第14講獨立性檢驗【題型歸納目錄】【知識點梳理】1、分類變量這里所說的變量和值不一定是具體的數值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為分類變量，分類變量的取值可以用實數表示．2、2×2列聯表在實踐中，由于保存原始數據的成本較高，人們經常按研究問題的需要，將數據分類統計，并做成表格加以保存，我們將這類數據統計表稱為2×2列聯表，2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為合計abcd合計3、等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征，依據頻率穩定于概率的原理，我們可以推斷結果．4、臨界值統計量也可以用來作相關性的度量．越小說明變量之間越獨立，越大說明變量之間越相關．忽略的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值，可以找到相應的正實數，使得成立．我們稱為的臨界值，這個臨界值就可作為判斷大小的標準．5、獨立性檢驗基于小概率值的檢驗規則是：當時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立．這種利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗（testofindependence）．下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值0．10．050．010．0050．0012．7063．8416．6357．87910．8286、應用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟（1）提出零假設：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；（2）根據抽樣數據整理出2×2列聯表，計算的值，并與臨界值比較；（3）根據檢驗規則得出推斷結論；（4）在X和Y不獨立的情況下，根據需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規律．【典型例題】題型一：用2×2列聯表分析兩分類變量間的關系【例1】某機構為研究中老年人堅持鍛煉與息糖尿病、高血壓、冠心病、關節炎四種慢性疾病之間的關系，隨機調查部分中老年人，統計數據如下表1至表4，則這四種慢性疾病可以通過堅持鍛煉來預防的可能性最大的是．（

）表1患糖尿病未患糖尿病堅持鍛煉614不堅持鍛煉725表2患高血壓未患高血壓堅持鍛煉218不堅持鍛煉1121表3患冠心病未患冠心病堅持鍛煉416不堅持鍛煉923表4患關節炎未患關節炎堅持鍛煉713不堅持鍛煉626A．糖尿病 B．高血壓 C．冠心病 D．關節炎【答案】B

【解析】由表1得：，由表2得：，由表3得：，由表4得：，所以這四種慢性疾病可以通過堅持鍛煉來預防的可能性最大的是高血壓．故選：【變式1-1】假設有兩個分類變量X和Y的列聯表如下：總計a10c30總計6040100對于同一樣本，以下數據能說明X與Y有關系的可能性最大的一組是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A

【解析】由題意可知，，所以越大，X與Y有關系的可能性越大，A、，B、，C、，D、，所以選項A中最大，即A中X與Y有關系的可能性最大．故選：【變式1-2】某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這四個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到如下4個列聯表，則與性別有關聯的可能性最大的變量是．（

）A．成績性別成績合計及格不及格男14620女221032合計361652B．視力性別視力合計好差男41620女122032合計163652C．智商性別智商合計偏高正常男81220女82432合計163652D．閱讀量性別閱讀量合計豐富不豐富男14620女23032合計163652【答案】D

【解析】表1：；表2：；表3：；表4：，閱讀量與性別有關聯的可能性最大．故答案為題型二：用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關系【例2】觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，四個選項中，即等高的條形圖中，所占比例相差越大，則分類變量x，y關系越強，故選【變式2-1】某調查機構抽取了部分關注濟南地鐵建設的市民作為樣本，分析其年齡和性別結構，并制作出如下等高條形圖．根據圖中歲以上含35歲的信息，關于該樣本的結論不一定正確的是（

）A．男性比女性更關注地鐵建設B．關注地鐵建設的女性多數是35歲以上C．35歲以下的男性人數比35歲以上的女性人數多D．35歲以上的人對地鐵建設關注度更高【答案】C

