河北省部分重點高中2024年高考數學四模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一艘海輪從A處出發，以每小時24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達5處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么5,C兩點間的距離

C.80海里D.8G海里

x-y..O

已知羽V滿足卜+y.0,則y-3

2.的取值范圍為（)

x-2

X..1

3

A.-,4B.(1,2]C.(-oo,0][2,+oo)D.(^?,l)o[2,+co)

3.下列函數中，在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8）的是（)

A.J=|lg(-v+l)|B.y=x2C.y=2"D.y=ln|%|

4.若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強

了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫費比剛退休時少100元，則目前

該教師的月退休金為（）.

5.在邊長為的菱形ABC。中，4W=60。，沿對角線3。折成二面角A—C為120。的四面體ABCD（如

圖），則此四面體的外接球表面積為（）

A.28?B.7%

C.14〃D.2171

22

6.已知橢圓C：5+==1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為片，工，點P（玉，X），Q（—玉,一%）在橢圓C上，其

ab

中芯>0,以〉0,若|PQ|=2|O閶，||||>^,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.J。,怨]B.（0,76-2]

C.后書—1D.（0,73-1]

7.已知函數〃尤）=|cosx|+sinx,則下列結論中正確的是

①函數f（x）的最小正周期為汽；

②函數f（x）的圖象是軸對稱圖形；

③函數/（x）的極大值為0;

④函數f（x）的最小值為-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

8.已知復數z滿足z=4l—i）,（i為虛數單位），貝！|目=（）

A.V2B.73C.2D.3

22

9.已知雙曲線C:4=1（。>0力>0）的焦距為2c,過左焦點6作斜率為1的直線交雙曲線C的右支于點P,若線

ab

段P耳的中點在圓0：必+丁=02上，則該雙曲線的離心率為（）

A.yp2B.2夜C.拒+1D.272+1

10.高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數”為:設xeR,

用國表示不超過x的最大整數，則丁=國稱為高斯函數，例如：[-0.5]=—1,[1.5]=1,已知函數

“x）=4'T—3-2*+4（0<%<2）,則函數丁=[/（%）]的值域為（）

A.-B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2）

11.阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個

22

“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發現“圓柱內切球的體積是圓柱體積的；，且球的表面積也是圓柱表面積的；”

33

這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24〃，則該圓柱的內切球體積為（）

416

A.-7iB.167rC.—71

33

12.已知復數z滿足：zi=3+4i（i為虛數單位），則[=（)

A.4+3zB.4—3zC.—4+3zD.—4—31

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一底面半徑和高都是2帆的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現從中隨機取出的2加3

種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是.

14.秦九韶算法是南宋時期數學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項

式值的一個實例，若輸入〃，x的值分別為4,5,則輸出P的值為.

15.已知全集為R,集合4={尤?2一%=0},3={-1,0},則A!3=.

co4x+2y

16.設羽y為正實數，若4/+/+沖=1則20/+11口+5）,2的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C：—+￡=1（。〉人〉0）的長半軸長為夜，點（l,e）（e為橢圓。的離心率）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，P為直線1=2上任一點，過點P橢圓。上點處的切線為RI,PB,切點分別A,B,直線X=a與直

線Q4,P3分別交于M,N兩點，點M,N的縱坐標分別為祖，“，求的值.

18.（12分）已知都是大于零的實數.

(1)證明幺+幺..〃+匕；

ba

a1,

(2)若a>b,證明〃9+77+----->4.

b'a(a-b)

Y——Q-4~

19.(12分)在直角坐標系中，直線/的參數方程為、'(?為參數).以坐標原點為極點，x軸的正半

16

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕92=-------.

l+3sin'3

(1)求。和/的直角坐標方程；

(2)已知P為曲線C上的一個動點，求線段0尸的中點4到直線/的最大距離.

20.(12分)記S“為數列｛4｝的前幾項和，已知5“=/,等比數列｛%｝滿足4=q,

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)求也｝的前〃項和小

21.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，

直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

(2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單

位：元)，求X的分布列.

2

22.(10分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標軸垂直的直線/與橢圓C交于N兩點.

4

(I)若線段的中點坐標為，,g],求直線/的方程；

(II)若直線/過點(4,0),點P(/,0)滿足七用+女9=05,%v分別為直線PM,PN的斜率)，求無。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先根據給的條件求出三角形A3C的三個內角，再結合A3可求，應用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：N5AC=70。-40。=30。./4。。=110。，AZACB=110°-65。=45。,

/.ZABC=180°-30°-45°=105°.X45=24x0.5=12.

BC

sin300?

