高考數學解析幾何專題

第02講頂角最大問題與漸近線性質

一、頂角最大問題

知識與方法

在橢圓中有兩個比較特殊的角,一個是短軸上的一個頂點到兩焦點的張角,另一個是短軸

上的一個頂點到長軸上兩個頂點的張角,它們都是橢圓上任意一點到這兩對點的所有張角中

最大的角,這兩個最大張角有重要的應用,相關結論及證明如下：

22

結論1:已知F1,F2為橢圓,+2=1(">fo>0)的兩個焦點,P為橢圓上任意一點,則當

點P為橢圓短軸的端點時,/6P外最大.

【證明】如圖所示,設|尸6|=加,|尸用=〃,則："+〃=勿,|耳用=2<?,

所以E≤(等J=/(當“時取等號)

由余弦定理得：

cos/FPF=附用引=W+∕-(2C)2=2""L(2C)2

I2-2?PFl??PF2?一Imn一2〃m

4a2-4C24?22b1

=---------------1=--------1≥-?--1=1-2"9.

2mn2mnaz

當〃?="即IP用=IP用時取等號,所以當IP用=IP用時,cosZF1PF2的值最小，

又因為NK尸5?0,兀),所以此時NMPF2最大.即點P為橢圓短軸的端點時NKPF2最大

22

結論2:已知A,B為橢圓、■+%=1(。>匕>0)長軸上的兩個頂點,Q為橢圓上任意一點,

則當點Q為橢圓短軸的端點時,ZAQB最大.

【證明】如圖,設。(兌)')(0￡1<4,0<丫￡〃),過點。作。尸，48,垂足為73,則4尸=。+不

BP=〃一x,PQ=y,所以tanZA=,tanN8QP=?^^,則

V?

tanZ.AQP+tanZBQP

tanZAQB=

I-tanZΛβP?tanZBQP

因為f=/一「J,所以tanZAQB=—.

ba

n(IB

2

又因為1—尸?<0,∠ΛQβ∈(―,?)

所以當y=6時，tanZAQ8取得最大值，此時NAQ8最大.

即當點。為橢圓短軸的端點時，ZAQ3最大.

典型例題

【例1】若P是橢圓9+9=1上任意一點，F11F2是焦點，則ZF1PF2的最大值

為,

22

【例2】已知橢圓與+?=1,與耳是它的兩個焦點，點尸為其上的動點，當NFFB

為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍.

【例3】己知橢圓≤+^=l(α>h>O)長軸兩端點為A1B,如果橢圓上存在P點使得

?APB=120°,則橢哥的離心率的取值范圍是.

[例4]設A1B是橢圓C?+^=l長軸的兩端點，若C上存在點M滿足?AMB=

3m

120°,則m的取值范圍是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)

C.(0,l]∪[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

強化訓練

1.已知￡,月為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得N與尸K=60。，則橢圓離心率的取

值范圍是.

2.已知P為橢圓g+g=l(α>6>0)上一點，F11F2是其左右焦點，”止尸2取最大時

CoszF1PF2=則橢圓的離心率為.

γ2

2

3.焦點在%軸上的橢圓方程為^+y=l(α>O),F1,F2是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存

在點B,使得Z-F1BF2=p那/實數α的取值范圍是.

4.已知&、F2是橢圓的兩個焦點，滿足碇?麗=O的點M總在橢圓內部，則橢圓離

心率的取值范圍是()

A.(O,1)B.(0,∣)C.(O,y)D.(^,l)

5.設F11F2是橢圓C:]+A=I的兩個焦點，若C上存在點P滿足NFIPF2=120。,

則m的取值范圍是()m

A.(0,l]u[12,+∞)B.(θ,∣]∪[2√3,+∞)

C.(0用U[2√3,+∞)D.(0用U[12,+∞)

6.已知橢圓C的方程為^+^(0<b<2)離心率e=∣,F1M2分別為左焦點和右頂點,

點P(m,n)在橢圓上,若/FiP4為銳角，則實數m的取值范圍是.

