2020-2021重慶備戰中考數學壓軸題專題初中數學旋轉的經典綜合題一、旋轉.⑴發現：如圖1,點4為線段8c外一動點，且BC=a,AB=b.填空：當點A位于時，線段4c的長取得最大值，且最大值為(用含。，b的式子表示)(2)應用：點4為線段8c外一動點，且BC=4,AB=1,如圖2所示，分別以八8,AC為邊，作等邊三角形4BD和等邊三角形4CE,連接CD,BE.①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由：②直接寫出線段8E長的最大值.⑶拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點八的坐標為(2,0),點8的坐標為(6,0),點P為線段八8外一動點，且以=2,PM=PB,Z8PM=90%請直接寫出線段4M長的最大值及此時點P的坐標.【答案】⑴CB的延長線上，a+b；(2)①CD=8E,理由見解析：②8E長的最大值為5；(3)滿足條件的點P坐標(2- )或(2- ，-后，AM的最大值為2JI+4.【解析】【分析】(1)根據點4位于CB的延長線上時，線段4c的長取得最大值，即可得到結論；(2)①根據已知條件易證△△)8,根據全等三角形的性質即可得CD=8E：②由于線段8E長的最大值=線段8的最大值，根據(1)中的結論即可得到結果：(3)連接8M,將△APM繞著點P順時針旋轉90。得到△P8N,連接4N,得到△AP/V是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=%=2,BN=AM,根據當N在線段BA的延長線時，線段8N取得最大值，即可得到最大值為20+4；如圖2,過P作PE_Lx軸于￡根據等腰直角三角形的性質即可求得點P的坐標.如圖3中，根據對稱性可知當點P在第四象限時也滿足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標.【詳解】⑴點八為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,???當點八位于CB的延長線上時，線段4c的長取得最大值，且最大值為BC+4B=a+b,故答案為CB的延長線上，a+b；(2)①CD=8E,理由：???△A8D與△ACE是等邊三角形，/.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=6O°fZBAD+ZBAC=ZCAE+4BAC,即NCAD=AEAB,

AD=AB在^CAD與4E4B中，＜ZCAD=ZEAB,[AC=AE「?△CAD^△EAB(SAS)9??.CD=BE；0V線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點。在CB的延長線上,???最大值為8D+BC=4B+BC=5；⑶如圖1,???將△APM繞著點P順時針旋轉90。得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形，：.PN=PA=2,BN=AM,:A的坐標為(2,0),點8的坐標為(6,0),/.04=2,08=6,「?tAB=4,??線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值=48+4N,/AN=OaP=2應，「?最大值為2 +4；如圖2,過過P作PE_Lx軸于E,???△APN是等腰直角三角形,PE=AE=72，「?OE=8O-A8-AE=6-4-=2「?OE=8O-A8-AE=6-4-=2「.P(2-「.P(2-①，①)?根據對稱性可知當點P在第四象限時，P（2-戊，-&）時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點P坐標（2-屈，立）或（2- ,-?，AM的最大值為2應+4.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，最大值問題，旋轉的性質.正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.2.平面上，R3ABC與直徑為CE的半圓。如圖1擺放，ZB=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圓。交BC邊于點D,將半圓0繞點C按逆時針方向旋轉，點D隨半圓0旋轉且ZECD始終等于/ACB,旋轉角記為a（0*心180。）BE0(1)D圖1當a=0BE0(1)D圖1當a=0。時，連接DE,則NCDE=音用圖°,CD=試判斷：旋轉過程中空的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明：AE(3)若m=10,n=8,當a=NACB時，求線段BD的長；(3)若m=6,n=4j%,當半圓。旋轉至與△ABC的邊相切時，直接寫出線段BD的長.【答案】(1)90。，2；(2)無變化：(4)BD=2M或^

2 5 3【答案】【解析】試題分析：（1）①根據直徑的性質，由DEII48得工2=￡與即可解決問題.②求出CBCA8D、4E即可解決問題.