12BC

即也一1，：.BC=6日

V2

故選：A.

【點睛】

本題考查正弦定理的實際應用，關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

2、C

【解析】

v—3

設左二2—，則%的幾何意義為點(羽丁)到點(2,3)的斜率，利用數形結合即可得到結論.

x-2

【詳解】

解：設左=金，則左的幾何意義為點尸(x,y)到點。(2,3)的斜率，

x-2

作出不等式組對應的平面區域如圖：

由圖可知當過點。的直線平行于X軸時，此時左=二=0成立;

%—2

左=二取所有負值都成立;

x—2

當過點4時，左=三取正值中的最小值，，X=1y-31-3

x—2[x-y=0x-21-2

故上的取值范圍為(-8,0]2+8);

x-2

故選：C.

【點睛】

本題考查簡單線性規劃的非線性目標函數函數問題，解題時作出可行域，利用目標函數的幾何意義求解是解題關鍵.對

于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.

3、B

【解析】

分別作出各個選項中的函數的圖象，根據圖象觀察可得結果.

【詳解】

對于A,y=|ig(x+i)|圖象如下圖所示：

則函數y=|ig(x+i)|在定義域上不單調，a錯誤;

1

對于3,丁=》5=?的圖象如下圖所示：

則y=?在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8）,6正確;

對于C,>=2工的圖象如下圖所示:

則函數y=2'單調遞增，但值域為（0,+"）,C錯誤;

對于。，y=InW的圖象如下圖所示：

則函數了=足忖在定義域上不單調，。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數單調性和值域的判斷問題，屬于基礎題.

4、D

【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可.

【詳解】

設目前該教師的退休金為X元，則由題意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故選D.

【點睛】

本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題.

5、A

【解析】

畫圖取的中點M,法一：四邊形Oq/Q的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據

Oq=石，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出ACBD的外接圓直徑CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半徑從而求外接球表面積；

【詳解】

如圖，取3。的中點M,ACBD和AABD的外接圓半徑為彳=々=2,ACBD和AAHD的外心。i,。2到弦BD的

距離（弦心距）為4=4=1?

法一：四邊形0aMQ的外接圓直徑OM=2,R=",

S=287r；

法二：OOi=73,R=用,s=23兀；

法三：作出ACBZ）的外接圓直徑CE,則AM=CM=3,CE=4,ME=1,

「7+16-271

AE=BAC=36cos/A￡C=2."4=-2廳

3百2R=———=^^=2A/7廠

smZAEC=—^,sinZAEC3G，R=W，S=28〃.

2s2近

故選：A

【點睛】

此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑,方法較多，屬于較易題目.

6、C

【解析】

根據|PQ|=2|O閭可得四邊形為矩形，設因=〃，P瑪=%根據橢圓的定義以及勾股定理可得

4cmnmn八4c4^/3

工1~元=一+一,再分析/=一+一的取值范圍，進而求得2<小~八三一「再求離心率的范圍即可.

—cjnmnmL\a-cJ3

【詳解】

設=n,PF2=m,由占>0,%>0,知7”<〃,

因為P(&yJ,Q(—玉,一％)在橢圓C上尸@=-2\OP\=2\OF^,

所以四邊形為矩形，。耳=

PFXQF2PF2.

由黑可得立<生<1,

33n

由橢圓的定義可得加+〃=2%根2+〃2=4/①

平方相減可得mn=2(/—0?)②，

一4c2m2+n2mn

由①②得“22\——+；

2(〃—c1mnnm

.mn

令/=一+一,

nm

?mFA/3]'

令v=-e—,1,

n|_3J

所以/=丫+丫€12,§:

.4c2/473

即2<(22\WR，

2(〃-c\3

所以a2—02<g2<乎1—")，

所以1—e2<e2<乎(1—e2),

所以;<e2<4-2A/3,

解得正<e46-1.

2

故選：C

【點睛】

本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.

7、D

【解析】

因為/(%+兀)=|cos(>:+7t)|+sin(%+7r)=|cos%|-sinxwf(x),所以①不正確；

因為f(1)=1cosx|+sinx,所以/(^+x)=|cos(^+x)\+sin(-^+x)=|sinx|+cosx,

/(f-x)=|cos(f-x)|+sin(|-x)=|sinx|+cos.,所以嗎+》)=嗎-1

所以函數的圖象是軸對稱圖形，②正確；

易知函數/(X)的最小正周期為2%,因為函數/■(*)的圖象關于直線X=g對稱，所以只需研究函數/■(%)在［看,號］上

的極大值與最小值即可.當工<xK加時，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-^),且號，令x-?=g,得

22444442

X=—,可知函數/在X=3處取得極大值為垃，③正確；

44

因為手，所以-lW0sin(x-2)4點，所以函數/(X)的最小值為—1,④正確.