二、漸近線性質

知識與方法

有關雙曲線的一些結論:

結論I:雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.

c

【證明】如左下圖所示，作F2H1/1于H,F2(/θ)到漸近線l-L?y=即bx-ay=O

的距離：

?bc?be

d=R"∣=漏笛="=b

22

【說明】如左下圖,在Rt△OHF2中，尸2川=b,∣0F2∣=J貝∣J?0H?=y∕?0F2?-?HF2?=

Vc2—b2=a,

記I1的傾斜角為θ,顯然有：漸近線I1的斜率k=tan。=*雙曲線的離心率e=(=

COSθ'

我們稱RtΔOHF2為雙曲線的特征三角形，顯然，這樣的三角形有4個.

結論2:以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線相交，設第一象限的交點為P,則P(α,b).

【證明】tan6=3=cosθ=%Sine=g,而?0P?=∣∣F1F2∣=c,所以xp=?OP?cosθ=

a

c--=a,

C

yp=|。PISinθ=c?：=b,即P(α,b)

結論3:過雙曲線會S=l(a>0,b>0)上任一點P作兩漸近線的平行線PE,PF,則

它們和兩條

漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值y.

【證明】我們先證明一個引理：若0λ=(Xι,yι),而=(X2,力)，則^11AOB=-χ2yi??

證明：SdAoB=j?OA??OB?sm?AOB=∣√(∣O;4∣∣Oβ∣)2(l-cos2Z∕1OB)

2222

=^^?OA??OB?-(OA-OB')=?J(xf+yf)(x^+y^)-(x1x2+y1y2)

1___________1

22χyx

=27(?y2)+U2y1)-2XιX2yιΓ2=2I!2_2y1l

下面結合引理來證明結論3.

X

依題意可設E(Xl,?xj,F(X2-~~2)^貝IJ而=荏+所=1]+*2，?(Xi-X2))，

即。11+孫沁1一工2))，代入雙曲線方程得，0聯一咤空=1,化簡整理，得

a2

X1X2=7，

則S49=張1?(-)2)_%2《％1|=如1%21=：?亍=g所以SCJoEPF=2SAEOF=

ab

2°

結論4:過雙曲線《一'=l(α>0,b>0)上一點P(Λ?,y°),作雙曲線的切線交兩漸近

線于i4(x1,y1),

β(x2,y2)兩點，則稱AAOB為雙曲線的漸近三角形，雙曲線的漸近三角形有如下性質：

⑴點P是線段AB的中點，即?PA?=?PB?.

(2)漸近三角形的面積為定值，即S-OB=ab.

證明留給讀者.

典型例題

【例1】已知雙曲線Cw-A=I(α>O,b>O)的左、右焦點分別為&，尸2,過FI的直線

與C的兩條漸近線分別交于A1B兩點.若品=福利及S=O,則C的離心率為

【例2】(多選)過雙曲線C:捻—'=l(α>0,b>0)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂

線，垂足為4與另一條漸近線交于點B,若?AF2?=l↑FB2?,則雙曲線C的離心率為

()

A.yB.√3C.乎D,3√3

【例3】已知雙曲線5一，=l(α>O,b>O)的左右焦點分別為F11F2,右頂點為A1P是

雙曲線右支上一點，PF1與漸近線y=-^x交于點Q,與漸近線y=gx交于點R,QR

的中點為M,若RF21PF1,且AM1PR：則雙曲線的離心率為()

A.√3B.2C.√2D.√5

強化訓練

2

1.已知雙曲線Cv-.?-y2=1,0為坐標原點，F為C的右焦點，過點F的直線與雙曲

線。的兩條漸近線分別交于點MM若AOMN為直角三角形，則IMNl=()

A.IB.3C.2√3D.4

2.設F11F2是雙曲線捺Y=I(α>0,b>0)的左、右焦點，。是坐標原點.過％作C

的一條漸近線的垂線:垂足為P.若∣PF1∣=√6∣0P∣,則C的離心率為()