【解析】由等高條形圖可得：對于選項A：由左圖知，樣本中男性數量多于女性數量，所以男性比女性更關注地鐵建設，故A正確；對于選項B：由右圖知女性中35歲以上的占多數，從而樣本中多數女性是35歲以上，從而得到關注地鐵建設的女性多數是35歲以上，故B正確；對于選項C：由左圖知男性人數大于女性人數，由右圖知35歲以下的男性占男性人數比35歲以上的女性占女性人數的比例少，所以無法判斷35歲以下的男性人數與35歲以上的女性人數的多少，故C不一定正確；對于選項D：由右圖知樣本中35歲以上的人對地鐵建設關注度更高，故D正確．故選：【變式2-2】為考察某種藥物對預防禽流感的效果，在四個不同的實驗室取相同的個體進行動物試驗，根據四個實驗室得到的列聯表畫出如下四個等高條形圖，最能體現該藥物對預防禽流感有效果的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據四個列聯表中的等高條形圖知，圖形D中不服藥與服藥時患禽流感的差異最大，它最能體現該藥物對預防禽流感有效果．故選：題型三：有關“相關的檢驗”【例3】為大力提倡“厲行節約，反對浪費”，某大學通過隨機詢問100名學生能否做到“光盤”行動，得到如下列聯表：單位：人性別“光盤”行動做不到能做到女469男3114經計算：附：參考附表，得到的正確結論是（

）A．依據的獨立性檢驗，認為“該校學生能否做到‘光盤’行動與性別有關”B．依據的獨立性檢驗，認為“該校學生能否做到‘光盤’行動與性別有關”C．依據的獨立性檢驗，認為“該校學生能否做到‘光盤’行動與性別有關”D．依據的獨立性檢驗，認為“該校學生能否做到‘光盤’行動與性別無關”【答案】C

【解析】由題意得，所以依據的獨立性檢驗，認為“該校學生能否做到‘光盤’行動與性別有關”．故選：【變式3-1】某機構為研究學生玩電腦游戲和對待作業量態度的關系，隨機抽取了100名學生進行調查，所得數據如下表所示：認為作業多認為作業不多合計喜歡玩電腦游戲251540不喜歡玩電腦游戲253560合計5050100參考公式：，其中k得到的正確結論是

．（

）A．有的把握認為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業量的態度有關B．有的把握認為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業量的態度無關C．有的把握認為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業量的態度有關D．有的把握認為是否喜歡玩電腦游戲與對待作業量的態度無關【答案】A

【解析】根據所給的數據可得：，

因為，，

故有的把握認為喜歡玩電腦游戲與對待作業量的態度有關．故選：【變式3-2】為了解某地區居民體育鍛煉是否達標與性別之間的關系，用簡單隨機抽樣的方法從該地區調查了500位居民，根據調查結果得到列聯表如下，根據表格數據，下列結論正確的是（

）不達標達標男30170女20280參考公式及數據：，其中kA．在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為該地區居民體育鍛煉是否達標與性別無關B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為該地區居民體育鍛煉是否達標與性別無關C．有的把握認為該地區居民體育鍛煉是否達標與性別有關D．有的把握認為該地區居民體育鍛煉是否達標與性別有關【答案】C

【解析】因為，所以有的把握認為該地區居民體育鍛煉是否達標與性別有關．故選：題型四：有關“無關的檢驗”【例4】（2024·湖南·高二課時練習）某工廠冶煉某種金屬可以用舊設備和改造后的新設備，為了檢驗用這兩種設備生產的產品中所含雜質的關系，該工廠進行了一項調查，結果如下表所示：雜質高雜質低舊設備37121新設備22202試根據以上數據判斷含雜質的高低與設備改造有無關系．【解析】由已知數據得到如下列聯表：雜質高雜質低合計舊設備37121158新設備22202224合計59323382則，所以有的把握認為含雜質的高低與設備改造有關．【變式4-1】氣管炎是一種常見的呼吸道疾病．醫藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行了對比，所得數據如表所示．問：它們的療效有無差異?有效無效合計復方江剪刀草18461245膽黃片919100合計27570345【解析】解