4444

故選D.

8、A

【解析】

z=z(l-z)=l+z,故|z|=JL故選A.

9、C

【解析】

設線段尸耳的中點為A,判斷出A點的位置，結合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設線段P耳的中點為A,由于直線耳尸的斜率是1,而圓0:好+丁2=02,所以A(o,C).由于。是線段月月的中點，

所以歸閭=2|Q4|=2c,而|尸耳|=2|A￡|=2x缶=2岳,根據雙曲線的定義可知歸耳卜歸閶=2a,即

2亞c-2c=2a，即？=JzT'L

故選：C

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關系，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔

題.

10、B

【解析】

利用換元法化簡/（“解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得了（九）的取值范圍，由此求得丁=［/（%）］的

值域.

【詳解】

14%1/\2

因為/（X）=4、-5_32+4（0〈尤<2）,所以丁=萬一32'+4-3-2+4,令丁=/（l<r<4）,則

42

113

/（0=-/92-3r+4（i<r<4）,函數的對稱軸方程為/=3,所以7>⑺而n=y（3）=—a，=/（1）=-，所以

/（x）e-，￡|，所以尸［/（切的值域為｛T,?！?

故選：B

【點睛】

本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應用意識.

11、D

【解析】

設圓柱的底面半徑為廠,則其母線長為/=2r,由圓柱的表面積求出廠,代入圓柱的體積公式求出其體積，結合題中的結論

即可求出該圓柱的內切球體積.

【詳解】

設圓柱的底面半徑為r，則其母線長為/=2r,

因為圓柱的表面積公式為S圓柱表=2%,+2兀八,

所以2;z■戶+2irx2r=24乃，解得r=2,

因為圓柱的體積公式為％柱=5/，=Q?2r,

所以/柱=萬義2義23=16%,

由題知，圓柱內切球的體積是圓柱體積的

所以所求圓柱內切球的體積為

V2232乃

V=§腺柱=§xl6〃=亍.

故選:D

【點睛】

本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;

屬于中檔題.

12、A

【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出z,再根據共飄復數的概念即可求解.

【詳解】

,.3+4，3z—4.

由zz=3+4z,則z=------=-------=4-3z,

i-1

所以口4+3"

故選：A

【點睛】

本題考查了復數的四則運算、共朝復數的概念，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13s---

4乃

【解析】

求解2機3占圓柱形容器的的總容積的比例求解即可.

【詳解】

21

解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率=——；—=—

TTX2-X24乃

故答案為：--.

【點睛】

本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.

14、1055

【解析】

模擬執行程序框圖中的程序，即可求得結果.

【詳解】

模擬執行程序如下：

"=4,x=5

v=1,z=3,滿足i>0,

v=8,z=2,滿足i>0,

v=42,r=1,滿足i>0,

v=211,z=0,滿足，>0,

v=1055,z=-l,不滿足后0,

輸出v=1055.

故答案為：1055.

【點睛】

本題考查程序框圖的模擬執行，屬基礎題.

15、{-1,0,1}

【解析】

先化簡集合A,再求AUB得解.

【詳解】

由題得A={0,l},

所以AUB={-l,0,l}.

故答案為{-1,0,1}

【點睛】

本題主要考查集合的化簡和并集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

【解析】

根據4/+/+呼=1,可得4/+/=1一盯，進而（2%+同2=1+3沖=1+^2沖+,有

g.4x+2y_2（2x+y）_2（2x+y）2（2x+y）回

（X+V）2-5,20x2+llxy+5y25（4x2+y2）+lIxy5+6xy2（2x+y）2+3,2x+y-te（0,*],

2t

得到了（。=五有，再用導數法求解，

【詳解】

因為4%2+/+沖=1,

所以4x2+y2-xy,

所以（2x+y）2=1+3孫=1+12孫<1+，

所以（2x+y『W：,

、4%+2y_2（2%+y）_2（2%+y）_2（2x+y）

所以2012+ii盯+5,25（4X2+j；2）+llxy5+6孫2（2x+y）2+3

Q2t

令2x+y=/e（0,，/，亍方

』

所以/'")=-4+6

(2入3丫'

當o</<J|時，r(o>o,當時，/'⑺＜。

eefaAL-\/6

故答案為：(0,J]

6

【點睛】

本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題,

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）y+y2=l；（2）2V2-3.