A.√5B.2C.√3D.√2

2

3.已知坐標平面xθy中，點F11F2分別為雙曲線C?.^-y=l(α>0)的左、右焦點，點

M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條翡近線交于點D,且D為MF2的中

點，點I為AOMFz的外心，若0」,D三點共線，則雙曲線C的離心率為()

A.√2B.3C.√5D.5

4.己知雙曲線?-g=1(a>O,b>O)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直

aib2

線與雙曲線

的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是

A.(1,2)B.(1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)

5.己知F是雙曲線C?-?=l(α>O,h>O)的右焦點，。是坐標原點.過F作C的

一條漸近線的垂線，垂足為P,并交y軸于點Q.若IoQ=3|。PI,則C的離心率為

A.越B.越C.√2D.√3

44

6.雙曲線6^-?=l(α>0,b>0)的左焦點為F,過尸作X軸垂線交E于點A,過

F作與E的上條漸近線平行的直線交E于點B,且4,8在X軸同側，若?FAB=30°,

則E的離心率為.

7.過雙曲線C:^—A=l(α>O,b>O)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為P,

與雙曲線交于點A,若罰=3兩，則雙曲線C的漸近線方程為()

12

A.y=±-xB.y=±xC.y=±2xD.y=±-x

8.已知雙曲線C=?-?=l(α>0,6>0)右支上一點P,經過點P的直線與雙曲線C

的兩漸更歲分別交于4、B兩點.若點4、B分別位于第一、四象限，。為坐標原點.當

AP=^^PB時，XAOB的面積為2b,則雙曲線C的實軸長為()

A.-B.-C.≤D.-

9999

9.雙曲線C:捻一3=l(α>b>0)的左、右焦點分別為F]',點、P為C的左支上任意

一點，直線:是雙曲線的一條漸近線，PQ1/,垂足為Q.當∣PΓ2∣+?PQ?的最小值為3

時，F1Q的中點在雙曲線C上,則C的方程為O

A.x2-y2=lB.亡-"=1

J22

C.X2——=1D.--y2=1

22j

10.已知F11F2是雙曲線l(ɑ>0,b>0)的左右兩個焦點，若雙曲線左支上存

在一點P與點尸2關于直線y=^χ對稱，則該雙曲線C的離心率為()

A.γB.√5C.√2D.2

11.已知雙曲線l(α>O,h>O)的左、右焦點分別為&，6,過Fi的直線分別交

雙曲線的兩條漸近線于P、Q.若點P是線段F1Q的中點，且QFlLQF2,則此雙曲線的

離心率等于.

參考答案

【例1】若P是橢圓9+9=1上任意一點，F11F2是焦點，則NFlPF2的最大值為

【答案】W

【解析】根據橢圓的方程可知：1+4=1,所以α=2,b=√5,c=l,由橢圓的對稱性可

43

知，ZFlPF2的最大值時，P在短軸端點，此時AFlPF2是正三角形，所以乙F1PFz的最大

值為?.

故答案為：?

【例2】已知橢圓:+]=1,4,8是它的兩個焦點，點P為其上的動點，當NKP寫為

鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍.

【答案】-巫<x<史.

55

【解析】山結論1知，當點P越接近短軸的端點時，NKpE越大，所以只要求NEPK為直

角時點P橫坐標的值，因為C=右，所以當NKP鳥為直角時，點尸在圓f+V=5上，解

'42y2

方程組：T+T=1得：X=±畔，所以點P橫坐標的取值范圍是：—畔<X<學.

[例3]已知橢圓g+g=l(α>h>O)長軸兩端點為A1B,如果橢圓上存在P點使得

?APB=120°,則橢'初的離心率的取值范圍是.

