第06課一元二次方程應用題（1）目標導航目標導航課程標準1、掌握列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、列、解、檢、答．2、能利用一元二次方程解決問題：①傳播類問題；②平均增長（降低）率問題③其他增長率問題④握手問題與送禮問題⑤面積類問題（內挖型、外擴型、開路型、建舍型）．3、能理找出等量關系，理解解列等量關系的過程。知識精講知識精講知識點01傳播類問題1、傳播類問題傳染源一個人傳染x人第一輪新傳染人數第一輪傳染后總感染人數第二輪新傳染人數第二輪傳染后總感染人數【解釋】若傳染源的數量為a,每輪傳染的數量為x,則經過一輪傳染后感染的總數量為a+ax,則經過兩輪傳染后感染的總數量為a+ax+a（a+ax）整理后的結果為a(1+x)2.若經過兩輪傳染后感染的總數量為b,則所列方程為a(1+x)2=b.【注意】傳播類問題所列方程1.開始數量為1,每輪感染的數量為x,經n輪傳染后的數量為b,則所列方程為(1+x)n=b.2.開始數量為a,每輪感染的數量為x,經n輪傳染后的數量為b,則所列方程為a(1+x)n=b.知識點02平均增長(降低)率問題設平均增長率為x終止量為b起始量增長1次增長2次三者總和起始量與增長2次之差增長2次與增長1次之差設平均降低率為x終止量為b起始量降低1次降低2次三者總和起始量與降低2次之差降低2次與降低1次之差【解釋】①若開始的數量為a,增長率為x,則經過一次增長后的數量為a(1+x),經過兩次增長后的總數量為a(1+x)2,若經過兩次增長后的數量為b,則可列方程a(1+x)2=b.②若開始的數量為a,降低率為x,則經過一次增長后的數量為a(1－x),經過兩次增長后的總數量為a(1－x)2,若經過兩次增長后的數量為b,則可列方程a(1－x)2=b.【注意】增長率(或降低率)問題的規律1.增長率問題:設基數為a,平均增長率為x,則一次增長后的值為a(1+x),兩次增長后的值為a(1+x)2,依次類推,n次增長后的值為a(1+x)n.2.降低率問題:設基數為a,平均降低率為x,則一次降低后的值為a(1-x),兩次降低后的值為a(1-x)2,依次類推,n次降低后的值為a(1-x)n.知識點03其他增長率問題1、轉發消息類A收到一條微信，轉發給x人，要求這些收到微信的人繼續轉發給x人，此時共有b個人收到微信。一開始，收到微信的人數第一次轉發次數第一次轉發后收到微信的總人數第二次轉發次數第二次轉發后收到微信的總人數1x【解釋】A收到消息后，轉發給x個人，此時，一共有個人收到消息，第二次轉發給個人，此時，一共有個人收到消息。【注意】轉發消息類問題與傳染問題類型不同的是，收到消息的人，只轉發1次，轉發給x個人后，再不轉發；而傳染問題，每個被感染的人，每一輪傳播都會傳染給x個人。2、長枝干類1個主干長x個枝干，每個枝干長x個小枝干，共有b個分支，則知識點04握手問題和送禮問題1、握手問題設有x個人互相握手，每個人都站起來和其他個人握手，每個人都站起來和其他人握手之后，一共握手次，但任意兩人之間都握手2次，實際每兩人之間只需要握手一次，設握手總次數為b，則；2、送禮問題設有x個人互相送卡片，每個人都給其余個人送一張卡片，每個人都給其他人送卡片之后，一共送了 知識點05面積類問題類型圖形面積表示1、內挖類型如圖所示的矩形ABCD長為a,寬為b,空白部分寬均為x,則陰影的面積可表示為.2、外擴類型如圖所示的陰影部分矩形的長為a,寬為b,空白部分寬均為x,則矩形ABCD的面積可表示為.3、開路問題如圖所示矩形的長為a,寬為b,在矩形中挖四條等寬的小路，路寬均為x,則剩余部分（綠色陰影）面積可表示為.4、圍欄問題①如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個菜園ABCD，籬笆總長為a，設垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為，矩形ABCD的面積為；②如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個菜園ABCD，中間還有一道籬笆EF，籬笆總長為a，設垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為，矩形ABCD的面積為；③如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個菜園ABCD，并開一個寬度為b的門，籬笆總長為a，設垂直于墻面的邊CD長為x，則矩形BC邊的長為，矩形ABCD的面積為；能力拓展能力拓展考法01傳播問題【例題1】肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調查發現：1人感染病毒后如果不隔離，那么經過兩輪傳染將會有225人感染，若設1人平均感染x人，依題意可列方程（

）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225【答案】C【解析】【分析】此題可設1人平均感染人，則第一輪共感染人，第二輪共感染人，根據題意列方程即可．【詳解】解：設1人平均感染人，依題意可列方程：．故選：C．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的解，找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．【即學即練1】有一個人患了流行性感冒，經過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【答案】B【解析】【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得，然后求解即可．【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：，解得：（舍去），故選B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的關鍵．【即學即練2】2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻開始持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？【答案】（1）每輪傳染中平均每個人傳染了15個人；（2）按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有4096人患病．