【解析】

1212—h2

（1）因為點（l,e）在橢圓C上，所以3+==1，然后，利用02=〃—^,e=c_,得出3+巴==1,進而求

abaaab

解即可

（2）設點P的坐標為（2/）,直線AP的方程為y=4（x—2）+/,直線8P的方程為y=匕（x—2）+f,分別聯立方

必2k+k=2t

----Fy=1l2

程：〈2和＜/1，利用韋達定理，再利用根=左（、無一2）+/,〃=自（行—2）+人即可求出

匕左2=

y=%(x—2)+12

mn的值

【詳解】

（1）由橢圓。的長半軸長為點，得a=B

因為點（Le）在橢圓C上，所以=1.

又因為02=儲—〃，e=￡,所以二+=11=1,

aaab

所以b=—l（舍）或b=l.

故橢圓C的標準方程為J+V=1.

（2）設點P的坐標為（2/）,直線AP的方程為丁=勺（］—2）+?，直線族的方程為y=&（x—2）+"

「2

X|2_］

據｛5+y—得（24+1）尤2+4勺?_2&）%+2?—2勺）2—2=0.

y=k］（%_2）+1

據題意，得16封（—2匕『—4（2片+1）［2（f——2］=0,得26—4%+〃—1=0,

同理，得2月一4次2+/—1=0,

k\+k?=It

所以r2-i.

W=(-

又可求，得力二勺(—2)+%,72=左2(—2)+，，

所以加=,(忘-2)+][%(④-2)+]

=(6—4⑹4+(后_2)(匕+42)+?

=(3-2⑹,2f+2(后―2卜2+/

=272-3-

【點睛】

本題考查橢圓標準方程的求解以及聯立方程求定值的問題，聯立方程求定值的關鍵在于利用韋達定理進行消參，屬于

中檔題

18、(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得土+夠a,Z+a2b,兩式相加即可求解.

ba

(b2(a—b}

(2)由(1)知力.)a+b——=而+=——代入不等式，利用基本不等式即可求解.

IaJa

【詳解】

2j2

(1)—+/??6Z,一+〃2b

ba

j22

兩式相加得幺+幺..〃+匕

ab

2

,、缶/、啟2/入b}_入b\a-b)

(2)由(1)知a..ba+b-----—cibH-------------------------

、aJa

▼=2a1,b2(a-b)a1

于是，a+—+----------..ab+-----------+—+----------

ba(a-b)aba(a-b)

(,a\(b2(a-b)1'

Ib~Jyaa(a—b),

c〃J

..2-+2->4.

ba

【點睛】

本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題.

19、(1)—+^-=1.x->/3y-9=0.(2)最大距離為

1642

【解析】

(1)直接利用極坐標方程和參數方程的公式計算得到答案.

X=4COS6Z,/、

(2)曲線C的參數方程為0.，設P(4cosa,2sin。)，計算點到直線的距離公式得到答案.

y=2sma

【詳解】

1A

(1)由夕2=------——,得夕之+30之sin?。=16,

l+3sin0

則曲線C的直角坐標方程為必+4/=16,即土+22=1.

164

直線1的直角坐標方程為x-退〉-9=0.

x=4cos。，

(2)可知曲線C的參數方程為0.(戊為參數),

y=2sma

設P(4cosa,2sina),ae[0,2/r),

則M(2cosa,sina)到直線l：x-Cy—9=0的距離為

12cosa-gsina—177sin(9—a)-919+近

d———

2

所以線段。尸的中點M到直線/的最大距離為22.

2

【點睛】

本題考查了極坐標方程，參數方程，距離的最值問題，意在考查學生的計算能力.

/*\3"11

20、(1)4=2"—l(〃eN)(2)當q=3時，4=萬一萬；當q=—3時，T=-(-3)-

n4

【解析】

(1)利用數列4與S”的關系，求得4=2〃-1；

(2)由(1)可得：b,=l,4=9,算出公比4,利用等比數列的前〃項和公式求出北.

【詳解】

(1)當〃=1時，%=S]=1,

當〃22時,an=Sn—Sn_1

2

=〃2-(n-1)

二2〃—1,

因為％=1適合上式，

所以?！?2〃-l(〃eN*).

(2)由(1)得4=1,4=9，

設等比數列｛〃｝的公比為彘則&=4―/=9,解得4=±3,

當好3時，「…/，

"1-322

當"-3時，TJ-：工

'"1-(-3)44

【點睛】

本題主要考查數列冊與S“的關系、等比數列的通項公式、前九項和公式等基礎知識，考

查運算求解能力.

3

21、(1)—；(2)見解析.

【解析】

(1)利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機變量X的可能取值有200、300、400,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機變量X的分布列.

【詳解】