?有限元起源于20世紀50年代中期航空工程中飛機結構的矩陣分析。?有限元基本思想：在力學模型上將一個原來連續的物體離散成為有限個具有一定大小的單元，這些單元僅在有限個節點上相連接，并在節點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。對于每個單元，根據分塊近似的思想，選擇一種簡單的函數來表示單元內位移的分布規律，并按彈性理論中的能量原理（或用變分原理）建立單元節點力和節點位移之間的關系。最后，把所有單元的這種關系式集合起來，就得到一組以節點位移為未知量的代數方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個離散節點上的位移?！耙环忠缓稀?，化整為零，集零為整，把復雜的結構看成由有限個單元組成的整體。?單元、節點、邊界：采用8節點四邊形等參數單元把受力體劃分成網格，這些網格稱為單元；網格間互相連接的點稱為節點；網格與網格的交界線稱為邊界。節點數和單元數目是有限的。?有限元法的優點：（1）理論基礎簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。（2）具有靈活性和適用性，應用范圍極為廣泛。（3）該法在具體推導運算中，廣泛采用了矩陣方法，便于實現程序設計的自動化。?有限單元法分為三類:位移法（以節點位移為基本未知量）、力法（以節點力為基本未知量）和混合法（一部分以節點位移，另一部分以節點力作為基本未知量）。?有限元法分析計算的基本步驟可歸納如以下五點。1.結構的離散化（將某個機械結構劃分為由各種單元組成的計算模型）在平面問題用三角形、矩形或任意四邊形單元。在空間問題用四面體、長方體或任意六面體單元2.單元分析①選擇位移模式（位移模式是表示單元內任意點的位移隨位置變化的函數式，由于所采用的函數是一種近似的試函數，一般不能精確地反映單元中真實的位移分布）位移模式或位移函數：y=Ua,*②建立單元剛度方程3e=Fe，e為單元編號；5e為單元的節點位移向量；Fe為單元的節I點力向量；ke為單元剛度矩陣.③計算等效節點力：用等效的節點力來代替所有作用在單元上的力。3.整體分析：整體的有限元方程K5=F。K為整體結構的剛度矩陣；5為整體節點位移向量；F為整體載荷向量。4.求解方程，得出節點位移5.由節點位移計算單元的應變與應力?有限元中得一個基本近似性是幾何近似性?有限元中的變量：應力、應變、變形?；痉匠逃校浩胶夥匠獭⑽锢矸匠?、幾何方程。邊界條件：力邊界、位移邊界。?彈性力學的任務是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態下產生的應力、應變和位移狀態及其相互關系等。?外力：體力（分布在物體體積內的力---重力、慣性力、電磁力）、面力（分布在物體表面上的力---流體壓力、接觸力、風力）?應力：物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內部將發生內力。

?任意一點可由6個應力分量bxT?任意一點可由6個應力分量bxTxyT小來表示。應力的矩陣:?任意一點可由6個應變分量8x7xy7yz7小來表示。應變的矩陣:?位移：彈性體在載荷作用下，不僅會發生形變，還將產生位移，即彈性體位置的移動。?彈性力學方程：幾何方程、物理方程、平衡方程?變形協調條件：在變形前，把彈性體分為許多微小立方單元體，變形后，每個單元體都產生任意變形而必須滿足變形協調條件或稱變形連續條件的關系。2%必須滿足變形協調條件或稱變形連續條件的關系。2%G=—?拉伸彈性模量E： 三應力和應變的比值；剪切彈性模量G：一、應變比值。P為泊松比。d27 合28 合28?平面問題變形協調條件：V?="f+oxdy dy2 ox2?物理方程：三維情況下應力和應變之間的轉換關系。---廣義虎克定律。?平衡狀態：當物體在外力作用下保持靜止或等速直線運動時的狀態。則變量II稱為自變函數y(x)?泛函：如果對某一類函數y(x)則變量II稱為自變函數y(x)?李茲法的方法和步驟：①把所求泛函II[y(x)]的極值問題的解，表達成一系列可能解的線性組合錯誤!未找到引用源。②把這個線性組合式帶入所討論問題的泛函式II[y(x)忡去，并計算出此泛函式的變分5II③由泛函極值條件511=0，算出線性組合式中的待定系數錯誤!未找到引用源。，使之滿足基本微分方程④把算得的待定系數錯誤!未找到引用源。值代入設定的式，即求得所討論問題的解。?平面問題：指彈性體內一點的應力、應變或位移只和兩個坐標方向的變量有關。3m/工

Sv邊界的分界點、支承點等單元的劃分：單元各內角和各邊長不應相差太大。對于三角形單元，應使其盡量接近等邊或等腰三角形，以提高計算精度。為得到較好的位移結果，單元細長比不應超過7；為得到好的應力結果，細長比不超過3.內角不應大于150小于30度）③節點的編號（相鄰節點的號碼差值盡可能的小，一邊縮小剛度矩陣的帶寬，節約計算機的存儲）。?平面問題的幾何方程:服如<>■十元平面應力物理方程:x=EQ?平面問題的幾何方程:服如<>■十元平面應力物理方程:x=EQri=2(1+p)T

