廣東省江門市新會區梁啟超紀念中學2023-2024學年高二上數學期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六2．九連環是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串，按一定規則移動圓環的次數決定解開圓環的個數.在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環所需的最少移動次數，若數列滿足，且當時，則解開5個圓環所需的最少移動次數為（）A.10 B.16C.21 D.223．數列，則是這個數列的第（）A.項 B.項C.項 D.項4．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.6．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.807．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：38．已知數列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數列 D.,,成等比數列9．已知函數，則（）A.3 B.C. D.10．若直線與平行，則實數m等于（）A.1 B.C.4 D.011．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6412．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某天上午只排語文、數學、體育三節課，則體育不排在第一節課的概率為_________14．設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.15．設分別是平面的法向量，若，則實數的值是________16．已知P為拋物線上的一個動點，設P到拋物線準線的距離為d，點，那么的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前n項和.18．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.19．（12分）已知，，且，求實數的取值范圍.20．（12分）某企業為響應“安全生產”號召，將全部生產設備按設備安全系數分為A，兩個等級，其中等設備安全系數低于A等設備.企業定時對生產設備進行檢修，并將部分等設備更新成A等設備.據統計，2020年底該企業A等設備量已占全體設備總量的30%.從2021年開始，企業決定加大更新力度，預計今后每年將16%的等設備更新成A等設備，與此同時，4%的A等設備由于設備老化將降級成等設備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業的A等設備占全體設備的比例能否超過80%？請說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業的A等設備占全體設備的比例超過60%.（參考數據：，，）21．（12分）在直三棱柱中，，，，，分別是，上的點，且（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值22．（10分）已知圓C：的半徑為1（1）求實數a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：2、D【解析】根據題意，結合數列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據題意，由，得.故選：D.3、A【解析】根據數列的規律，求出通項公式，進而求出是這個數列的第幾項【詳解】數列為，故通項公式為，是這個數列的第項.故選：A.4、C【解析】根據題意求出P點坐標，代入橢圓方程中，可整理得到關于a,c的等式，進一步整理為關于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標為，將P點坐標為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.5、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A6、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.7、A【解析】求出橢圓的焦點坐標，再根據點在橢圓上，線段的中點在軸上,求得點坐標，進而計算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設點坐標為，線段的中點為，因為線段中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.8、C【解析】寫出數列前幾項，觀察規律，找到數列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數列中，，，，則此數列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數列的各項是周期為6數值循環重復的一列數，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構成等比數列.判斷錯誤.故選：C9、B【解析】由導數運算法則求出導發函數，然后可得導數值【詳解】由題意，所以故選：B10、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B11、A【解析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.12、A【解析】根據直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】寫出語文、數學、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節課的情況，利用概率公式計算即可.【詳解】所有可能結果如下：（語文，數學，體育）；（語文，體育，數學）；（數學，語文，體育）：（數學，體育，語文）；（體育，語文，數學）；（體育，數學，語文）,其中體育不排在第一節課的情況有四種，則體育不排在第一節課的概率14、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：15、4【解析】根據分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因為分別是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.16、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得結果【詳解】拋物線的焦點，準線為，如圖，過作垂直準線于點，則，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）當時，由，得，兩式相減化簡可得，再對等式兩邊同時減去1，化簡可證得結論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】由已知得，.當時，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對都成立，故數列是等比數列.【小問2詳解】由（1）得，，.18、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即19、.【解析】求得集合，根據，分和，兩種情況討論，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，集合當時，即，解得，此時滿足，當時，要使得，則或，當時，可得，即，此時，滿足；當時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數的取值范圍為.20、（1）A等設備量不可能超過生產設備總量的80%，理由見解析；（2）在2025年底實現A等設備量超過生產設備總量的60%.【解析】(1)根據題意表示出2020年開始，經過年后A等設備量占總設備量的百分比為，求出，根據的范圍進行判斷；(2)令＞即可求解.【小問1詳解】記該企業全部生產設備總量為“1”，2020年開始，經過年后A等設備量占總設備量的百分比為，則經過1年即2021年底該企業A等設備量，，可得，又所以數列是以為首項，公比為的等比數列，可得，所以，顯然有，所以A等設備量不可能超過生產設備總量的80%.【小問2詳解】由，得.因為單調遞減，又，，所以在2025年底實現A等設備量超過生產設備總量的60%.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，由空間向量證明與平面的法向量垂直（2）由空間向量求解【小問1詳解】以C為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，設，因為，所以，故，得，同理求得，所以，因為是平面的一個法向量，且，所以，又平面，所以平面；【小問