【解析】【分析】（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據一人患病后經過兩輪傳染后共有256人患病，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論；（2）根據經過三輪傳染后患病人數=經過兩輪傳染后患病人數×（1+15），即可求出結論．【詳解】（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝256，解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了15個人．（2）256×（1+15）＝4096（人）．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有4096人患病．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．考法02平均變化率【例題2】某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100【答案】A【解析】【分析】利用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設平均每次增長的百分率為x，根據“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．【詳解】由題意知，蔬菜產量的年平均增長率為x，根據2016年蔬菜產量為80噸，則2017年蔬菜產量為80（1+x）噸，2018年蔬菜產量為80（1+x）（1+x）噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，即：80（1+x）2=100，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題）．解題的關鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產量的代數式，根據條件找準等量關系式，列出方程．【即學即練1】某市從2017年開始大力發展“竹文化”旅游產業．據統計，該市2017年“竹文化”旅游收入約為2億元．預計2019“竹文化”旅游收入達到2.88億元，據此估計該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【答案】C【解析】【詳解】分析：設該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率為x，根據2017年及2019年“竹文化”旅游收入總額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．詳解：設該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率為x，根據題意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為20%．故選C．點睛：本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【即學即練2】某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共生產鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】第一個月是560，第二個月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度總計560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，選D.【即學即練3】某藥品原價每盒元，為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，經過連續兩次降價，現在售價每盒元，則該藥品平均每次降價的百分率是______．【答案】20%【解析】【詳解】解：設該藥品平均每次降價的百分率是x，根據題意得25×（1-x）（1-x）=16，整理得，解得x=0.2或1.8（不合題意，舍去）；即該藥品平均每次降價的百分率是20%．考法03枝干問題【例題3】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是，則這種植物每個支干長出的小分支個數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設這種植物每個支干長出x個小分支，根據主干、支干和小分支的總數是43，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論【詳解】設這種植物每個支干長出個小分支，依題意，得：，解得：（舍去），．故選C．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，解題關鍵在于列出方程【即學即練1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是13，則每個支干長出（）A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支【答案】B【解析】【分析】先設每個支干長出x個分支，則每個分支又長出x個小分支，x個分支共長出x2個小分支；再根據主干有1個，分支有x個，小分支有x2個，列出方程；然后根據一元二次方程的解法求出符合題意的x的值即可.【詳解】設每個支干長出x個分支，根據題意得1+x+x?x=13，整理得x2+x-12=0，解得x1=3，x2=-4（不符合題意舍去），即每個支干長出3個分支.故應選B.【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．【即學即練2】某樹主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目小分支，主干、枝干和小分支總數共57根，則主干長出枝干的根數為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】【分析】分別設出枝干和小分支的數目，列出方程，解方程即可得出答案.【詳解】設枝干有x根，則小分支有根根據題意可得：解得：x=7或x=-8(不合題意，舍去)故答案選擇A.【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，解題關鍵是根據題目意思列出方程.考法04握手問題與送禮問題【例題4】“鳳鳴”文學社在學校舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，某組共互贈了210本圖書，如果設該組共有x名同學，那么依題意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210【答案】B【解析】【詳解】設全組共有x名同學，那么每名同學送出的圖書是(x?1)本；則總共送出的圖書為x(x?1)；又知實際互贈了210本圖書，則x(x?1)=210．故選：B．【即學即練1】今年“國慶節”和“中秋節”雙節期間，某微信群規定，群內的每個人都要發一個紅包，并保證群內其他人都能搶到且自己不能搶自己發的紅包，若此次搶紅包活動，群內所有人共收到90個紅包，則該群一共有(

