2022年高考數學考前熱身題

1.如圖，在四棱柱尸-/8CD中，底面是為菱形，N4BC=60°,刈，平面/8C3,

E為PD的中點.

(1)證明：BDA-PCx

⑵若PC與平面所成角為。，且tern。另，求二面角P-ZC-E的大小.

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明8。，平面為C,即可證明結論；

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數

法求出平面AEC的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(1)證明：因為四邊形488為菱形，

所以8DL4C,

因為孫，平面NBCD,BDc5F?ABCD,

貝又/PANC=/,AP,NCu平面/MC,

故平面PAC,

又尸Cu平面PAC,

所以BDLPC；

(2)解：因為以_1_平面

所以PC在平面/8C。內的射影為/C,

則/尸。為直線PC與平面/BCD所成的角，

設ZC=2,則BD=2百，

1DA

由tern。=2=衣，解得以=1,

設4c的中點為。PC的中點為G,連接OG,貝IJOG〃以,

所以06_1_平面ABCD,

又4c工BD,

故OC,OD,OG兩兩垂直，

以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

1反1

則4(-1，0,0),C(1/0,0),E(-2f~2~f2)9

所以AC=(2,0,0),=號，i),

設平面NEC的一個法向量為7=(x,y,z),

TT2X=。

n=o

er敦

?r1+1

T=LAI-X+z=o

no2-

XF2

令y=l,則z=-V3,

故九二(0,L—V3),

又拓=(0,1,0)為平面RJC的一個法向量，

所以|c°s￡,>=牖=篇4

故二面角P-/C-E的大小為60°.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理和性質的應用,

二面角的求解問題，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系,

將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-N8CZ)中，底面N8CZ)是邊長為2的正方形，平面底面N8CQ,

PB=PC=V6.

(1)證明：平面以8_L平面PCD；

(2)已知點M是線段PC的中點，求鈍二面角4C的余弦值.

【分析】(1)由已知證明加<LC￡>,PDA.CD,ABLPA,求解三角形證明以_LPD,再由

直線與平面垂直的判定可得為，平面PCD,進一步得到平面為8,平面PCD；

(2)由(1)知，PA=PD,又。為40的中點，WPOLAD,可得「。，平面月BCD,

且尸。=會。=1,建立空間直角坐標系，求兩平面CAM的法向量，用向量法求鈍

二面角N-8/-C的余弦值.

【解答】解：(1)證明：???底面Z8C。是正方形，.../C8,

?平面底面Z8CZ),且平面以。口底面CDu平面4BCD,

，CD_L平面*。，而4P、P￡>u平面

：.APLCD,PDA.CD,

同理/8_L以，

在RtAR48和Rt△尸DC中，由NB=OC=2,PB=PC=V6,

得E4=PD=J(V6)2-22=V2,

又：/。=2,：.PA2+PD2=AD2,得以_LPD,

'：PDHCD=D,.?.以_L平面PCD,而以u平面/MB,

平面R18J_平面PCD；

(2)解：由(1)知，PA=PD,取4)的中點。，連接尸O,在平面內作。ALL4。

；.PO_L4。，；平面以D_L底面/8CD,且平面以。Cl底面48C￡)=N。，POu平面以。，

.?.P。_1平面/38,且PO=%Q=1,POLON,

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點/(1,0,0),B(1,2,0),C(-L2,0)P(0,0,1)

11

M(-,1,-),

522

~,TT41TT11

所以AB=(0,2,0),AM=(-5,1,-),CB=(2,0,0),CM=(-,-1,-)

2222

設平面4M8的一個法向量幾=（x,y,z）,

貝他.野=0,所以2y=0

31

（九-AB=0―/+y+產=0

令x=l,則y=0,z=3,所以平面4W8的一個法向量￡=(1,0,3),

設平面的一個法向量m=（〃，b,c）

則網CB：。，所以詹二。J

Im-CM=0y+2zO'

令c=2,則a=0,b=\,所以平面BMC的一個法向量薪=（0,1,2）,

t、n-m63>/2

所以cos<n，m>=E=?i而rw

，鈍二面角A-BM-C的余弦值為一^

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用

等體積法求點到平面的距離，是中檔題.

