第四十二講拋物線回歸課本1.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.2.拋物線的標準方程和幾何意義考點陪練1.(2010·湖南)設拋物線y2=8x上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4 B.6C.8 D.12解析:由拋物線的方程得 再根據拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6,故選B.答案:B解析:如圖,由直線的斜率為得∠AFH=60°,∠FAH=30°,∴∠PAF=60°.又由拋物線的定義知|PA|=|PF|,∴△PAF為等邊三角形,由|HF|=4得|AF|=8,∴|PF|=8.答案:B3.(2010·陜西)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為()

解析:由已知,可知拋物線的準線與圓(x-3)2+y2=16相切.圓心為(3,0),半徑為4,圓心到準線的距離 解得p=2.故選C.答案:C4.若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P的軌跡方程為( )A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y解析:由題意知,P到F(0,2)的距離比它到y+4=0的距離小2,因此P到F(0,2)的距離與到直線y+2=0的距離相等,故P的軌跡是以F為焦點,y=-2為準線的拋物線,所以P的軌跡方程為x2=8y.答案:C答案:A類型一 拋物線的定義解題準備:利用拋物線定義可將拋物線上的點到拋物線的焦點和準線的距離相互轉化.例如若點P0(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的任一點,則該點到拋物線的焦點F的距離 (焦半徑公式),這一公式的直接運用會為我們求解有關到焦點或準線的距離的問題帶來方便.在求過焦點的一弦長時,經常將其轉化為兩端點到準線的距離之和,再用根與系數關系求解,有時也把點到準線的距離轉化為點到焦點的距離進行求解.【典例1】(1)在拋物線y2=4x上找一點M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點的坐標及此時的最小值.(2)已知拋物線y2=2x和定點拋物線上有動點P,P到點A的距離為d1,P到拋物線準線的距離為d2,求d1+d2的最小值及此時P點的坐標.[解]要求最小值問題,可考慮拋物線的定義,通過定義轉化為“兩點之間線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結論. (1)如圖,點A在拋物線y2=4x的內部,由拋物線的定義可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|為M到拋物線的準線的距離.過A作拋物線的準線的垂線交拋物線于M1,垂足為B,則|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4(當且僅當點M在M1的位置時),此時M點的坐標為(1,2).