)A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】B【解析】【詳解】試題解析：設這個QQ群共有x人，依題意有x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或x=10，∴這個QQ群共有10人．故選B.【即學即練2】某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根據球賽問題模型列出方程即可求解．【詳解】解：設參加此次比賽的球隊數為x隊，根據題意得：x（x﹣1）＝36，化簡，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：參加此次比賽的球隊數是9隊．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解決本題的關鍵是掌握一元二次方程應用問題中的球賽問題．【即學即練3】在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有二人參加這次聚會，則列出方程正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】【詳解】分析：如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，據此可列出關于x的方程．解答：解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：x-1（次）；依題意，可列方程為：=10；故選B．考法05面積問題【例題5】原定于2020年10月在昆明舉辦的世界生物多樣性大會第15次締約方大會，因疫情推遲到2021年5月舉辦，為喜迎“COP15”，某校團委舉辦了以“COP15”為主題的學生繪畫展覽，為美化畫面，要在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等（如圖），若設彩紙的寬度為xcm，根據題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由彩紙的面積恰好與原畫面面積相等，即可得出關于x的一元二次方程；【詳解】依題意得：，即；故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，準確列式是解題的關鍵．【即學即練1】如圖所示，在一幅矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的邊框，制成一幅長為80cm，寬為50cm的掛圖，設邊框的寬為xcm，如果風景畫的面積是2800cm2，下列方程符合題意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800【答案】D【解析】【分析】根據圖求出風景畫的長、寬，再利用矩形的面積公式即可得出答案.【詳解】由題意得：風景畫的長為：，寬為：利用矩形的面積公式得：故選：D.【點睛】本題考查了一元二次方程的幾何應用，依據題意求出風景畫的長、寬是解題關鍵.【即學即練2】如圖，某小區計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）.A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A【解析】【詳解】解：設道路的寬為xm，根據題意得：(32?2x)(20?x)=570，故選：A【即學即練3】如圖，是一個長為30m，寬為20m的矩形花園，現要在花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進出口的寬度應為米．【答案】1．【解析】【詳解】試題分析：設小道進出口的寬度為x米，依題意得（30-2x）（20-x）=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合題意，舍去），∴x=1．答：小道進出口的寬度應為1米．考點：一元二次方程的應用．【即學即練4】如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？【答案】羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.【解析】【詳解】解：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據題意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．則100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．故羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米．【即學即練5】如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【答案】所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m時，豬舍面積為80m2【解析】解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得，化簡，得，解得：，當時，（舍去），當時，，答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．【即學即練6】一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度．【答案】（1）；（2）橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．