(2)只要證明△ACE?△BCD即可.(3)求出AB、AE,利用△4CE~△8CD即可解決問題.(4)分類討論：①如圖5中，當a=90。時，半圓與4c相切，②如圖6中，當a=9(T+N4CB時，半圓與BC相切，分別求出8。即可.試題解析：(1)解：①如圖1中，當a=0時，連接0E,則CECD1 1 …ZCDE=9Q\'/ZCDE=NB=90。，「.DEWAB,：.——=——=-.=BC=n9：.CD=-n.故答ACCB2 2案為90。，-n.2②如圖2中，當a=180。時，BD=BC+CD=-n,AE=AC^CE=-m,.二迫=4■.故答案為2 2AEmCDBCn(2)如圖3中,?/ZACB^ADCE,：.Z>4CE=ZBCD. ——(2)如圖3中,CEACmBDBCnBDBCn(3)如圖4中，當a=N4CB時.在R3A8c中，「八。1。，8c=8,:AB=[AC2-BC?=6.在RS4BE中，TABV，BE=B—CE=3,二小Jab2+BE?二小Jab2+BE?=&2+32=35由(2)可知△Ad8CD，BDBC.布一就‘BD8,.BD=吆旦.故答案為應E.(4)?.?m=6,n=4日：.CE=3,CD=2&,AB=在解_BC?=2,①如圖5中，當a=90。時，半圓與4c相切.在R3O8C中，8D=4BC2+CD?="(48+ =25?②如圖6中，當a=90°+N4C8時，半圓與8c相切，作EM_LA8于M..「NM=NCBM=NBCE=90。，???四邊形8CEM是矩形，??.8加=七。=3,ME=4yfI，AM=5,AE=Jam2+ME2=V57,由(2)可知絲二辿，BD=2y^.AE3 3故答案為2M或"IM.點睛：本題考查了圓的有關知識，相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，正確畫出圖形是解決問題的關鍵，學會分類討論的思想，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題.3.（探索發現）如圖，AA5C是等邊三角形，點。為8c邊上一個動點，將AACD繞點A逆時針旋轉60。得到八4￡尸，連接CE.小明在探索這個問題時發現四邊形A5CE?是菱形.（2）直接寫出線段CO,CF,AC之間的數量關系：：（理解運用）如圖，在AA6C中，AO_L6C于點。.將AASO繞點A逆時針旋轉90。得到AAEF，延長FE與BC,交于點G.（3）判斷四邊形ADG尸的形狀，并說明理由；（拓展遷移）（4）在（3）的前提下，如圖，將AAfE沿AE折疊得到連接M8,若AD=6,BD=2,求MB的長.A【答案】（1）詳見解析；（2）C0+C/=AC：（3）四邊形AOG尸是正方形；（4）2店【解析】【分析】（1）根據旋轉得：4ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE,則四邊形ABCE是菱形：（2）先證明C、F、E在同一直線上，再證明△BAD2△CAF（SAS）,則NADB=NAFC,BD=CF,可得AC=CF+CD；（3）先根據NADC=NDAF=NF=90。，證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；（4）證明△BAM里△EAD（SAS）,根據BM=DE及勾股定理可得結論.【詳解】（1）證明：AA6C是等邊三角形，AB=BC=AC.AACD繞點A逆時針旋轉60。得到A4E尸，CAE=60°,AC=AE.?.AACE是等邊三角形./.AC=AE=CE.AB=BC=CE=AE.??四邊形A6CE是菱形.（2）線段。C,CF,AC之間的數量關系：CD+CF=AC.（3）四邊形ADG廠是正方形.理由如下：??H/A460繞點A逆時針旋轉90。得到A4EF,aAF=AD^ZDAF=90°.ADIBCtZADC=ZDAF=ZF=90°.??四邊形A3G尸是矩形.AF=AD^??四邊形A3G尸是正方形.（4）如圖,連接￡）及??四邊形A3G廠是正方形，DG=FG=AD=AF=6.AABD繞點A逆時針旋轉90°得到AAEF，aZBAD=ZEAF,BD=EF=2,..EG=FG-EF=6-2=4..??將AAFE沿AE折疊得到，ZMAE=ZFAE>AF=AM.ZBAD=ZEAM.??ZBAD+ZDAM=ZEAM+ZDAM,即=vAF=AD^AM=AD.AM=AD在AZMM和AMD中，ABXM=ZDAE,AB=AEABAM=AEAD（SAS）.BM=DE=y/EG2+DG2=^+62=2>/l3-【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質，依據圖形的性質進行計算求解.4.己知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6,點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60。得到△BCE,連接DE.（1）如圖1，猜想：ACDE的形狀是三角形.（2）請證明（1）中的猜想（3）設OD=m,①當6VmV10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由.②是否存在m的值，使ADEB是直角三角形，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.c【答案】（1）等邊；（2）詳見解析；（3）①2JJ+4：②當m=2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.【解析】【分析】（1）由旋轉的性質猜想結論；（2）由旋轉的性質得到NOCE=60。，DC=EC,即可得到結論：（3）①當6VmV10時，由旋轉的性質得到8E=4D,于是得到Gdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據等邊三角形的性質得到DE=CD,由垂線段最短得到當CD_L48時，ABDE的周長最小，于是得到結論：②存在，分四種情況討論：a）當點。