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第21章二次根式

21.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法與積的算術平方根

學習目標

1.利用積的算術平方根的性質進行二次根式的化簡與運算;(重點)

2.會進行簡單的二次根式的乘法運算.(重點、難點)

問題1什么叫二次根式？

問題2兩個基本性質：

a(a≥0)

-a(a＜0)

=

=∣a∣

=a

(a≥0)

二次根式乘法

試一試

計算:

(1)×與

=2×5

=10

(2)×與

=4×3

=12

=

=10

=

=12

觀察計算的結果，你能發現什么

發現：×=；×=

思考

(2)×與呢？

從計算的結果我們發現：

×=.

這是什么道理呢？

事實上，根據積的乘方法則，有

(×)=()×()=，

并且×＞0，

所以×是的算術平方根，即

×=.

一般地，有

·=(a≥0，b≥0).

這就是說，兩個算術平方根的積，等于它們被開方數的積的算術平方根。

注意，在上式中，a、b都表示非負數。在本章中，如果沒有特別說明，字母都表示正數.

典例精析

計算:

(1)×

(2)×

=

=

=

=

=4

積的算術平方根

上面得到的等式·=(a≥0，b≥0).也可以寫成

=·(a≥0，b≥0).

這就是說，積的算術平方根，等于各因式算術平方根的積。

利用這個性質可以進行二次根式的化簡。

典例精析

化簡，使被開方數不含完全平方的因數。

=

=×

=2

這里，被開方數12=2×3，含有完全平方的因數，通常可根據積的算術平方根的性質，并利用=a(a≥0)，將這個因數“開方”出來。

1.把被開方數分解因式(或因數)；

2.把各因式(或因數)積的算術平方根化為每個因式(或因數)的算術平方根的積；

化簡二次根式的步驟：

3.如果因式中有平方式(或平方數)，應用關系式

(a≥0)把這個因式(或因數)開出來，將二次根式化簡.

做一做

計算下列各式，并將所得的結果化簡：

=

=×

=3

·

=

=

=×

=5

課堂小結

1.本節課學習了算術平方根的積和積的算術平方根.

2.化簡二次根式的步驟：

（1）將被開方數盡可能分解成幾個平方數.

（3）將平方項應用化簡.

(a≥0)

（2）應用=·(a≥0，b≥0).

·

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