【解析】（1）根據題意可知，橫彩條的寬度為xcm，∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，即y與x之間的函數關系式為y=﹣3x2+54x；（2）根據題意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴x=3，答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．考點：根據實際問題列二次函數關系式；一元二次方程的應用．【即學即練7】如圖，某農戶準備建一個長方形養雞場，養雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養雞場的面積為150m2，則養雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．【答案】（1）養雞場的寬是10m，長為15m；（2）圍成養雞場的面積不能達到200m2，見解析【解析】解：（1）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，當x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），則養雞場的寬是10m，長為15m．（2）設養雞場的寬為xm，根據題意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因為方程沒有實數根，所以圍成養雞場的面積不能達到200m2．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有100人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的人數x滿足的方程為（

）A．1+x+x（1+x）=100 B．x（1+x）=100C．1+x+x2=100 D．x2=100【答案】A【解析】【分析】每輪傳染中平均一個人傳染的人數為x人,即經過第一輪有（x+1）人感染,則經過第二輪有[（x+1）+x（x+1）]人得了流感,根據兩次一共有100患了流感即可列出方程.【詳解】解：由題可知1+x+x（1+x）=100,故選A.【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用,屬于簡單題,認真審題,找到等量關系是解題關鍵.2．如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據題意，列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個矩形，根據種植的面積為600列出方程即可．【詳解】解：如圖，設小道的寬為，則種植部分的長為，寬為由題意得：．故選C．【點睛】考查一元二次方程的應用；利用平移的知識得到種植面積的形狀是解決本題的突破點；得到種植面積的長與寬是解決本題的關鍵．3．一棵樹主干長出若干個枝干，每個枝干又長出枝干數兩倍的小分支，主干、枝干和小分支共個，則主干長出的枝干數是（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】A【解析】【分析】設主干長出x根枝干，根據主干、枝干和小分支總數共56根，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設主干長出x根枝干，依題意，得：1+x+2x2=56，解得：x1=5，x2=（不合題意，舍去）．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．在一幅長60dm寬40dm的慶祝建國70周年宣傳海報四周鑲上相同寬度的金色紙片制成一幅矩形掛圖．要使整個掛圖的面積為2800dm2，設紙邊的寬為xdm，則可列出方程為（）A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝0【答案】C【解析】【分析】如果設紙邊的寬為xcm，那么掛圖的長和寬應該為（40+2x）和（60+2x），根據總面積即可列出方程．【詳解】解：設紙邊的寬為xcm，那么掛圖的長和寬應該為（60+2x）和（40+2x），根據題意可得出方程為：（60+2x）（40+2x）＝2800，整理得：x2+50x﹣100＝0，故選C．【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟知面積的公式.5．國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設2016年底至2018年底該地區貧困人口的年平均下降率為，根據題意列方程得（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】等量關系為：2016年貧困人口年貧困人口，把相關數值代入計算即可．【詳解】解：設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為，根據題意得：，故選B．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內變化情況的等量關系是解決本題的關鍵．6．某超市一月份的營業額為200萬元，已知第一季度的總營業額共1000萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000C．200+200×3x＝1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000【答案】D【解析】【分析】根據增長率問題公式即可解決此題，二月為200（1+x），三月為200（1+x）2，三個月相加即得第一季度的營業額．【詳解】解：∵一月份的營業額為200萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業額為200×（1+x），∴三月份的營業額為200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故選D．【點睛】此題考查增長率問題類一元二次方程的應用，注意：第一季度指一、二、三月的總和．7．圣誕節時，某班一個小組有x人，他們每兩人之間互送賀卡一張，已知全組共送賀卡110張，則可列方程為_____．【答案】x（x﹣1）＝110【解析】【分析】設這個小組有人，要求他們之間互送賀卡，即除自己外，每個人都要求送其他的人一張賀卡，即每個人要送－1張賀卡，所以全組共送（－1）張，又知全組共送賀卡110張，由送賀卡數相等為等量關系，列出方程即可．【詳解】設這個小組有x人，則每人應送出x?1張賀卡，由題意得：x(x?1)＝110，故答案為x(x?1)＝110.