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福建省廈門二中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.2.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()①,;②;③A.0 B.1C.2 D.33.已知圓和圓恰有三條公共切線,則的最小值為()A.6 B.36C.10 D.4.已知圓:,是直線的一點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,,則的最小值為()A. B.C. D.5.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在n時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為()A. B.C. D.6.等差數(shù)列的公差,且,,則的通項(xiàng)公式是()A. B.C. D.7.若將雙曲線繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,則雙曲線C的離心率為()A. B.C.2 D.8.?dāng)?shù)列,,,,,中,有序?qū)崝?shù)對(duì)是()A. B.C. D.9.不等式的解集為()A. B.C.或 D.或10.下列各式正確的是()A. B.C. D.11.今天是星期四,經(jīng)過天后是星期()A.三 B.四C.五 D.六12.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.無窮數(shù)列滿足:只要必有,則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”,已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”,且前四項(xiàng)成等比數(shù)列,,,則__________,若數(shù)列前項(xiàng)和為,則__________.14.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________.15.動(dòng)點(diǎn)M在圓上移動(dòng),則M與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程為___________.16.若恒成立,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1,且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),且,.求證:為定值,并計(jì)算出該定值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程;(2)求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).19.(12分)已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和20.(12分)某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示:(1)求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù);(2)從該公司員工中隨機(jī)抽取一位,記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,判斷事件與是否互相獨(dú)立,并說明理由;21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、,動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn),問:線段上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)給出證明:若不存在,請(qǐng)說明理由22.(10分)定義:設(shè)是空間的一個(gè)基底,若向量,則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底,是空間的另一個(gè)基底,若向量在基底下的坐標(biāo)為(1)求向量在基底下的坐標(biāo);(2)求向量在基底下的模
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,集合,,根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算,可得,所以.故選:C.2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷大小,從而得解;【詳解】解:令,,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,即,,故①正確;令,,則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即恒成立,所以,故②正確;令,,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故③錯(cuò)誤;故選:C3、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切,由此可得的關(guān)系,從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,由求得的最小值,平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,兩圓有三條公切線,則兩圓外切,所以,即,點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,,所以,所以的最小值為故選:B4、A【解析】根據(jù)題意,為四邊形的面積的2倍,即,然后利用切線長(zhǎng)定理,將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓:的圓心為,半徑,設(shè)四邊形的面積為,由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得,,∵,∴,圓心到直線的距離為,∴的最小值為,則的最小值為,故選:A5、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為,結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系:設(shè)拋物線方程為,由題意知:在拋物線上,即,解得:,,當(dāng)水位下降1米后,即將代入,即,解得:,∴水面寬為米.故選:D.6、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列,所以,再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根,由可知,所以,從而可求出,可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,所以,因?yàn)?,所以可以看成一元二次方程的兩個(gè)根,因?yàn)?,所以,所以,解得,所以故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】由題意,可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°,再確定參數(shù)的正負(fù)即可求解.【詳解】雙曲線,令,則,顯然,則一條漸近線方程為,繞其對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標(biāo)軸重合,故漸近線方程的傾斜角為120°,即,該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,可知,所以,所以.故選:C8、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念,找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列,,,,,可知,,,,,則,解得,故有序?qū)崝?shù)對(duì)是,故選:9、A【解析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式,然后求解即可【詳解】由,得,解得,所以原不等式的解集為,故選:A10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤;故選:C11、C【解析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,得到除以7余數(shù)是1,然后利用周期性進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解:一個(gè)星期的周期是7,則,即除以7余數(shù)是1,即今天是星期四,經(jīng)過天后是星期五,故選:12、A【解析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得,,再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷,再構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得均大于,因?yàn)?,所以,所以,且,令,,?dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以,所以,即,令,,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,由,,所以,所以,綜上所述,.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.2②.7578【解析】根據(jù)前四項(xiàng)成等比數(shù)列及定義可求得,根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列,從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列,,,又,為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”,,,,,…,數(shù)列是周期數(shù)列,周期為4,故答案為:2,757814、【解析】求出導(dǎo)函數(shù),得切線斜率后可得切線方程【詳解】,∴切線斜率為,切線方程為故答案為:15、##【解析】設(shè),中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),中點(diǎn),則,即,因?yàn)樵趫A上,代入得故答案為:.16、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為,再構(gòu)造研究其最值,即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令,則且,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增;所以,即在上恒成立,令,則,當(dāng)時(shí),遞增;當(dāng)時(shí),遞減;所以,綜上,.故答案為:1三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析,定值為【解析】(1)由題意得,從而寫出橢圓的方程即可;(2)易知直線斜率存在,令,,,,,將直線的方程代入橢圓的方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值,從而解決問題.【小問1詳解】(1)由條件得,所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在,令,,,由,因?yàn)?,所以,?1-x1因?yàn)?,所以,?4-x1由①,由②將,代入上式,得18、(1);(2)極大值點(diǎn),極小值點(diǎn).【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解切線方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性,判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可【小問1詳解】函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,在處的切線方程:,即【小問2詳解】令,,解得,當(dāng)時(shí),可得,即的單調(diào)遞減區(qū)間,或,可得,∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間,,的極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)已知條件求得數(shù)列的公比,由此求得.(2)利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由,可得.故數(shù)列是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以【小問2詳解】由(1)得,,①,②①②,得所以20、(1)極差為;第25百分位數(shù)為(2)事件和相互獨(dú)立,理由見解析【解析】(1)根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.(2)計(jì)算得到,,,即,得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為,,故第25百分位數(shù)為.【小問2詳解】,,,故,故事件和相互獨(dú)立.21、(1);(2)存在,理由見解析.【解析】(1)根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程;(2)在第一問的基礎(chǔ)上,設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立橢圓方程,用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和,兩根之積,求出直線l的垂直平分線,從而得到D點(diǎn)坐標(biāo),證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得:,所以,,而,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程,由得:,,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為;【小問2詳解】存,理由如下:顯然,直線l的斜率存在,設(shè)為,聯(lián)立橢圓方程得:,設(shè),,則,,要想以DA、DB
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