：提出假設

兩種中草藥的治療效果沒有差異，即病人使用這兩種藥物中何種藥物對療效沒有明顯差異．根據列聯表中的數據可以求得

因為當成立時，，這里的

，所以我們有的把握認為，兩種藥物的療效有差異．本題考查獨立性檢驗的相關知識點，屬于基礎題．根據獨立性試驗相關知識求出

即可判斷．題型五：獨立性檢驗的綜合應用【例5】2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開幕，是歷史上首次在中東國家舉辦，也是第二次在亞洲國家舉辦的世界杯足球賽．某校“足球社團”調查學生喜歡足球是否與性別有關，現從全校學生中隨機抽取了人，若被抽查的男生與女生人數之比為，男生中喜歡足球的人數占男生的，女生中喜歡足球的人數占女生的經計算，有的把握認為喜歡足球與性別有關，但沒有的把握認為喜歡足球與性別有關．請完成下面的列聯表，并求出k的值；喜歡足球不喜歡足球合計男生女生合計將頻率視為概率，用樣本估計總體，從全校男學生中隨機抽取3人，記其中喜歡足球的人數為X，求X的分布列及數學期望．附：，其中【解析】由已知，完成列聯表，喜歡足球不喜歡足球合計男生15k10k25k女生5k10k15k合計20k20k40k將數值代入公式可得的觀測值：，根據條件，可得，解得，因為，所以由知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為，用樣本估計總體，從全校男生中隨機抽取一人，喜歡足球的概率為，則，，，，，則X的分布列為X0123P

【變式5-1】某校在高一部分學生中調查男女同學對某項體育運動的喜好情況，其二維條形圖如圖黑色代表喜歡，白色代表不喜歡，單位：人寫出列聯表；依據的獨立性檢驗，分析喜歡這項體育運動是否與性別有關；在這次調查中，從喜歡這項體育運動的一名男生和兩名女生中任選兩人進行專業培訓，求恰是一男一女的概率．附表及公式：，其中【解析】觀察題中二維條形圖，可得被調查的男生總共45人，其中喜歡這項運動的有15人，不喜歡的有30人；被調查的女生總共45人，其中喜歡這項運動的有5人，不喜歡的有40人．由此寫出列聯表如下：單位：人喜歡不喜歡合計男153045女54045合計207090零假設為：喜歡這項體育運動與性別無關．計算可得，所以依據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為喜歡這項體育運動與性別無關．設喜歡這項體育運動的一名男生和兩名女生分別為A，B，任選兩人的情況有，選一名男生和一名女生的情況有所以恰是一男一女的概率

【變式5-2】2020年11月15日，習近平總書記在南京市主持召開全面推動長江經濟帶發展座談會，要求使長江經濟帶成為我國生態優先綠色發展主戰場，某研究所從長江上游區域和長江下游區域分別任意選取100個觀測點進行水質檢測，并將水質等級檢測結果按分組進行統計，如果水質等級達到7，就認為該檢測點水質“達標”，否則就認為“不達標”，已知上游區域被檢測的觀測點中，水質“達標”的有75個，不達標的有25個，對下游區域的檢測結果統計得如下頻率分布直方圖，其中a，b，c成等差數列，且請完成下面的列聯表，并判斷：能否有的把握認為長江水質等級是否“達標”與區域有關？水質“達標”檢測點數水質“不達標”檢測點數總計長江上游區域7525100長江下游區域100總計200為進一步調研長江下游區域的水質情況，若以樣本頻率估計總體概率，再從整個長江下游區域中隨機抽取3個觀測點，記其中水質“達標”的個數為隨機變量，求的概率分布和數學期望．參考公式：獨立性檢驗統計量，其中臨界值表：【解析】由題意可得，，解得，所以長江下游區域水質“達標”檢測點數有個，則水質“不達標”檢測點數有40個，所以列聯表如下：

水質“達標”檢測點數

水質“不達標”檢測點數

總計

長江上游區域

75

25

100

長江下游區域

60

40

100

總計

135

65200所以，所以有的把握認為長江水質等級是否“達標”與區域有關．由可知長江下游區域水質“達標”的概率為，水質“不達標”的概率為，由題意可得可能取0，1，2，3，則，，，，故的分布列為：