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.8．某小區2010年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2012年屋頂綠化面積要達到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是_________．【答案】20%【解析】【詳解】分析：本題需先設出這個增長率是x，再根據已知條件找出等量關系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：設這個增長率是x，根據題意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案為20%．9．某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為_____．【答案】20%【解析】【分析】解答此題利用的數量關系是：商品原來價格×（1-每次降價的百分率）2=現在價格，設出未知數，列方程解答即可．【詳解】設這種商品平均每次降價的百分率為x，根據題意列方程得：125(1?x)2=80解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合題意，舍去)故答案為20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意列出關系式是解題的關鍵．10．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為________.【答案】11【解析】【分析】設參加酒會的人數為x人，根據每兩人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設參加酒會的人數為x人，根據題意得：x（x-1）=55，整理，得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（不合題意，舍去）．答：參加酒會的人數為11人．故答案為11.【點睛】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．11．2020年1月份以來，新型冠狀病毒肺炎在我國蔓延，假如有一人感染新型冠狀病毒肺炎，經過兩輪傳染后共有64人患病．（1）求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個健康的人；（2）如果不及時控制，第三輪傳染將又有多少個健康的人患病？【答案】（1）每輪傳染中平均每個人傳染了7個健康的人；（2）第三輪傳染將又有448個健康的人患病．【解析】【分析】（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據一人患病后經過兩輪傳染后共有64人患病，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論；（2）利用經過兩輪傳染后的人數乘以每輪平均傳染人數，即可求出結論．【詳解】（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個健康的人．依題意，得，解得（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了7個健康的人．（2）（個）．答：第三輪傳染將又有448個健康的人患病．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．12．某公司今年1月份的生產成本是400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份的生產成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生產成本的下降率都相同．（1）求每個月生產成本的下降率；（2）請你預測4月份該公司的生產成本．【答案】（1）每個月生產成本的下降率為5%；（2）預測4月份該公司的生產成本為342.95萬元．【解析】【分析】（1）設每個月生產成本的下降率為x，根據2月份、3月份的生產成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）由4月份該公司的生產成本=3月份該公司的生產成本×（1﹣下降率），即可得出結論．【詳解】（1）設每個月生產成本的下降率為x，根據題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），答：預測4月份該公司的生產成本為342.95萬元．題組B能力提升練1．如圖，是一面長米的墻，用總長為米的木柵欄（圖中的虛線）圍一個矩形場地，中間用柵欄隔成同樣三塊．若要圍成的矩形面積為平方米，則的長為________米．【答案】【解析】【分析】由與墻頭垂直的邊AD長為x米，四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，即可求得AB的長；根據題意可得方程x（32-4x）=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32-4x（米），即可求得AB的值，注意EF是一面長18米的墻，即AB＜18米．【詳解】解：∵與墻頭垂直的邊AD長為x米，四邊形ABCD是矩形，∴BC=MN=PQ=x米，∴AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x（米），根據題意得：x（32-4x）=60，解得：x=3或x=5，當x=3時，AB=32-4x=20＞18（舍去）；當x=5時，AB=32-4x=12（米），∴AB的長為12米．故答案為12．【點睛】考查了一元二次方程的應用中的圍墻問題，正確列出一元二次方程，并注意解要符合實際意義．2．某小區有一塊長21米，寬8米的矩形空地，如圖所示．社區計劃在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地，并且兩塊綠地之間及四周都留有寬度為x米的人行通道．如果這兩塊綠地的面積之和為60平方米，人行通道的寬度應是多少米？【答案】人行道的寬度為2米【解析】【分析】人行道的寬度為x米，則每塊矩形綠地的長度為：米，寬度為：（8-2x）米，根據兩塊綠地的面積之和為60平方米，列方程求解即可．【詳解】解：根據題意，得，整理得．解得，．∵不符合題意，舍去，．答：人行通道的寬度是2米．【點睛】本題考查了一元二次方程法應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系．