【答案】ee殍,1)

【解析】由結論2可知：當點P0為橢圓短軸的端點時，乙APoB最大，因此只要?AP0B>

120°,則一定存在點Q使得?AQB=120o,∣z?ρβ≥60°,即?APO≥600所以

√?》遍，得e》*

故橢圓的離心率的取值范圍是β∈[^,l)?

[例4]設A1B是橢圓C:J+3=1長軸的兩端點，若C上存在點M滿足?AMB=

120°,則m的取值范圍是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)

C.(0,l]∪[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

【答案】A

【解析】當0<m<3時，橢圓C焦點在X軸上，要使C上存在點M滿足NAMB=I20°,

則藍≥tαn60o=√3,BP^≥√3,W0<m≤1;

當m>3時，橢圓C焦點在y軸上，要使C上存在點M滿，故m足NAMB=I20°,則

JD

tαn60o=V3,

VTn

W≥√3,Wm≥9,故m的取值范圍為(0,l]U[9,+∞)

強化訓練

1.己知RK為橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P使得NF?PF[=60°,則橢圓離心率的取

值范圍是.

【答案】?1J.

【解析】由結論I可知：當點兄為橢圓短軸的端點時,N片々內最大，

,即。，即tanNfJ60≥q,

因此只需最大角/片《巴≥60。LN4EE≥30

1

得

也即海,解e>

-2-

故橢圓離心率的取值范圍是?11

.已知P為橢圓?上一點，FF是其左右焦點,

25+=l(α>b>0)112NFIPF2取最大時

CoszF1PF2=

則橢圓的離心率為.

【答案】y

【解析】當P是橢圓短軸的頂點時，ZFiPF2取最大值，P為橢圓上任意一點，當NFlPF2

取最大值時的余弦值為?由余弦定理可得coSNFlPF2=伊”:魯匚即有?=

3^∣r∕*1∣∣rr2l3

NF,化為α2=3c2,則e=T?

2a2a3

故答案為：?.

2

3.焦點在X軸上的橢圓方程為≡∣+y=l(α>0),FltF2是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存

在點B,使得?F1BF2=p那/實數Q的取值范圍是.

【答案】[企,+8)

【解析】因為焦點在X軸上的橢圓方程為g-y2=l(α>0),所以b=l,c2=a2-l,

若橢圓上存在點B,使得∕FιBF2=今則以線段AX為直徑的預案與橢圓有交點，即有CNb,即

C2>b2,c2-1≥1,又a>0,故a的取值范圍為[√2,+∞)

4.已知&、F2是橢圓的兩個焦點，滿足麗?麗=0的點M總在橢圓內部，則橢圓離

心率的取值范圍是()

A.(0,l)B.(0,i)C.(0,y)D.(^,l)

【答案】C

【解析】設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a,b,c,

?.?麗?麗=0,.?.M點的軌跡是以原點。為圓心，半焦距C為半徑的圓.

又M點總在橢圓內部，；.該圓內含于橢圓，即c<b,c2<Z√=02—￠2.

2

2c1√2

e=~2<o'??0<e<—

a222

故選C.

5.設F11F2是橢圓C:9+A=I的兩個焦點，若C上存在點P滿足NFIPF2=120。,

則m的取值范圍

是()

A.(0,l]U[12,+∞)B.(θ,∣]U[2√3,+∞)

C.(0用U[2√3,+∞)D.(0，HU[12,+∞)

【答案】D

【解析】當0<m<3時，橢圓C：v+-=1的焦點在X軸上，當M位于短軸的端點

時，NFIMF2取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足NFlMF2=120。，則

o

ZF1MF2≥120,ZF1MO≥60°,所以tanNQMO==》tan60°=√5,解得：0<

一3

n?≤7；

4

當m>3時，橢圓的焦點在y軸上，當M位于短軸的端點時，N&M/?取最大值，要使

oo

橢圓C上存在點M滿足ZF1MF2=120,ZF1MF2≥120°,ZF1MO≥60,tanZF1MO=

?≥tan60o=√3,解得：m≥12,m的取值范圍是(0,引U[12,+時).

