2022-2023學年福建省福州市福清市高中聯合體高一下學期期中考試數學試題一、單選題1．復數的虛部是（

）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】根據復數的概念可得結果.【詳解】復數的虛部為.故選：B.2．下列結論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等【答案】B【分析】根據平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；由于與方向相反，長度相等，故B正確；因為零向量的模為0，故C錯誤；與線段的長度相等，故D錯誤．故選：B．3．復數的共軛復數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用共軛復數的概念判斷.【詳解】復數的共軛復數是，故B，C，D錯誤.故選：A.4．若，，與的夾角為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量的數量積的定義計算即可.【詳解】因為，，與的夾角為，所以.故選：C.5．已知，，分別為三個內角，，的對邊，且，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用面積公式計算可得.【詳解】因為，，，所以.故選：D6．為了得到函數的圖象，只要把函數上所有的點（

）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】C【分析】利用三角函數圖象的相位變換求解.【詳解】對于A，函數上所有的點向左平行移動個單位長度，得到，故A錯誤；對于B，函數上所有的點向右平行移動個單位長度，得到，故B錯誤；對于C，函數上所有的點向左平行移動個單位長度，得到，故C正確；對于D，函數上所有的點向右平行移動個單位長度，得到，故D錯誤.故選：C.7．已知向量，，若，則m的值為（

）A．或2 B．或3 C．或3 D．或4【答案】A【分析】根據向量垂直的坐標公式計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得或.故選：A.8．已知分別為三個內角的對邊，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，又因為，由余弦定理得，又因為，所以.故選：C.二、多選題9．設，復數，則下列說法正確的是（

）A．若是實數，則 B．若是虛數，則C．當時，的模為 D．當時，在復平面上對應的點為【答案】AC【分析】根據復數的概念判斷A、B，根據復數的模判斷C，根據復數的幾何意義判斷D.【詳解】因為，，對于A：若是實數，則，解得，故A正確；對于B：若是虛數，則，解得，故B錯誤；對于C：當時，所以，故C正確；對于D：當時，在復平面上對應的點為，故D錯誤；故選：AC10．設向量，，則（

）A． B．與的夾角為C．與共線 D．【答案】AD【分析】利用向量運算的坐標表示、向量模長、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標形式計算求解.【詳解】因為，，所以，，故A正確；因為，，所以，因為兩向量夾角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯誤；因為，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯誤，D正確.故選：AD.11．如圖所示，一個質點在半徑為2的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每3s轉一圈.則該質點到x軸的距離關于時間t的函數記為.下列說法正確的是（

）A． B．C．的周期為 D．的周期為3【答案】AC【分析】根據角速度的概念、任意角的三角函數定義以及三角函數的周期公式計算.【詳解】由題可知，質點的角速度為，因為點P為起始點，沿逆時針方向運動，設經過時間之后所成角為，則，根據任意角的三角函數定義有：，所以該質點到x軸的距離為，故A正確，B錯誤；因為，所以的周期為，故C正確，D錯誤.故選：AC.12．已知向量，，（），則下列命題正確的是（

）A．若，則B．存在，使得C．與共線的單位向量只有一個為D．若在上的投影向量為，則向量與夾角為【答案】ABD【分析】根據向量垂直的坐標公式即可判斷A；根據結合數量積的運算律求出，即可判斷B；根據單位向量的定義判斷C；根據投影向量的定義求出，再根據向量夾角的公式即判斷D.【詳解】對于A，若，則，，，故A正確；對于B，由，，得，，若，則，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正確；對于C，與共線的單位向量為，故為或，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，所以，則，又因為，所以，即向量與夾角為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知復數滿足，則__________．【答案】.【分析】在等式兩邊同時除以，再利用復數的除法法則可得出復數.【詳解】，，故答案為.【點睛】本題考查復數的除法，解題的關鍵就是從等式中得出的表達式，再結合復數的四則運算律得出結果.14．已知與不共線，是一組基底，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】由是一組基底，可得兩個向量不共線，利用平面向量共線定理結合平面向量基本定理求出時的值，即可得解.【詳解】當時，則存在唯一實數，使得，所以，解得，因為是一組基底，所以兩個向量不共線，所以.故答案為：.15．一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/小時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為_______海里.【答案】4【分析】先結合條件找出已知角及線段長，然后結合余弦定理即可直接求解．【詳解】設輪船的初始位置為A，20分鐘后輪船位置為B，燈塔位置為C，如圖所示由題意得，，，，由余弦定理得，即，解得．則燈塔與輪船原來的距離為4海里故答案為：4．16．將函數的圖象沿x軸向左平行移動個單位長度后，得到關于原點對稱的圖象，請寫出一個符合題意的，則______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據三角函數的圖象變換求得，因為的圖象關于原點對稱，得到，列出方程，即可求解.【詳解】將函數的圖象沿x軸向左平行移動個單位長度后，得到函數，因為的圖象關于原點對稱，可得，即，解得，即，所以符合題意的可以是.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題17．已知復數，，且是純虛數.(1)求；(2)設復數，在復平面上對應的點為，，若四邊形是復平面內的平行四邊形，求點對應的復數.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據復數代數形式的乘法運算化簡復數，即可得到方程（不等式）組，即可求出的值，從而求出復數，再求出，即可求模；（2）首先表示出、的坐標，依題意可得，即可求出點坐標，從而求出其對應的復數.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為是純虛數，所以，解得，所以，則，所以.（2）復數，在復平面上對應的點為，，則，因為四邊形是復平面內的平行四邊形，所以，所以，則點對應的復數為.18．已知，，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接展開，代入即可求解；（2）先分別求出，再直接代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以；（2），，所以，即向量與夾角的余弦值為.19．已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且.(1)求角A；(2)若，，求b，c的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡求解即可；（2）先利用正弦定理找到邊的關系，然后根據條件利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，，顯然，所以有，得，又，所以；（2）因為，由正弦定理可知，由余弦定理可得，，即，解得，所以.20．某同學用“五點法”畫函數在一個周期內的簡圖時，列表并填入了部分數據，如下表：(1)請將上表數據補充完整，并求出函數的解析式；(2)將函數的圖象橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變可得函數的圖象.求函數在區間的最大值以及取得最大值時的集合.【答案】(1)表格數據見解析，(2)答案見解析【分析】（1）根據表格中的數據可得出關于、、的方程組，可解得這三個參數的值，即可得出函數的解析式，金額可完善表格中的數據；（2）根據三角函數圖象變換可得出函數的解析式，由可求得的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求得的最大值及其對應的的取值集合.【詳解】（1）解：由表格中的數據可得，解得，所以，.表格數據如下表：（2）解：將函數的圖象橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變可得函數的圖象，則，當時，則，當時，即當時，函數取最大值，且，所以，函數在區間取最大值時的的取值集合為.21．如圖所示，在中，點D是邊BC的中點，點E是線段AD靠近A的三等分點.過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q.設，，其中，.(1)試用與表示，；(2)求證：為定值，并求此定值.【答案】(1)，.(2)證明見解析；定值為.【分析】（1）根據向量的平行四邊形法則和三角形法則，即可求解；（2）由題意求得，結合三點共線，得到，即可求解.【詳解】（1）解：因為點為的中點，由向量的平行四邊形法則，可得，在中，由向量的三角形法則，可得.（2）證明：在中，點為的中點，且點為靠近的三等分點，且所以,因為三點共線，所以，解得，即為定值.22．已知函數的圖象如圖所示，點B，D，F為與x軸的交點，