3．如圖是寬為20m，長為32m的矩形耕地，要修筑同樣寬的三條道路(互相垂直)，把耕地分成六塊大小相等的試驗地，要使試驗地的面積為570m2，問：道路寬為多少米？【答案】1米【解析】【分析】設道路寬為x米，根據題意列出一元二次方程即可求出結論．【詳解】解：設道路寬為x米，依題意得：解得（不合題意，舍去）答：道路寬為1米．【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用，掌握實際問題中的等量關系是解題關鍵．4．某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了33m的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻長15m)圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養雞場(如圖所示)，（1）若要建的矩形養雞場面積為90m2，求雞場的長(AB)和寬(BC)；（2）該扶貧單位想要建一個100m2的矩形養雞場，這一想法能實現嗎？請說明理由．【答案】（1）雞場的長（AB）為15m，寬（BC）為6m；（2）不能，理由見解析．【解析】【分析】（1）設BC=xm，則AB=（33-3x）m，根據矩形的面積公式結合矩形養雞場面積為90m2，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分別代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出結論；（2）不能，理由如下，設BC=ym，則AB=（33-3y）m，同（1）可得出關于y的一元二次方程，由根的判別式△=-111＜0，即可得出結論．【詳解】解：（1）設BC=xm，則AB=（33-3x）m，依題意，得：x（33-3x）=90，解得：x1=6，x2=5．當x=6時，33-3x=15，符合題意，當x=5時，33-3x=18，18＞15，不合題意，舍去．答：雞場的長（AB）為15m，寬（BC）為6m．（2）不能，理由如下：設BC=ym，則AB=（33-3y）m，依題意，得：y（33-3y）=100，整理，得：3y2-33y+100=0．∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，∴該方程無解，即該扶貧單位不能建成一個100m2的矩形養雞場．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．5．列方程（組）解應用題：某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．求這個茶園的長和寬．【答案】30m，20m【解析】【分析】設當茶園垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（69+1﹣2x）m，根據茶園的面積為600m2，列出方程并解答．【詳解】設茶園垂直于墻的一邊長為xm，則另一邊的長度為（69+1﹣2x）m，根據題意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，當x＝15時，70﹣2x＝40＞35，不符合題意舍去；當x＝20時，70﹣2x＝30，符合題意．答：這個茶園的長和寬分別為30m、20m．題組C培優拔尖練1．李明準備進行如下操作實驗，把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，李明應該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認為這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2，你認為他的說法正確嗎？請說明理由．【答案】(1)李明應該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段；(2)李明的說法正確，理由見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）設剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40﹣x）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）設剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40﹣m）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯誤，否則正確．試題解析：設其中一段的長度為cm，兩個正方形面積之和為cm2，則，（其中），當時，，解這個方程，得，，∴應將之剪成12cm和28cm的兩段；（2）兩正方形面積之和為48時，，，∵，∴該方程無實數解，也就是不可能使得兩正方形面積之和為48cm2，李明的說法正確．考點：1．一元二次方程的應用；2．幾何圖形問題．2．已知兩條線段長分別是一元二次方程的兩根，（1）解方程求兩條線段的長．（2）若把較長的線段剪成兩段，使其與另一段圍成等腰三角形，求等腰三角形的面積．（3）若把較長的線段剪成兩段，使其與另一段圍成直角三角形，求直角三角形的面積．【答案】（1）2和6；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求解該一元二次方程即可;（2）先確定等腰三角形的邊，然后求面積即可；（3）設分為兩段分別是和，然后用勾股定理求出x，最后求面積即可.【詳解】解：（1）由題意得，即：或，∴兩條線段長為2和6；（2）由題意，可知分兩段為分別為3、3，則等腰三角形三邊長為2，3，3，由勾股定理得：該等腰三角形底邊上的高為：∴此等腰三角形面積為=．（3）設分為及兩段∴，∴，∴面積為.【點睛】本題考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知識，考查知識點較多，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵.3．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=xm.（1）若花園的面積為192m2,求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.【解析】【分析】（1）根據AB=x可得BC=28－x，然后根據面積列出一元二次方程求出x的值；（2）根據題意列出S和x的函數關系熟，然