6.已知橢圓C的方程為y+g(0<b<2)離心率e=?,F1,A2分別為左焦點和右頂點,

點P(m,n)在橢圓上,若NF】P&為銳角，則實數m的取值范圍是.

【答案】(一2,2)

【解析】由題意得a=2,e=g,所以c=l,PPJb2=α2—C2=3,

點P(Tn,n)在橢圓上，設二喜：：：，則麗>=(一1一2COSa,-√5sinα),PZ；=(2-

22

2cos%—Hsina),若NFIPA2為銳角，則PF；,尸4；=cosa—2cosa÷1=(cosa-I)>O1

,

即cosα≠1,即m≠2;又由cosa=-1時，PFl與P4；同向,XFtP?2=θ故COSa≠1,即m≠

-2;則實數m的取值范圍是(-2,2),

故答案為：(一2,2).

二、漸近線性質

知識與方法

有關雙曲線的一些結論：

結論I:雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.

【證明】如左下圖所示，作F2H111于H1F2(C,0)到漸近線l1?.y=即bx-ay=0

的距離：

?bc?be

b

d=∣F2∕∕∣=

22

【說明】如左下圖,在Rt△OHF2中，|尸24|=b,∣OF2∣=c,貝IJ?0H?=y∕?OF2?-?HF2?=

Vc2-b2=Q,

記I1的傾斜角為。，顯然有：漸近線Z1的斜率k=tanθ=g,雙曲線的離心率e=；=

]“

COS

我們稱Rt△OHF2為雙曲線的特征三角形，顯然，這樣的三角形有4個.

結論2:以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線相交，設第一象限的交點為P,則Pg,b).

【證明】tan。=30cos0=%s?nθ=*而?0P?=∣∣FιF21=c,所以xp=?OP?cosθ=

a

一

C.c=Q,

yp=|。PISinθ=c?g=b,即P(Cι,b)

結論3:過雙曲線?-?=l(α>O,h>O)上任一點P作兩漸近線的平行線PEfPF,則

它們和兩條

漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值y.

【證明】我們先證明一個引理：若OA=(χι,y1),OB=(χ2,y2),則SAzIOB=TXIy2-％2%l?

證明：S&AOB=??0A??δB?sm?A0B=^√(∣0Λ∣∣0β∣)2(l-cos2?AOBy)

=^?OA?2?OB?2-(0A?0B)2=IJ(xf+yιX×2+y2)-(χ1x2+y1y2)2

1______________________________1

=2Y(Xly2/+(%2%)2-2%ιX2y∕2=2Wly2-%2%I

下面結合引理來證明結論3.

依題意可設EuX1),F(X2，-"2)，貝IJOP=OE+OF=(^X1+?2∕^U1~?2)^

即。1[+知(巧一%2))，代入雙曲線方程得，紅鏟-吟對=1，化簡整理，得

α2

%1%2=彳，

則SΔEoF=Tk1?(一衣2)-小生」=如1%2∣=*9=F,所以S。OEPF=2SAE0F=

ab

2°

結論4:過雙曲線,一，=l(α>0,b>0)上一點P(XO,ytj),作雙曲線的切線交兩漸近

線于Λ(x1,y1),

B(x2J2)兩點，則稱為雙曲線的漸近三角形，雙曲線的漸近三角形有如下性質：

⑴點P是線段AB的中點，即?PA?=?PB?.

(2)漸近三角形的面積為定值，即SXAOB=ab.

典型例題

【例1】已知雙曲線C:捺一A=l(α>O,b>O)的左、右焦點分別為0,尸2,過FT的直線

與C的兩條漸近線分面交于A1B兩點.若品=福利及S=O,則C的離心率為

【答案】2

【解析】解法1:如圖,

由兩條漸近線的對稱性可得：NBoF2=乙40&;由布?用=OnFIBIF2夕=∣0B∣=

|。Fll=|。尸21；由而=而=4為居8的中點，。力為等腰三角形FIoB底邊FIB上的

中線，所以Z∕1OF1=?AOB,所以/.BOF2=?AOF1=?AOB=60",于是g=tan60°=

V3,故e=Jl+%=Jl+(V3)2=2

解法2:

易求得B(α,b),又因為A為Fl與B的中點，可得4(甲,3,代入直線方程丫=一3X

得e=-=2.

