\BF\^6x^2\AE\^2x—r,

4

/.e=—.

3

故選：A.

22

2.已知雙曲線/>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為6的直線

交C于A、B兩點(diǎn),若衣=4而，則C的離心率為（）

569

A.—B.—C.—D.一

8555

【答案】B

【解析】

22

【分析】設(shè)雙曲線C：「-2=1的右準(zhǔn)線為/,過(guò)A、B分別作40J_/于M,

ab~

BN上1于N,于。，根據(jù)直線A8的斜率為G，得到同口二3人用，再

利用雙曲線的第二定義得到=而而|），又|A8|=|而|+|方結(jié)合

/=4而求解.

22

【詳解】設(shè)雙曲線C:「-4=l的右準(zhǔn)線為/,

a"b~

過(guò)A、B分別作于M,BN工1于N,BDLAA/于。，

如圖所示：

因?yàn)橹本€A3的斜率為6，

所以直線的傾斜角為60。，

Z.ABAD=60°,|A￡)|=^|AB|,

由雙曲線的第二定義得：

|刎一網(wǎng)=|明，(府卜阿毛|陰[(四+|阿,

又?.?麗=4而，

?二同臼啊

?e--

5

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形

結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3.已知片,鳥(niǎo)是雙曲線/的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上一

點(diǎn)，若國(guó)T的最小值為8。，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3JD.(1,2]

【答案】C

【解析】

\ppI2(2a+\PF\)24a2

【分析】由定義知：|列囹-伊乃|=2。，\PF^2a+\PF\\,產(chǎn)T=―,1,1

|P用|P司

4/

+4a+|PFi|>8a,當(dāng)且僅當(dāng)=|PFi|,即|PFi|=2a時(shí)取得等號(hào).再由焦半徑公式得雙

冏I

曲線的離心率的取值范圍.

【詳解】由雙曲線定義可得:

\PF2f(2a+1P用f4a2

\PF2\-\PF\\=2a,\PF2\=2a+\PFy\,"聞Mi"

4a2

當(dāng)且僅當(dāng)同=\PFi\,即|PFi|=2a時(shí)取得等號(hào).此時(shí)|P閭=4a

由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，PF2>c+a,即可4?2c+aneW3,又雙曲線的離心

率e>l,ee(l,3].

故選:C.

4.已知橢圓工+乙=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),尸為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)

43

例，使|MP|+2|MF1取得最小值，則點(diǎn)M坐標(biāo)為()

小高D；平』卜手

【答案】A

【解析】

【分析】利用橢圓的第二定義進(jìn)行求解.

V-221

【詳解】因?yàn)闄E圓方程為二+2v-=1,所以橢圓得離心率e=±,

432

設(shè)點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的距離為d,根據(jù)橢圓第二定義有：

等=e=g,所以d=2MF,所以|陰+2|"/|=|"青+1

表示橢圓上一點(diǎn)M到橢圓內(nèi)定點(diǎn)P和到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和，

當(dāng)MP垂直于右準(zhǔn)線時(shí)，|陰+21M月取得最小值.此時(shí)M的縱

坐標(biāo)為-1,代入橢圓方程看+^=1,求得M的橫坐標(biāo)為2國(guó).

433

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為-^-,-1，故B,C,D錯(cuò)誤.

故選：A.

（2022.四川涼山.高二期末）

22

5.已知月，乃是橢圓C:?+q=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)

|"耳卜|叫|取最大值時(shí)，三角形“百鳥(niǎo)面積為（）

A.2GB.73C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的焦半徑公式和橢圓中的X，〉的范圍可求得可取最大值

時(shí)，點(diǎn)M在橢圓的短軸上.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（X，X）,根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得:

用=2+閭=2-9

則有：|“用也馬=4-%：

根據(jù)橢圓的特點(diǎn)，可知：-24占＜2

可得：當(dāng)演=0時(shí)，|M耳可取最大值

此時(shí)，點(diǎn)M在橢圓的短軸上，則有：Sg釬=百

故選：B

（2021?廣州一模理）

6.已知以F為焦點(diǎn)的拋物線C：V=4x上的兩點(diǎn)A,B,滿足

而=2而則弦的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（）

cc8-10

A.2B.-C.—D.4

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)以及弁=%用，聯(lián)立可得進(jìn)而

可用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求|AB|=/l+J+2的最值，進(jìn)而可求.

【詳解】解法1：拋物線y2=4X的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=T,

設(shè)A&,y）,B（x2,y2）,則=忸目，由拋物線定義可知

xl+l=/la+l）①，.,.X]=/U2+4T,又因?yàn)榻?2序，所以

（l一N，-y）=/l（x2-Ly2），即l-X=X（x2一l）②，由①②可得：%=%工2=?

A

所以|A創(chuàng)=4尸+8尸=（玉+1）+（工2+1）=丸+，+2二」4/143,

43

當(dāng)4=3時(shí)，\AB\^A+-+2=—,當(dāng)X=1時(shí)，|AB|=/L+，+2=3,

A33A3

.?/九+!+2）=?,則弦A8的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離d=網(wǎng)，d最大值是

I丸Znax32

8

31

Q

...弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是],

故選：B.