0

1

2

3

P

所以

【過關測試】一、單選題1．（2024·全國·高二隨堂練習）千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現255未出現2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關D．出現“日落云里走”，據小概率值的獨立性檢驗，可以認為夜晚會下雨【答案】D【解析】由列聯表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關，C正確，D錯誤．故選：D2．（2024·全國·高二隨堂練習）根據分類變量與的觀測數據，計算得到.依據的獨立性檢驗，結論為（

）.A．變量與不獨立B．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過C．變量與獨立D．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過【答案】C【解析】由表可知當時，，因為，所以分類變量與相互獨立，因為，所以分類變量與相互獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過，故選：C3．（2024·高二課時練習）手機給人們的生活帶來便捷，但同時也對中學生的生活和學習造成了一定的影響．某校幾個學生成立研究性學習小組，就使用手機對學習成績的影響隨機抽取了該校100名學生的期末考試成績并制成如下的表，則下列說法正確的是（

）手機使用情況成績成績優秀成績不優秀總計不用手機401050使用手機54550總計4555100（參考公式：，其中）A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為使用手機與學習成績無關B．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為使用手機與學習成績無關C．有99%的把握認為使用手機對學習成績有影響D．無99%的把握認為使用手機對學習成績有影響【答案】C【解析】由列聯表中的數據，計算，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為使用手機與學習成績有關，AB錯誤；有99%的把握認為使用手機對學習成績有影響，C正確，D錯誤.故選：C4．（2024·高二單元測試）某校團委對“喜歡吃水果和學生性別是否有關”進行了一次調查，其中被調查的女生人數是男生人數的，男生喜歡吃水果的人數占被調查的男生人數的，女生喜歡吃水果的人數占被調查的女生人數的，若有99%的把握認為喜歡吃水果和學生性別有關，則被調查的男生至少有（

）0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A．12人 B．18人C．24人 D．30人【答案】B【解析】設被調查的男生人數為x，被調查的女生人數為，則得到2×2列聯表如下：喜歡吃水果情況總計喜歡不喜歡學生性別男生女生總計則，解得，又因為男、女人數為整數，所以被調查的男生至少有18人.故選：B.5．（2024·高二單元測試）冶煉某種金屬可以用舊設備和改造后的新設備，為了檢驗用這兩種設備生產的產品中所含雜質的關系，調查結果如表所示：設備雜質情況雜質高雜質低舊設備37121新設備22202參考公式：，根據以上數據，則下列說法正確的是（

）A．含雜質的高低與設備改造有關B．含雜質的高低與設備改造無關C．設備是否改造決定含雜質的高低D．以上答案都不對【答案】A【解析】由已知數據得到如下2×2列聯表：雜質高雜質低總計舊設備37121158新設備22202224總計59323382則由于13.11＞6.635，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為含雜質的高低與設備改造是有關的．故選：A6．（2024·高二課時練習）某班主任對全班50名學生進行了作業量的調查，數據如表：性別作業量合計大不大男生18927女生81523合計262450則推斷“學生的性別與認為作業量大有關”的概率約為（

）附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828A．99% B．99.5%C．95% D．99.9%【答案】C【解析】由公式得.∴學生的性別與認為作業量大有關的概率約為95%.故選：C7．（2024·山西朔州·高二校聯考階段練習）通過隨機詢問相同數量的不同性別大學生在購買食物時是否看營養說明，得知有的男大學生“不看”，有的女大學生“不看”，若有99.9%的把握認為性別與是否看營養說明之間有關，則調查的總人數至少為（