3.如圖，四面體48CD中，。是2。的中點，△力2。和△BCD均為等邊三角形，AB=2,

AC=V6.

（1）求證：/O1.平面BCD；

（2）求二面角的正弦值.

【分析】（1）連接OC,利用正三角形的性質可得40_L8D,再利用勾股定理證明ZO_L

OC,根據線面垂直的判定定理證明即可；

(2)過點。作OELBD于點E,連接/E,由二面角的平面角的定義可得，N4E。即為

二面角Z-8C-D的平面角，在三角形中由邊角關系求解即可.

【解答】(1)證明：連接OC,因為為等邊三角形，。為8。的中點，

則AOLBD,

因為和△BCD均為等邊三角形，。為8。的中點，AB=2,AC=巫,

所以4O=CO=舊，

在△NOC中，AO2+CO2=AC2,

所以/O1_OC,又BDCOC=O,BD,OCu平面BCD,

故"O_L平面BCD；

(2)解：過點。作。于點E,連接/E,

因為平面BCD,

所以/E在平面BCD內的射影為OE,

則AE±BC,

故/NEO即為二面角4-8C-。的平面角，

在RtA^EO中，4。=百，0E=苧，4E=零，

所以sinZJ￡O=黑=票=等，

/ic,153

~T~

故二面角A-BC-D的正弦值為學.

【點評】本題考查了線面垂直的判定定理的應用，二面角的求解，主要考查了幾何法求

解二面角，解題的關鍵是正確找到所要求解的二面角的平面角，考查了邏輯推理能力與

化簡運算能力，屬于中檔題.

4.已知點y)是平面直角坐標系上的一個動點，點M到直線x=4的距離等于點M

到點。(1,0)的距離的2倍，記動點/的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

（2）斜率為1的直線/與曲線C交于48兩個不同點，若直線/不過點P（l,設直

線以、尸8的斜率分別為坳，kpB，求31+3B的數值；

（3）設點E為曲線C的上頂點，點P,。是橢圓C上異于點E的任意兩點，若直線EP

與EQ的斜率的乘積為常數人（A<0）,試判斷直線PQ是否經過定點，若經過定點，請

求出定點坐標；若不經過定點，請說明理由.

【分析】（1）根據題意，設M點坐標，根據題意，列方程化簡，即可求得曲線C的方程；

（2）設直線/的方程，聯立直線/與曲線C的方程，根據韋達定理及直線的斜率公式，

即可求得kPA+kpB的數值；

（3）由題意可知，直線尸。的斜率存在，設直線尸。的方程，代入橢圓方程，利用韋達

定理及直線的斜率公式表示出kEP，kEQ=人,化簡可得直線恒過定點.

【解答】解：（1）因為點M到直線x=4的距離等于點M到點。（1,0）的距離的2倍，

所以1%—4|=-1.+

x2y2

化簡可得-74--=1;

43

x2y2

所以，曲線C的方程：—4-7-=1;

43

（2）因為直線/的斜率為且不過P（L各點，設直線/：y=^x+m,*1.

償+且.=1

聯立方程組，4J,得/+妹+相2-3=0.

（y二尸+7n

2

又交點為力（xi,yi）,B（X2，yi）>所以x\+x2=-m,x1x2=m—3,

因為△=川-4（m2-3）>0,所以-2（機<2.

_為一2,及一2_勺-2+0-2）（勺+久2）-2血+3_

噎+叱-赤+口一（勺-1）（久2-1）-

2

m-3+（m-2）（—m）—2m+3_n

所以kpa+kpB的值為0；

（3）直線尸0是否經過定點（0,蹩筆①）?理由如下：

由⑴可知E（0,V3）,

當直線尸0的斜率不存在時，設直線P0的方程：x=xo,則尸（xo,yo）,Q（xo，-泗），

且詔=扣-據）

所以kpE.%E=蚱色二'「3=字=視,顯然不滿足而E?W，且入＜0，

“x0XQ%o4

若直線P0的斜率存在時，設P0的方程為：y=kx+m,設P(制，產)，Q(x2,").