2P

解法2：弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離p_2,根據(jù)

22sin20sin20

2_17i「3一

結(jié)論MsM=W7T=l一而e0,—,sin20=1-cos20G—,1,

2j|_4」

故選：B.

22

7.已知雙曲線=力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為6，6,過(guò)C的右

焦點(diǎn)工的直線/，與。的右支分別交于AB兩點(diǎn)，且|AB|=3忸勾，2\OB\=\F}F2\

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為.

【答案】叵

3

【解析】

【分析】由題意易知設(shè)忸段=（>0）,由雙曲線定義可知

\BF}\^2a+t,\AF\^2a+2t,在Rs%瑪和中由勾股定理，分別可得

4c2=（2a+/）2+/2,（2"+2。2=（2〃+疔+（3/）2,兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)整理可得

4c2=竺二，由此即可求出結(jié)果.

9

【詳解】如圖，連接A耳，BF、.

因?yàn)?|0同=忻用，所以2耳_LBK，

設(shè)忸閭=d>0）,

因?yàn)閨AB|=3忸段，所以|伍|=2f.

由雙曲線定義可得忸耳|-忸閭=2，即|跖|=%+反

由雙曲線定義可得|4耳|-|伍|=2a,即|A制=2a+2r,

在RtABF也中，由勾股定理可得忻且「=忸耳「+忸用2,即4c2=（2a+ty+*①,

在RtA4"B中，由勾股定理可得=忸耳「+|/叫2,即

（2a+2f）2=（2a+ry+（3r）2②，

由②得”當(dāng)，代入①整理得叱=亞，所以C的離心率為姮.

393

故答案為：叵.

3

（2022四川涼山州模擬）

8.已知拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸分別作兩條直線4，4，4直線與拋

物線。交于A、8兩點(diǎn)，直線4與拋物線。交于。、E兩點(diǎn)，若4與4的斜率的平

方和為2,則|筋|+|。目的最小值為—.

【答案】8

【解析】

【分析】設(shè)出兩條直線，分別和拋物線聯(lián)立，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式得到

\AB\=xi+x2+l=m（y]+y2）+2,\CD\=n（y3+yll）+2,再由韋達(dá)定理得到

\AB\+\CD\^2（m2+n2）+4,利用均值不等式得到最值.

【詳解】設(shè)4（%,加）,8（卬力），。（&，%），。（X4，%），

設(shè)直線4為x==，聯(lián)立直線4和拋物線得到/一2，町，一1=0,兩

根之和為：y+%=2，〃,同理聯(lián)立直線人和拋物線得到%+%=2〃

由拋物線的弦長(zhǎng)公式得到|他|=玉+七+1=加（必+%）+2,|。|=〃（%+%）+2

代入兩根之和得到|AB|+|8|=2（m2+“2）+4,已知

11c221/，2\（11]兒/〃2）

—+—=2,m+〃=-（m+nJ-+—=-2+—+—>2,

mn~2'\mn'）2（nm~）

|A5|+|C￡）|=2（m2+n2）+4>8.

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直

線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為

方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓

錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解

決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.

22

9.已知雙曲線工-匕=1的右焦點(diǎn)為耳，加是雙曲線右支上一點(diǎn)，定點(diǎn)4(9,2),

916

3

求1M+用的最小值.

一，36

【答案】y.

【解析】

【分析】運(yùn)用雙曲線的第二定義，結(jié)合圖像即可得到最小值.

由題意得。=3,Z?=4,則作=+52=J32+42=5，

所以e=￡=],

a3

2

過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線》=幺，垂足為N,

C

設(shè)|MN=4,則也絲ll=e,即=

d3

3

所以MIA/用=|M4|+d

顯然，當(dāng)M,N,A三點(diǎn)共線時(shí)，|M4|+沙用取得最小值,

22

10.如圖，已知橢圓工+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為片,招，過(guò)6的直線交橢圓于

32

民。兩點(diǎn)，過(guò)招的直線交橢圓于AC兩點(diǎn)，且AC求四邊形面積的最小值.

96

【答案】

【解析】

【分析】分類(lèi)討論直線8D的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方

程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求8D,AC,,進(jìn)而根據(jù)基本等式即可求解面積的最小值，當(dāng)無(wú)

斜率時(shí)，可求面積為4,進(jìn)而可求最小值.

【詳解】當(dāng)直線3。斜率A存在且不為0時(shí)，設(shè)80方程為：y=Mx+l）,聯(lián)立

y=Z（x+1）

<9n（3左2+2卜2+6攵2%+3%2_6=0,

132

設(shè)3a,凹）,。（孫必），則西+超=一盤(pán)萬(wàn)，32=會(huì)言，

2

由弦長(zhǎng)公式可得忸q=47淳人-司=+X2）-4X,X2=4里?；

46l）+1

因?yàn)锳CJ.即，故3c=—1,進(jìn)而可得|AC=一46（公+1）

3（j+22k2+3

所以四邊形的面積為

1,,,,14一（尸+1）4國(guó)爐+1）24（/+1）2

S=—8D?AC=-x——\------x——--------

2'11123k2+22左2+3一（2/+3）（3/+2）'

2

（2公+3）+（3/+2）

因?yàn)椋?r+3）（3/+2）4，即

2

/29\25（公+1『

（2k2+3）（3公+2）<—~~匚'

=24伊+1）2〉24仰+1）［96

一（2公+3）（3-+2）-25卜2+］）2一25，當(dāng)且僅當(dāng)2公+3=3公+2n時(shí)，等

4

號(hào)成立，

當(dāng)直線8。斜率不存在或者為0時(shí)、此時(shí)四邊形的面積為

S^-\BD\-\AC\=-x2ax—^2b2^4>—

T1112a25

???四邊形面積的最小值為券96.