Q

【例2】(多選)過雙曲線C:捻一A=l(α>O,b>O)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂

線，垂足為4與另一條漸近線交于點B,若?AF2?=l?FB2?,則雙曲線C的離心率為

()

A.yB.√3C.?D,3√3

【答案】AB

【解析】由點到直線的距離，易得尸2*=b,有兩種情形:

情形1:如左圖所示，∣Q4∣=α,∣FB2∣=3b,∣AB∣=4b,因為ΛAOF2=?BOF2,

由角平分線定理，得設=霜=3=|。8|=3|。川=3。，

在Rt?AOB中，?OB?2=?OA?2+?AB?2,即(3α)2=a2+(4?)2,a2=2b2=2(c2-

情形2:如右圖所示，|尸2所=b,?FB2?=3b,?AB?=2b,

由△AOM-ΔBON=,㈣=等=3,所以IOBl=3?0A?=3a,

?0A??AM?

∣∣2222222

在Rt4AOB中，|。8|2=|0*2+AB2,g∣J(3a)=a+(2h)rb=2a=c-a=?

e=√3.

綜上所述：選AB.

［例3］已知雙曲線g-g=l(a>0,6>0)的左右焦點分別為F11F2,右頂點為4P是

雙曲線右支上一點，PF1與漸近線y=-^x交于點Q,與漸近線y=(%交于點R,QR

的中點為M,若RF21PF1,且AM1PF1,0則雙曲線的離心率為()

A.√3B.2C.√2D.√5

【答案】B.

【解析】解法1：

由RF11RF2,得?0R?∣F1F21=c,易得R(a,b),

所以kRFi=?設M(τn,n),由kRF∕∕?M=/得(推導方法見2.1垂徑定理與第三定義)

nb

m-aa+c

nb

'τn+ca+c

(1)除以(2)得，，所以m

將Tn=W代入，整理可得e2-e-2=0,解得e=2.

解法2:

=

由RF11RF2,得IORI=JIF1F2∣=c,聯立fɑ?解得R(a,b).

121Ix2+y2=C2

延長RA,與OQ交于點R',則R'(a,-b?A為RR'的中點，

又M為QR的中點，即MA是ARQRl的中位線，所以MA∕∕QR',

則MA∕∕QR'∕∕RF2,所以Oa=AF2,即α=c—α,得c=2α,故e=2.

強化訓練

1.已知雙曲線C-.^--y2=1,0為坐標原點，F為C的右焦點，過點F的直線與雙曲

線0的兩條漸近線分別交于點M,N.若AOMN為直角三角形，則IMNl=()

A.-B.3C.2√3D.4

2

【答案】B

【解析】兩漸近線的斜率k=±g,所以ZMOF=-,?F0N=-,Z.M0N=-.ΔFON為雙

3663

曲線的一個特征三角形，IFNl=b=1,1。Nl=ɑ=√3,Rt?MON中，tan乙MoN=券=

V3,MN=√30∕V=3,選B.

2.設F11F2是雙曲線^-^=l(α>O,h>O)的左、右焦點，。是坐標原點.過F2作C

的一條漸近線的垂線:垂足為P.若∣PF1∣=√6∣0P∣,則C的離心率為()

A.√5B.2C.√3D.√2

【答案】C

【解析】如圖，在&P0F2中，PF2=R0P=α,0F2=c,所以costPOB=，因為

4POFι+4POB=n，所以COSZPOF1=,又APO心中，由余弦定理可得

COSZPOF=叱=~+,-P第=-巴整理得pF2=￠2+2結合|p&=√6∣p∣,

12C∕rj?C∕rZCQC3αι0

得c2+3a2=6。2,可得e=W.選C.

