2024屆新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中學高二上數學期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.2．已知等比數列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.43．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.124．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據以上數據，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠里程的眾數小于B類輪胎行駛的最遠里程的眾數B.A類輪胎行駛的最遠里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠里程的平均數大于B類輪胎行駛的最遠里程的平均數D.A類輪胎的性能更加穩定5．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.6．已知數列中，，()，則（）A. B.C. D.27．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.8．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.9．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數1，3，6，10，…構成的數列的第n項，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.136210．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A. B.C. D.11．下列函數中，以為最小正周期，且在上單調遞減的為（）A. B.C. D.12．過點作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓關于直線對稱，則________14．如圖，正方體中，點E，F，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數表示）15．若關于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.16．已知，在直線上存在點P，使，則m的最大值是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.18．（12分）已知圓C經過點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標準方程；（2）過點向圓C引兩條切線PD，PE，切點分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長19．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數的值20．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個交點；（2）設直線與圓的兩個交點為、，求的取值范圍21．（12分）已知數列滿足，，，n為正整數.（1）證明：數列是等比數列，并求通項公式；（2）證明：數列中的任意三項，，都不成等差數列；（3）若關于正整數n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數m的取值范圍；22．（10分）在平面直角坐標系中，已知圓，點P在圓上，過點P作x軸的垂線，垂足為是的中點，當P在圓M上運動時N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點，試問在x軸上是否存在點M，使得過點M的動直線交C于兩點時，恒有？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數量關系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價于，解得或.故選：A.2、D【解析】設公比為，然后由已知條件結合等比數列的通項公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設公比為，因為等比數列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D3、A【解析】模擬執行程序框圖，根據輸入數據，即可求得輸出數據.【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.4、D【解析】根據眾數、極差、平均數和方差的定義以及計算公式即可求解.【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠里程的眾數為99，B類輪胎行駛的最遠里程的眾數為95，選項A錯誤；對B：A類輪胎行駛的最遠里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠里程的極差為14，選項B錯誤對C：A類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，B類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，選項C錯誤對D：A類輪胎行駛的最遠里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩定，選項D正確故選：D.5、C【解析】先求出橢圓的右焦點，從而可求拋物線的準線方程.【詳解】，橢圓右焦點坐標為，故拋物線的準線方程為，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，本題屬于基礎題.6、A【解析】由已知條件求出，可得數是以3為周期的周期數列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數列的周期為3，，故選：A7、C【解析】根據給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C8、C【解析】直接利用向量的坐標運算法則求解即可【詳解】因為，，所以，故選：C9、B【解析】觀察前4項可得，從而可求得結果【詳解】由題意可得，……，觀察規律可得，所以，故選：B10、D【解析】根據四點共面的向量表示，可得結果.【詳解】由共面知，故選：【點睛】本題主要考查空間中四點共面的向量表示，屬基礎題.11、B【解析】A.利用正切函數的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數是以為最小正周期，在上單調遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；故選：B12、C【解析】設切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為1，當切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】根據題意，圓心在直線上，進而求得答案.【詳解】由題意，圓心在直線上，則.故答案為：1.14、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：15、【解析】分為和考慮，當時，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當得：，滿足題意；當時，要想保證關于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：16、11【解析】設P點坐標，根據條件知，由向量的坐標運算可得P點位于圓上，再根據P存在于直線上，可知直線和圓有交點，因此列出相應的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿足條件的點P在圓上，又根據題意P點存在于直線上，則直線與圓有交點，故有圓心(1,0)到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數、奇數兩種情況討論，結合并項求和法以及等比數列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數列是首項為，公比為的等比數列，，故；若選②，，所以，，且，故數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當為偶數時，；當為奇數時，.綜上所述，.18、（1）（2）或，【解析】（1）設圓心，根據圓心在直線上及圓過兩點建立方程求解即可；（2）分切線的斜率存在與不存在分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑求解，再根據圓的切線的幾何性質求弦長即可.【小問1詳解】設圓心，因為圓心C在直線上，所以①因為A，B是圓上的兩點，所以，所以，即②聯立①②，解得，所以圓C的半徑，所以圓C的標準方程為【小問2詳解】若過點P的切線斜率不存在，則切線方程為若過點P的切線斜率存在，設為k，則切線方程為，即由，解得，所以切線方程為綜上，過點P的圓C的切線方程為或設PC與DE交于點F，因為，，PC垂直平分DE，所以，所以所以19、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據題意可知P在圓上，據此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據直線的方程可得直線經過定點，而點到圓心的距離小于半徑，故點在圓的內部，由此即可證明結果（2）由圓的性質可知，當過圓心時，取最大值，當和過的直徑垂直時，取最小值，由此即可求出結果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過點，所以，所以點在圓內，所以直線與圓恒有兩個交點；【小問2詳解】解：當過圓心時，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當和過的直徑垂直時，取最小值，此時圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據等比數列的定義即可證明結論；（2）假設存在，，成等差數列，根據等差數列的性質可推出矛盾，故說明假設錯誤。從而證明原結論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結合時，，即可求得結果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數列不可能是等比數列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數列等比數列，且；【小問2詳解】假設存在，，成等差數列，則，即，整理得，即，而是奇數，故上式左側是奇數，右側是一個偶數，不可能相等，故數列中的任意三項，，都不成等差數列；【小問3詳解】關于正整數n的不等式，即，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，，并且當時，，因關于正整數n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.22、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設，根據中點坐標公式用N的坐標表示P的坐標，將P的坐標代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設存在，設M為(