22

11.已知雙曲線=-與=1（。>0/>0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為月，K，P是它左

支上一點(diǎn)，尸到左準(zhǔn)線的距離為d,雙曲線的一條漸近線為y=gx,問(wèn)是否存在

點(diǎn)尸，使d,|尸制，|尸可成等比數(shù)列？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.

..（3a,\fl5a

【答案】存在，---,±---.

I22）

【解析】

【分析】假設(shè)存在點(diǎn)P（%,%）滿足題中條件，根據(jù)漸近線方程求出離心率，根據(jù)

等比數(shù)列的性質(zhì)得到|P周=2|0耳］,再求出準(zhǔn)線方程，利用焦半徑公式求出方,再

代入雙曲線方程求出方,即可得解.

【詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)P（方,%）滿足題中條件.

?.?雙曲線的一條漸近線為y=底,

—=-^3,b—,/.h2—3a2,/.c2—a2=3a2,——2,即e=2.

aa

因?yàn)橐襂尸國(guó)產(chǎn)閭成等比數(shù)列，所以鳴=啰=2,所以上用=2|0周①,

2

?.?雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為x=±幺,

4|=2x0+—=|2x0+a|,\PF2\=2x0-=|2x0-a|.

,點(diǎn)P在雙曲線的左支上，，忸6|=—（a+外），|P周=a—?dú)猓?/p>

3r2v2

代入①得q_氣=_2（。+%），二九0=__a,代入~4_科=1，

2cTb

解得先=±與，

???存在點(diǎn)尸使d,|尸耳筆|成等比數(shù)列，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是-半，土坐

（2022?江西九江?一模）

12.在直角坐標(biāo)系宜內(nèi)中，已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的

直線交。于A,8兩點(diǎn)，|AB|的最小值為4.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若而=2礪一（1+4）礪，求△B4B面積的最小值.

【答案】（1）V=4x；

（2）4.

【解析】

【分析】（1）由題可得2P=4,即求；

（2）分類(lèi)討論，利用條件可得S3A8=2SM"，然后利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及

面積公式可表示S.8,即求；

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)A8垂直于x軸時(shí)，|4用最小，

其最小值為2，=4,p=2,

/.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4x.

【小問(wèn)2詳解】

解法一：取加=_而=_幾次+(1+4)方,

則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)。為線段的中點(diǎn).

,?S&PAB=2s△OAB.

當(dāng)A8垂直于x軸時(shí)，A,8的坐標(biāo)分別為(1,2),(1,-2),

S△戶AS=2S&OAB—x4xl=4,

當(dāng)A3不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為％,則直線AB的方程為丁=%(》一1)(左H0).

\k\

則點(diǎn)。到直線AB的距離d=,

Jl+公

聯(lián)立方程［)；中川，消去建理得心2一(2公+4卜+二=0,

y=4x

mI2K+44IAoi/4

貝！Jx^+x2=—乒—=2+—,|AB|=玉+z+P=4+—,

“△.=2S△的=2x；|陰/=(4+?卜^^=^^=4^7^〉4,

綜上可得，△PAB面積的最小值為4.

解法二：當(dāng)A3垂直于x軸時(shí)，48的坐標(biāo)分別為(1,2),(1,-2),

由麗=4礪一(1+冷礪，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,奴+2),

則點(diǎn)P到直線A8的距離為2,

又|AB|=4,所以△PAB的面積為:x2x4=4,

當(dāng)A8不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為攵化。0）,

則直線AB的方程為y=A（x-1）,

設(shè)P,A,B的坐標(biāo)分別為（％,M）,（占，匕），（與，，2），

則,=左（玉一1）,必=%（*2-1），

由麗=4麗一（1+4）礪，得毛=；1%―（1+;1）々，

%=—(1+4)%=4%(X]—1)—(1+4)2(工2~■1)=%[%甚—(1+之)々+1]，

即為=4（公+1）,故點(diǎn)P在直線y=Z（x+l）上，且此直線平行于直線A3.

則點(diǎn)尸到直線A3的距離d

\+k2

<：U；T'消去了整理得/x72-+4）x+/=0,

聯(lián)立方程

同12k~+441i4

貝ijx+x=-=2H--,|A4BD|=Xj+x+p=4A+—,

{2kkk2

.一“如外公二k+二卜回二呻二七口

2112Ik2)VTo7網(wǎng)Vk-

綜上可得，△PAB面積的最小值為4.

解法三：^OM=-OP=-AOA+(l+A