）附：，其中.0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828A．225人 B．227人 C．228人 D．230人【答案】C【解析】設男女大學生各有m人，根據題意畫出列聯表，如下圖：看不看合計男m女m合計2m所以，因為有99.9%的把握認為性別與對產品是否滿意有關，所以，解得，所以總人數至少為228.故選C.8．（2024·全國·高二專題練習）針對時下的“航天熱”，某校團委對“是否喜歡航天與學生性別的關系”進行了一次調查，其中被調查的男、女生人數相同，男生中喜歡航天的人數占男生人數的，女生中喜歡航天的人數占女生人數的，若依據的獨立性檢驗，認為是否喜歡航天與學生性別有關，則被調查的學生中男生的人數不可能為（

）A．25 B．45 C．60 D．75【答案】A【解析】依題意，設男生的人數為，根據題意列出列聯表如下所示：是否喜歡航天性別合計男生女生喜歡航天不喜歡航天合計則，∵依據的獨立性檢驗，認為是否喜歡航天與學生性別有關，∴，即，得，∴，又，∴結合選項知B、C、D都可以.故選：A.二、多選題9．（2024·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習）以下四個命題，其中不正確的是（

）A．在對吸煙與患肺病這兩個分類變量的獨立性檢驗中，(參考數據：)若的觀測值滿足，那么在100個吸煙的人中約有99人患有肺病B．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數就越接近于1C．對于獨立性檢驗，的觀測值越大，判定“兩變量有關系”的把握越大D．回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點【答案】ABD【解析】對于選項A、B：的觀測值越大，判定“兩變量有關系”的可能性越大，故C正確若的觀測值滿足，則有的可能性認為兩者有關，故A不正確；對于選項B：兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值就越接近于1，故B不正確；對于選項D：因為數據點均勻分布在回歸方程的兩側，不一定在回歸方程上，故D不正確；故選：ABD.10．（2024·山東青島·高二統考階段練習）在一次獨立性檢驗中得到如下列聯表：總計2008001000180m總計380已知，，根據上面的列聯表，若依據小概率值的獨立性檢驗，可以認為這兩個分類變量A和B沒有關系，則下列選項中m可能取到的為（

）A．200 B．720 C．100 D．800【答案】BD【解析】由題意得，對于A，當時，，對于B，當時，，對于C，當時，，對于D，當時，，故只有B，D符合題意，可以認為這兩個分類變量A和B沒有關系，故選：BD11．（2024·高二課時練習）某校計劃在課外活動中新增攀巖項目，為了解學生喜歡攀巖和性別是否有關聯，面向學生開展了一次隨機調查，其中參加調查的男、女生人數相同，男生喜歡攀巖的占80%，女生不喜歡攀巖的占70%，則（

）參考公式：.A．參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數多B．參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數多C．若參與調查的男、女生人數均為100，則依據獨立性檢驗的思想認為喜歡攀巖和性別有關聯D．無論參與調查的男、女生人數為多少，都可以依據獨立性檢驗的思想認為喜歡攀巖和性別有關聯【答案】AC【解析】由題意設參加調查的男、女生人數均為m，則得到如下2×2列聯表：喜歡攀巖不喜歡攀巖合計男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合計1.1m0.9m2m所以參與調查的學生中喜歡攀巖的男生人數比喜歡攀巖的女生人數多，參與調查的女生中喜歡攀巖的人數比不喜歡攀巖的人數少，故A正確，B錯誤．由列聯表中的數據，計算得到χ2＝＝，當時，，所以當參與調查的男、女生人數均為100時，依據獨立性檢驗，我們有99.9%的把握判斷喜歡攀巖和性別有關聯，故C正確，D錯誤，故選：AC.12．（2024·高二課時練習）(多選)分類變量X和Y的列聯表如下：合計abcd合計則下列說法不正確的是（