(2臣)如圖,點史在拋太物線y2=2閥x的外害部,由拋德物線播的定旬義可孔知,痰(其中F為拋你物線槐的焦跨點).此時P點的悠坐標企為(2扛,2遙).[反思涼感悟]熟練友掌握投和靈伍活運私用定略義是陪解題哨的關胸鍵.利用志拋物太線定緒義可祥將拋既物線喇上的棒點到燭拋物聰線的養焦點僻和準瓶線的鴉距離尺相互漸轉化.例如暖若點P0(x0,y0)是拋四物線y2=2舍px叼(p浮>0和)上的晃任一冊點,則該鑒點到濃拋物鳳線的塌焦點F的距反離(焦半葛徑公貫式),這一棋公式具的直匯接運盯用會麥為我刑們求東解有稅關到腥焦點呀或準敞線的晝距離震的問女題帶被來方索便.在求突過焦重點的篇一弦夠長時,經常厘將其嗽轉化排為兩花端點邀到準訓線的違距離巴之和,再用駝韋達滾定理挎求解,有時勺也把椒點到扒準線夢的距摩離轉掉化為享點到農焦點翼的距駐離進返行求眉解.類型允二慚求拋脈物線吵的方嚇程解題飾準備:求拋唐物線妄的標抖準方愈程常蠅用的晶方法侍是待貼定系腰數法.為避稿免開馬口方潤向不含確定替而設滴成多語種形纖式的償麻煩,可以擺將焦孩點在x軸上嶼的拋藥物線光的標然準方屋程統桌一設凱為y2=a計x(蝦a≠誓0)濾;焦點瘋在y軸上從的拋糖物線睜的標法準方健程統項一設芳為x2=a古y(廉a≠塑0)籌.【典例2】求下盜列各本拋物番線的由方程:(1欲)頂點擺在坐場標原災點,對稱頸軸為巴坐標更軸,且經本過點M(升-2給,-陣4)烘;(2慎)頂點獨在坐略標原千點,焦點臣在y軸上,拋物泛線上青一點Q(認m,培-3枯)到焦短點的軋距離榆等于5.[解](吩1)設拋虎物線白為y2=mx或x2=ny,則(-速4)2=m依(-溉2)?m=慈-8或(-姻2)2=n退(-罩4)?n=鉛-1玻.∴所求艇的拋練物線工方程堤為y2=-枕8x或x2=-唉y.(2紀)依題憶意,拋物雖線開盆口向彼下,故設艙其方糊程為x2=-映2p釀y.則準拆線方扮程為敬又爭設焦稠點為F,則故拋早物線悟方程律為x2=-梯8y加.[反思犬感悟]這里辟易犯江的錯除誤就口是缺按乏對祖開口靜方向嶺的討猴論,先入耳為主,設定艘一種礎形式往的標降準方擱程后猶求解,以致殲失去億另一秀解.類型蜻三癥拋物疏線的基幾何什性質解題耀準備:1捧.以拋綿物線滿的標鴨準方份程y2=2僻px稅(p番>0蔥)為例,有如慎下幾杏何性鈴質:①范圍:拋物誦線y2=2熱px北(p竿>0裁)開口率向右,且向躲右上潮方和描右下忙方無隆限延原伸;②拋物吉線只替有一擠條對內稱軸x軸,沒有夕對稱標中心;③頂點:拋物右線和扯它的常軸的某交點徐叫做削拋物昌線的詢頂點,即坐梨標原升點.頂點乖是焦皂點向染準線處所作邁垂線壁段的悔中點;④離心膊率:拋物辰線上文的點M與焦想點的催距離擇和它撫到準將線的勻距離向的比,叫拋陰物線約的離嬌心率,e恢=1李.2.拋物鬼線的競每一魂條過笑焦點畜的弦丸被焦紋點分段成兩甚段焦抄半徑,由焦股半徑劈燕公式鵲可推架出拋嚇物線蓋的焦銜點弦顆長公栗式:設過堪拋物纖線y2=2橋px虧(p持>0冤)的焦表點F的弦妥為AB但,設A(孩x1,y1),籃B(俗x2,y2),則弦鳳長|A任B|谷=|巧AF1|+盞|B快F1|=晴x1+x2+p滾.特別脈地,當弦AB與拋鐘物線畢的對蜻稱軸繡垂直病時,這條胞弦稱裝為通渣徑,其長音度為2p萍.[分析]考查線拋物任線的爹過焦歷點的禍弦的組性質.將拋雅物線犬的焦影點弦軟的方艷程設態出,代入挨拋物剪線方層程,利用感韋達撲定理韻等解扭決問搖題.類型厲四萄直線深與拋沾物線侵的位茶置關勵系解題保準備:直線血和拋活物線伏的位評置關雁系,可通般過直逐線方嗚程與沸拋物窯線方恢程組備成的碼方程眠組實離數解簡的個洞數來吩確定,同時灶注意深過焦舉點的崗弦的簡一些俗性質,如:弦長l=呢x1+x2+p勞.(2遵)當直旋線l的斜盤率不觸存在配時,x銳=8與拋爽物線登沒有提交點,不合電題意.當直贈線l的斜裁率存零在時,設直戀線l的斜線率為k,則l:另y=k范(x順-8慢).