第三章函數的概念與性質3.4函數的應用(一)學習目標素養要求1．理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具數學建模2．在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律數學建模|自學導引|

常見的函數模型y＝kx＋b

y＝ax2＋bx＋c

【預習自測】一個矩形的周長是40，矩形的長y關于寬x的函數解析式為 (

)A．y＝20－x(0＜x＜10) B．y＝20－2x(0＜x＜20)C．y＝40－x(0＜x＜10) D．y＝40－2x(0＜x＜20)【答案】A

【解析】由題意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x．又因為20－x＞x，所以0＜x＜10．故選A．

解決函數應用問題的步驟(一)審題；(二)建模；(三)解模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：【答案】2500

|課堂互動|題型1一次函數、二次函數模型商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數是羊毛衫標價的一次函數，標價越高，購買人數越少．把購買人數為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為每件300元．現在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標價)出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？解：(1)設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k＜0)．因為0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)，所以利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因為k＜0，所以x＝200時，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元．(2)由題意，得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為250元或150元．一次函數、二次函數模型問題的兩個注意點(1)確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法．(2)二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯．1．如圖，小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那棵樹0.5m時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為_____m．【答案】0.5

【解析】若以左邊的樹根為原點建立平面直角坐標系，則拋物線的對稱軸為直線x＝1．設拋物線方程為y＝ax2－2ax＋2.5，當x＝0.5時，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2．∴y＝2(x－1)2＋0.5．∴繩子的最低點距地面的距離為0.5m．(2)由(1)知，①當0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數圖象開口向下，對稱軸為直線t＝5，該函數在t∈[0，5]單調遞增，在t∈(5，10]單調遞減，所以ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝1200(當t＝0或10時取得)．②當10＜t≤20時，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為直線t＝45，該函數在t∈(10，20]單調遞減，所以ymax＜1200(當t＝10時取得1200)，ymin＝600(當t＝20時取得)．由①②知ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得)．應用分段函數時的三個注意點(1)分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏(關鍵詞：“段”)．(2)分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集(關鍵詞：定義域)．(3)分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后再下結論(關鍵詞：值域)．2．某數學練習冊，定價為40元．若一次性購買超過9本，則每本優惠5元，并且贈送10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優惠8元，并且贈送10元代金券．某班購買x(x∈N*，x≤40)本，則總費用f(x)與x的函數關系式為____________(代金券相當于等價金額)．題型3冪函數模型的應用某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產品的收益與投資額x的函數關系式．(2)該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？冪函數模型應用的求解策略(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式．(2)利用函數關系式解決相關問題．(3)回歸到應用問題中去，給出答案．3．在固定壓力差(壓力差為常數)下，當氣體通過圓形管道時，其流量R與管道半徑r的四次方成正比．(1)寫出函數解析式；(2)假設氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s，求該氣體通過半徑為rcm的管道時，其流量R的函數解析式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量．|素養達成|1．函數模型的應用實例主要包括三個方面：(1)利用給定的函數模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數模型解決實際問題；(3)建立擬合函數模型解決實際問題．2．在引入自變量建立目標函數解決函數應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合實際問題的要求．3．在實際問題向數學問題轉化的過程中，要充分使用數學語言，如引入字母、列表、畫圖等使實際問題數學符號化(體現了數學建模核心素養)．4．根據收集到的數據的特點，通過建立函數模型，解決實際問題的基本過程，如右圖所示．1．(題型1)一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數解析式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D

【解析】90min＝1.5h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120(km/h)，則路程y(km)與時間t(h)之間的函數解析式是y＝120t(t≥0)．【答案】D

【解析】顯然出發、停留、返回三個過程中行車速度是不同的，故應分三段表示函數．3．(題型3)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(單位：萬元)與藥品利潤y(單位：萬元)存在的關系為y＝xα(α為常數)，其中x不超過5萬元．已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為________萬元．【答案】125