3.已知坐標平面xθy中，點F11F2分別為雙曲線C9-y2=i(a>0)的左、右焦點，點

M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條簫近線交于點。，且D為MF2的中

點，點I為40MF2的外心，若OTD三點共線，則雙曲線C的離心率為()

A.√2B.3C.√5D.5

【答案】C

【解析】因為/為AOMFz的外心，D為MF2中點，所以ID1MF2.

又0,1,D三點共線，所以。。IMF2.

又ODIlMF1，故MFl1MF2.

易得F2到OD的距離為b,即OF2=b,所以MF2=26,

22

又。。1MF2,貝IJOD=√c-b=a,MF1=20D=2a

由雙曲線的定義可得：MF2-MF1=2a,即2b—2a=2a,得b=2a

所以e=(=匹F=Ji飛7=后

故選C.

4.已知雙曲線圣-^=I(a>O,b>O)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60。的直

線與雙曲線

的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是

A.(1,2)B.(1,2]C,[2,+∞)D.(2,+∞)

【答案】A

【解析】曲線=1的漸近線方程為y=±-x,由題意可知，漸近線傾斜角的范圍為

(0,9，二漸近線的斜率k∈(0,√3),又?：k=紜三,???與尹<3=*<4nee(1,2).

5.已知F是雙曲線C9-，=l(a>0,b>0)的右焦點，。是坐標原點.過F作C的

一條漸近線的垂線，垂良為P,并交y軸于點Q,若∣0Q=3?0PI,則C的離心率為

【答案】A

22

【解析】易得?PF?=b,?0P?=α,故IoQl=3a,?PQ?=yJ?0Q?-?0P?=2√2α,

又IOQI2+?0F?2=?QF?2,故(3α)2+c2=(2√2a+b)2,整理得a=2√2?,

故C=√a2+b2=3b,e=;==

6.雙曲線E:^-^=l(a>0,h>0)的左焦點為F,過F作X軸垂線交E于點A,過

F作與E的上條漸近線平行的直線交E于點8,且A1B在X軸同側，若?FAB=30%

則E的離心率為.

【答案】?

【解析】易得4(一C，?)，又直線FB方程為y=^x+c),與雙曲線方程聯立得

222一

8(-寧故呢8=F?≡-=一百，整理得2c-√3a=h,兩邊平方得4c2-

'"皿/~—(-C)

4√3ac+3a2=b2=C2—a2,即3c2—4√3ac+4a2=0,即3e2—4√3e÷4=0,即

(V3e-2)2=0,故β=?=??.

7.過雙曲線C-.^-ξ=l(a>0,b>0)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為P,

與雙曲線交于點4若虧=3對，則雙曲線C的漸近線方程為()

12

A.y=+-%B.y=±xC.y=±2xD.y=+-x

【答案】A

【解析】易求尸2。1=匕，1。。1=a，故伊2川=［匕，CoS乙4&。=g，sin乙4尸2。=￡，

故4(c-9豹=(當/罌，代入雙曲線方程并整理得S=?故漸近線方程為y=

+-X.

-2

8.已知雙曲線C?-?=l(ɑ>0,b>0)右支上一點P,經過點P的直線與雙曲線C

的兩漸近線分別交于4、B兩點.若點4、B分別位于第一、四象限，0為坐標原點.當

AP=^PB時?，LAOB的面積為2b,則雙曲線C的實軸長為()

【答案】A

【解析】設4弧等),8(珥一期

由?AOB的面積為2b得2h=?∣m?(--^)~∏?-p∣,即mn=2α,

2Xm+=n----

設P(x,y),由^AP-^PB得：(x-m,y-等)=[(ri-%,-詈-y),所以

(2m-ri)b

代入雙曲線方程得幽誓一幽乎=L即9α2=8mn=16?,

9a2