設M(美x1,y1),梨N(嘗x2,y2),即x1x2+x1+x2+1覺+k2(x1-8米)(向x2-8幟)=革97玻,∴(坦1+案k2)x1x2+(趨1-衰8k2)(馳x1+x2)+輝1+浴64夕k2=9晉7,拐②將y=禾k(害x-林8)代入y2=-變4x得k2x2+(嫌4-淺16蔑k2)x蕉+6治4k2=0歲,∴代入纖②式宴得:6誰4(慰1+依k2)+疏(1菜-8努k2)整理押得∴l的方購程為:即x-戚2y欠-8蓮=0或x+怕2y絮-8聽=0獸.錯源賭一襪對疼拋物伙線的翼定義捧理解袍不透似而致脖錯【典例1】若動虹點M到定責點F(籃1,其0)的距渾離等午于它競到定喂直線l:廊x-脈1=荒0距離,則動泰點M的軌謠跡是(套)A.拋物俊線B.直線C.圓D.橢圓[錯解]由拋勞物線雨的定歇義知厚動點M的軌定跡是鎮拋物窮線,故選A.[剖析]拋物直線的膠定義娃中隱克含一議個條靜件“許定點F不在側定直押線l上”.若“吵定點F在定變直線l上”,那么乖動點努的軌建跡就督不再叉是拋閥物線,而是梢過定墊點F且與距定直以線l垂直敢的直哨線.[正解]因定療點F(止1,湊0)在定真直線l:都x-栽1=深0上,故動模點M的軌襖跡是城直線,應選B.[答案]B錯源棄二墾對拋呀物線妄的標均準方睛程認室識不敏清而色致誤[答案]C錯源摧三炊對問款題考屢慮不隔全面裝而致希錯【典例3】過點M(襪1,春-2第)的拋脅物線貍的標撫準方川程為__郵__評__含__.[錯解]設拋活物線遺方程好為y2=2釀px質,把點M(掩1,載-2些)的坐糾標代嗓入得2p秩=4弦,故拋見物線虜的標扭準方殺程為y2=4歲x.[剖析]上面豬的解棋法漏然掉了蕩拋物偷線的武焦點懂還可客以在y軸的曲負半仍軸上萬的情嫩形.[正解]當拋協物線庸的焦莖點在x軸上致時,設方諸程為y2=m點x(動m≠爆0)幅,把點M(匠1,而-2盾)的坐伶標代稍入得m=鴨4,故拋萬物線位的標蓄準方溉程為y2=4飯x;當拋朝物線旦的焦幸點在y軸上垂時,設方仗程為x2=n魂y(終n≠類0)矛,把點M(遠1,悉-2夕)的坐蟻標代缸入得腰故容拋物槳線的她標準紗方程硬為故應慢填y2=4輩x和[答案]錯源宰四對述直線雕與拋松物線偏只有儉一個案公共社點認創識不基清【典例4】求過睜點(0腥,1似)且與仙拋物掏線y2=2儲x只有度一個諷公共奴點的霜直線l的方捏程.[剖析]事實探上,上述敲解法仙只考筋慮了才直線l的斜恐率存震在且顯不為0時解貧的情呼形,而忽樓視了k不存坡在以四及直挺線l平行育于拋秀物線享對稱良軸這疫兩種做情形.[正解](筍1)當直跟線l的斜融率為0時,則l:量y=1奔,此時l平行翠于拋睛物線決的對紗稱軸,且于查拋物盜線只透有一既個公郊共點(2頸)當直養線l的斜趴率k≠權0時,同錯欺解.(3挑)當k不存夫在時,則l:蜻x=0與拋粉物線y2=2沖x相切景于點(0辰,0充).綜上忌可知,所求船直線l的方防程為:技法丈一中拋物倉線中的過定病點直揀線的棋性質【典例1】已知私拋物是線y2=2骨px趨(p倍>0列),過(2偶p,拜0)作直牧線交仗拋物余線于鈔兩點,請寫冠出你溪所能濃得出醫的不肝同結公論.[分析]設直我線與瀉拋物竄線交挎于A?柿B兩點,有以怎下結逝論:結論1:蝴OA碗⊥O稼B.[證明]設P(傻2p遼,0苗),當AB不垂斤直于x軸時,△綢OP疑M為直傘角三肢角形,M在以OP為直徹徑的晚圓周壟上,方程咬為(x書-p小)2+y2=p2.當AB饑⊥x軸時,M點與P點重償合,滿足翁上述匙方程.所以,M點軌類跡方霜程為(x滋-p梨)2+y2=p2(除(0蔥,0蘇)點外).結論1和結桿論3所對懼應命扣題的遷逆命墨題也族成立,不妨童證明糟之.[思考]若將神定點(2僅p,塞0)改為(p絮,0滴)或(3鋼