則"n1整理得(3+4/)/+8癡x+4加2-12=0,

(3xz+4y“-12=0

則XI+%2=8^2,X1-x2=—~~則%+=k(*l+x2)+2m=-6m2'%丫2=

3+4/c3+4/c3+4/c

2

kxxx2+/cm(Xj+x2)+優2——%.

丫2一后_丫1丁2-再（力+。2）+3_

所以直線EP與EQ的斜率的乘積/CEP/EQ=

X1x2X/2

3（m-6）2

4（m-73）（m4-73）

所以既潦=人解得租=粵簽’

因此，直線PQ恒過定點（0,學護）,

同3+42)

所以直線P。是否經過定點，且定點為（0,

3-4A

【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系,軌跡方程的求法，考查韋達定理及直線的斜

率公式的應用，考查轉化思想，計算能力，屬于中檔題.

5.己知拋物線C：，=4x的焦點為「經過尸傾斜角為60°的直線/與拋物線C交于力,

8兩點.求弦的長.

【分析】根據已知條件，結合拋物線的性質，即可求解.

【解答】解：：拋物線C：f=4x,

.?.拋物線的焦點尸（1,0）,p=2,

設點/（X1,yi）,B（X2,y2）9

???直線/經過F傾斜角為60°,

...直線/的方程為夕=V3（x—1）,

聯立方程卜2=一1），化簡整理可得，3x2-i0x+3=0,

\y=4x

由韋達定理可得，與+小=學，

".\AB\=\AF\+\BF\=x1+^+x2+^=x1+x2+p=-^-+2=竽.

【點評】本題主要考查拋物線的性質，考查計算能力，屬于基礎題.

6.作斜率為-1的直線/與拋物線C：丁=2外交于48兩點（如圖所示），點P（1,2）

在拋物線C上且在直線/上方.

(I)求C的方程并證明：直線R1和P8的傾斜角互補；

(II)若直線處的傾斜角為嗆V。，)，求△以8的面積的最大值.

【分析】(I)利用點P在拋物線上，求出p的值，即可得到拋物線的方程，聯立直線與

拋物線方程，求出b的取值范圍，利用兩點間斜率公式以及韋達定理化簡如4+價B=0,

即可證明；

(II)先由傾斜角的范圍確定直線以斜率的范圍，結合(I)中的結論，進一步求解6

的取值范圍，由弦長公式求出依引，點到直線的距離公式求出三角形的高，用人表示出三

角形的面積，構造函數/(x)=(^-1)(3-x)2,(-1,3),利用導數研究函數的

單調性，求解函數的最值即可.

【解答】解：(I)因為點尸(1,2)在拋物線C上，

所以22=2pXl,解得p=2,

因此拋物線C的方程為/=4x,

設直線/的方程為y=~x+b,

因為直線/與拋物線C交于4B兩點,且點PU,2)在直線/的上方，

所以設力(xi，y\),B(必歹2),且1+2-b>0,即6V3,

由-j+可得/-(2b+4)x+/=0,

V-4%

而由A=[-(26+4)『一4廿=16(b+1)>0,解得b>-1,

因止匕-1V6V3,且xi+x2=2b+4,=b2,

_y「2_一巧一2+b一.2-2+b__(%]_l)_3+b

所以

"+-勺一1+%2一1一%1-1+X2-l_%1-1+

一(%2l)3+b11

=-2+(D(E+I)

%2—1

一X%1+%2-2_%修_x2b+2_2+,2(b+l)(b-3)_

--2+(b-3)xXiX2_(Xi+X2)+1-2+(b367_2—3-(b+l)(b-3)-

0(-