xy E—xy彈性矩陣:[D]=b=[D]8?彈性力學問題的有限元法主要步驟：離散化(離散后才能使結構變成有限個單元的綜合體)---單元分析---整體分析?連續彈性體離散化：將連續體劃分為有限個互不重疊、互不分離的三角形單元，這些三角形在其頂點處互相鉸接。?離散化的注意事項：①對稱性的利用(單軸對稱減少二分之一，雙軸對稱減少四分之一)②節點的選擇和單元的劃分(節點選?。和ǔ＜休d荷的作用點、分布載荷強度的突破點，分布載荷與分布載荷與自由?單元分析的主要任務：推導基本未知量單元節點位移哥與其對應量單元節點力】'之間的轉換關系。?單元分析的步驟：?位移模式：將結構離散為許多小單元的集合體，用較簡單的函數來描述單元內各點位移的變化規律。可影響有限元法的計算精度和收斂性。錯誤!未找到引用源。，N為形函數矩陣1,y），節點為。，v），U,v），

mm iijjU,Vm）。將它們代入式（2—6），1,y），節點為。，v），U,v），

mm iijjU,Vm）。將它們代入式（2—6），有聯立求解上述公式左邊的3個方程，可以求出待定系數％%a為式中，A為三角形單元i,j,m的面積要注意的是，為了使得出的面積的值不為負值，節點i,j,m的次序必須是逆時針轉向至于將那個節點作為起始節點i，則沒有關系。整理后:u=我+he+礎）陽+（%.+b.r t+虹工4f）叭］i>—上-—-（u,■乩，+“3*：+怎e+土/+同理可得 二］M一/:斗—5.=3'.一一總 。，八冶.）式中=一.「，+?咨令W,.令W,.如+—?,?形函數的性質（1）形函數是坐標G,y）的線性函數。（2）形函數N在節點i處等于1,在其他節點上的i值等于0；對于N/.也有同樣的表達式。單元內任一點的三個形函數之和恒等于1，即jw—N上—N而品.?門，.—— 1（3）單元內任意一點G,y）有（4） 在三角形單元邊界〃?上一點G,y），有形函數公式一七".（5）— A',（.!：hV）— —X*'心H。、■i;—.1, 」J—1.…，一' _,INd心-4E-!V77,…（5） 形函數N在單元上的面積分和邊界上i的線積分為3八-ij為長度。i位移函數所要滿足的條件：①位移函數必須能反映單元的剛體位移②位移函數必須能反應單元的常量應變③位移函數應盡可能反應位移的連續性（完備單元：滿足①②；協調單元：滿足③；完備而非連續單元：滿足①②不滿足③）常應變三角形單元：當單元確定后。矩陣B是常量，單元中任一點的應變分量也是常量的單元。有限元法的任務：建立和求解整個彈性體的節點位移和節點力之間的關系的平衡方程。單元剛度矩陣：表達了單元節點位移與節點力之間的轉換關系。單元剛度矩陣的性質：①單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義②Ke是對稱矩陣③Ke的每一行或每一列元素之和為零，因此Ke為奇異矩陣④Ke不隨單元的平行移動或作nn角度的轉動而改變。剛度集成法集成規律：①先對每個單元求出其單元剛度矩陣Ke,而且以分塊形式按節點編號順序排列②將單元剛度矩陣擴大階數為2n*2n,并將單元剛度矩陣中的子塊按局部碼與總碼的對應關系，搬到擴大后的矩陣中，形成單元貢獻矩陣Ke。③將所有單元貢獻矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣K。?整體剛度矩陣的性質：①整體剛度矩陣是對稱矩陣②整體剛度矩陣中每一元素的物理意義：整體剛度矩陣的第一列元素代表使第一個節點在x方向有一單元位移，而其余節點位移皆為零時必須在節點上施加的里。對于K的其余各列也有類似意義③整體剛度矩陣K的主對角線上的元素總是正的④整體剛度矩陣K是一個稀疏陣⑤整體剛度矩陣K是一個奇異陣。?半帶寬：在半個斜帶形區域中，每行具有的元素個數。?帶形矩陣：整體剛度矩陣K的非零元素分布在以主對角線為中心的斜帶形區域內的矩陣。?半帶存儲：利用帶形矩陣的特點，并利用矩陣的對稱性，則在計算機中可以只存儲上半帶的元素的存儲方法。引用已知節點位移的方法：化1置0法、乘大數法?由計算結果推出彈性體內某一點接近實際的應力值的方法：繞節點平均法、兩單元平均法。注意事項：①相連單元間的應力連續性只有當相連單元具有相同厚度和材料時才存在，平均法才有意義②位于結構邊界或介質間斷線上的應力點是無法用兩單元平均法得到應力值的，若用繞節點平均法也因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改用內部應力點外推的辦法去求它的近似值。?有限元法的具體解題過程：①將結構進行離散化，包括單元劃分、節點編號、單元編號、節點坐標計算、位移約束條件的確定②等效節點力的計算③剛度矩陣的計算④建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節點位移⑤應力計算。?平面問題幾何方程：錯誤!未找到引用源。例2-1如圖2.6所示平面應力情形的直角三角形單元i,j,m，直角邊長均為a,厚度為t，彈性模量為E，泊松比為H=0.3，求單元剛度矩陣。-L⑵求D。：J- 1!T. Io 產砂-, Et"=如世）r'成的r三本題屬于平面應力問題，k的系數為單元貢獻矩陣32Vi注意這兒的單元的上標代表單元的號碼。對于單元②，i,j,m對應的節點總剛度矩陣為剛度矩陣后，再形成載荷列陣，即可得整體剛度方程，經約束處理后就可求解節點位移。單元貢獻矩陣載荷列陣為"二F位移列陣為“?形成整體平衡方程'7形成整體平衡方程'7—3—41T0-32—4一4j也%：=V2二-4一4—12；n.:-3:■:嗎邊-1-2 -12o:0—32：■-413-位移約束條件為U1=V1=u4=v4=0（見圖2.13b），將此