）A．越小，說明X與Y關系越弱B．越大，說明X與Y關系越強C．越大，說明X與Y關系越強D．越接近于0，說明X與Y關系越強【答案】ABD【解析】越小，即越小，說明X與Y關系越弱，越大，即越大，說明X與Y關系越強，故C正確，ABD錯誤.故選：ABD三、填空題13．（2024·全國·高二隨堂練習）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯表：藥物疾病合計未患病患病服用a50未服用50合計8020100若在本次考察中得出“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效”的結論，則a的最小值為．（其中且）（參考數據：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】46【解析】由題意可得，整理得，所以或，解得或，又因為且，所以，所以a的最小值為46.故答案為：46.14．（2024·江西上饒·高二校考階段練習）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中，某研究員搜集數據并計算得到χ2＝7.235，則根據小概率值α＝的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．【答案】0.01【解析】因為6.635<7.235<10.828，所以根據小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．故答案為：0.01.15．（2024·高二課時練習）為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射后14天的結果如下表所示：電離輻射劑量存活情況死亡存活總計第一種劑量141125第二種劑量61925總計203050由表中數據算得：χ2＝，說明兩種電離輻射劑量對小白鼠的致死作用．（填“相同”或“不相同”）【答案】5.333不相同【解析】由列聯表中數據，計算得，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為小白鼠的死亡與使用的電離輻射劑量有關，即兩種電離輻射劑量對小白鼠的致死作用不相同．故答案為：5.333；不相同16．（2024·高二課時練習）為了考查某流感疫苗的效果，某實驗室隨機抽取100只健康小鼠進行試驗，得到如下列聯表：疫苗使用情況感染情況感染未感染總計注射104050未注射203050總計3070100參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染某流感”有關系．參考公式：.【答案】0.05【解析】由列聯表中數據，計算得，所以在犯錯誤的概率最多不超過0.05的前提下，認為“注射疫苗”與“感染某流感”有關系.故答案為：0.05四、解答題17．（2024·遼寧遼陽·高二統考期末）某高校《線性代數》課程的老師隨機調查了該課程學生的專業情況，調查數據如下：單位：人數學專業非數學專業總計男生ef120女生60g80總計160h200(1)求e，f，g，h的值，并估計男生中是非數學專業的概率；(2)能否有90%的把握認為選數學專業與性別有關？附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）由題意可知，，，，，故男生中是非數學專業的概率.（2）由題意可知．又因為，而且查表可得，由于，所以沒有90%的把握認為選數學專業與性別有關．18．（2024·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學校考期中）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學隨機抽取了80名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下列聯表：性別鍛煉合計不經常經常男生202040女生241640合計443680(1)依據的獨立性檢驗，能否認為性別因素會影響學生鍛煉的經常性；(2)若列聯表中的所有樣本觀測數據都變為原來的10倍，再做第（1）問，得到的結論還一樣嗎？請說明理由；附：①，其中.②臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假設為性別與鍛煉的經常性無關，根據列聯表中的數據，經計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即不能認為性別因素會影響學生鍛煉的經常性.（2）由題意得，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，因此可以認為性別因素會影響學生鍛煉的經常性，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，得到的結論不一樣.19．（2024·黑龍江·高二校聯考期末）隨著科技的發展，網絡已逐漸融入了人們的生活.網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在我市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男?女各100人進行分析，從而得到如下列聯表（單位：人）：偶爾或不網購經常網購合計男性4060100女性2080100合計60140200(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為我市市民網購的情況與性別有關聯？(2)用分層抽樣的方法，從偶爾或不網購和經常網購的市民中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人贈送禮品，設其中經常網購的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.附：，其中.0.100.010.0012.7066.63510.828【解析】（1）零假設為：我市市民網購情況與性別無關.則，所以根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為我市市民網購的情況與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）按分層抽樣的方法從偶爾或不網購和經常網購的市民中隨機抽取10人，則偶爾或不網購的人數為3，經常網購的人數為7，故的所有可能取值為，，故的分布列為0123則.20．（2024·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創始于1908年，距今已經有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉?，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調料抹在餅內，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調查機構從年齡在歲的游客中隨機抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進行調查，結果如下表：年齡/歲抽取人數有意向購買熏肉大餅的人數(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統計數據完成下面的列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為