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文檔簡介

最短路徑問題

一、基本模型與方法

問題1：“牽牛從點A動身，到河邊/喝水，再到點B處吃草，走哪條路徑最短？”

即在/上找一點P,使得PA+PB和最小.

(1)A,B兩點在直線異側時，連接AB交/于P,則PA+PB和最小.

a?

I

*

B

(2)A,B兩點在直線同側時，在/上找一點P,使得PA+PB和最小.

作B點關/的對標點B：連接AB，交/于點P,即為所要找的P點，使PA+PB和最小.

(3)變式爭論：在/上找一P點，使得4PAB周長最小.

問題2：在/上找一點P,使得PA—PB|最大

(1)A,B兩點在直線同側時，連接AB井延長交/于P,則|PA-PB|最大

B

(2)A,B兩點在直線異側時，作B點關于/的對稱點B，，連接AB，并延長交/于點P,即為所

要找的P點，使|PA—PB|最大.

B

A.

(3)當兩定點A、8在直線/同側時，在直線/上找一點P,使得最小.

.A

B

問題3：(1)在直線小乙上分別求點M、N,使aPMN周長最小

做法：分別作點P關于直線/1、/2的對稱點Pl,P2連接Pl，P2與/1、/2交點即為M,N

(2)變式：在直線八、/2上分別求點M、N,使四邊形PMQN周長最小.

做法：分別作點P,Q關于直線I”L的對稱點P',Q',連接P',Q'與h,12交點即為M,N

/l

問題4：點在銳角NAOB內部，在0B邊上求作一點D,在0A邊上求作一點C,使PD+CD最

小

做法：做點P關于直線0B的對稱點P，，過P，向直線0A作垂線與0B的交點為所求點D,

垂足即為點C

問題5：(1)直線并且h與12之間的距離為d,點A和點B分別在直線小/2的兩

側，在直線八、七上分別求一點M、N,使AM+MN+AB的和最小.

作法：將點A向下平移d個單位到Ai，連結A,B交b于點N,過N作MN1垂足為M,

連結AM,則線段AM+MN+NB的和最小，點M,N即為所求.

A

(2)直線/的同側有兩點A,B,在直線/上求兩點C、D,使得AC+CD+DB的和最小，且CD

的長為定值m點D在點C的右側.

作法：將點A向右平移〃個單位到A”作點B關于直線的對稱點名B”連結A”Bi交直

線/于點D,過點A作AC//A1D交直線/于點G,連結BD,則線段AC+CD+DB的和最小.

點C、D即為所求

二、基本題型訓練（歡迎大家補充練習題并上傳！）

1.如圖，已知AABC為等腰直角三角形，AC=BC=4,/BCD=150,P為CD上的動點，則-PB\

的最大值是多少？

解答：

如圖所示，作點A關于CD的對稱點A,連接AC,連接48并延長交CD于點P,則點P就是-PB\

的值最大時的點，倒-PB\^A'B.

:△A8C為等腰直角三角形，AC=BC等于4,AZACB=90°.

VZBCD=15°,AZACD=750.

?.?點A、A，關于CD對稱，.?.AALCD,AC=CA',

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