與點8重合時，D,B,E不能構成三角形；6）當04mV6時，由旋轉的性質得到N48E=60。，N8OEV60。，求得N8ED=90。，根據等邊三角形的性質得到NOE8=60。，求得NCEB=30。，求得0。=。4-D4=6-4=2=m：c）當6VmV10時，此時不存在；d）當m>10時，由旋轉的性質得到NOBE=60。，求得NBOE>60。，于是得到m=14.【詳解】（1）等邊；.?,將AACD繞點C逆時專卜方向旋轉60°得至8CE,ZDCE=60°,DC=EC,；.△CDE是等邊三角形.（3）①存在，當6VtV10時，由旋轉的性質得：BE=AD,二品dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，△CDE是等邊三角形，OE=CD,..Cdbe=CD+4,由垂線段最短可知，當CD_LA8時，^BDE的周長最小，此時，CD=2不，△8OE的最小周長=8+4=2退+4：②存在，分四種情況討論：a）???當點。與點8重合時，D,B,E不能構成三角形，.??當點。與點8重合時，不符合題意；b）當04mV6時，由旋轉可知，ZABE=60°,ZBDE<60°,/.ZBED=90°,由（1）可知，△CDE是等邊三角形，「.ZDEB=60°,：.ZCEB=30°.NCE8=NCD4N84=30°.,/ZCAB=60\：.AACD=AADC=30°, DA=CA=4,：.OD=OA-DA=6-4=2,：.m=2-cc）當6VmV10時,由NDBE=12（T>90。，.,.此時不存在;d）當m>10時，由旋轉的性質可知，ZDBE=60\又由（1）知NCDE=60。，；./BDE=/CDE+/BDC=60~BDC,而N8DOO。，「.N8DE>60。，.,.只能N8OE=90。，從而NBCD=30°,BD=BC=4,/.OD=14,/.m=14.綜上所述：當m=2或14時，以D、E、8為頂點的三角形是直角三角形.【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形周長的計算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.5.如圖1,在RSADE中，NDAE=90。，C是邊AE上任意一點（點C與點A、E不重合），以AC為一直角邊在ADE的外部作RSABC,NBAC=90。，連接BE、CD.（1）在圖1中，若AC=AB,AE=AD,現將圖1中的RtAADE繞著點A順時針旋轉銳角a,得到圖2,那么線段BE.CD之間有怎樣的關系，寫出結論，并說明理由；（2）在圖1中，若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,將圖1中的RtAADE繞著點A順時針旋轉銳角a，得到圖3,連接BD、CE.①求證：△ABE?&ACD；②計算：BD2+CE2的值.【答案】（1）BE=CD,BE±CD,理由見角；（2）①證明見解析；②BD2+CE2=170.【解析】【分析】（1）結論：BE=CD,BE±CD-,只要證明△BA叁△CAD,即可解決問題；（2）①根據兩邊成比例夾角相等即可證明AABEs△ACD.②由①得到NAEBNQM.再根據等量代換得到NDGE=90。，即0G_LBE,根據勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根據勾股定理計算.【詳解】

(1)結論：BE=CD,BE±CD.理由：設8E與AC的交點為點F,8E與CD的交點為點G,如圖2.,/ZCAB=Z.EAD=9Q\ZCAD=4BAE.,/ZCAB=Z.EAD=9Q\AB=AC在^CAD和^BAE中，丁/BAE=ACAD，.二△CAD^△BAE,，CD=BE,AE=ADZACD=4ABE./ZBFA=ZCFG,ZBFA+NA8F=90。,/.ZCFG+NACD=90\：.ZCGF=90°,/.BE±CD.（2）①設AE與CD于點F,8E與DC的延長線交于點G,如圖3./ZCABB=AEAD=90\：.ZCAD=ABAE.AEAD/CA=3,48=5,AD=6,AE=109/.——=——=2,：.△ABE-△ACD；ABAC②：&ABE-△ACD.：.ZAEB=ZCDA.??4AFD必EFG,NAFD+NCD4=90。,/.ZEFG+ZAEB=90\：.ZDGE=9Q\：.DG±BE,「?ZAGD=ABGD=90°,/.C￡2=CG2+EG2,BD2=BG2WG29：.BD2+CE2=CG2^-EG2^BG2WG2.,/CG2+BG2=CB2,EG^DG^ED1,：.【點睛】D【點睛】D本題是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合運用，運用類比，在變化中發現規律是解決問題的關鍵.6.如圖，正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接AE,將線段AE繞點A逆時針旋轉90。，得到AF,連接EF,交對角線BD于點G,連接AG.（1）根據題意補全圖形；（2）判定AG與EF的位置關系并證明；（3）當AB=3,BE=2時,求線段BG的長.【答案】⑴見解析;（2）見解析;⑶述.2【解析】【分析】（1）根據題意補全圖形即可；（2）先判斷出△ADF2△ABE,進而判斷出點C,D,F共線，即可判斷出△DFG2&HEG,得出FG=EG,即可得出結論;（3）先求出正方形的對角線BD,再求出BH,進而求出DH,即可得出HG,求和即可得出結論.【詳解】（1）補全圖形如圖所示，（2）連接DF,由旋轉知，AE=AF,ZEAF=90°,V四邊形ABCD是正方形，/.ABIICD,AD=AB,ZABC=ZADC=BAD=90°,/.ZDAF=ZBAE,「.aAD趨△ABE(SAS),DF=BE,ZADF=ZABC=90°,/.ZADF+ZADC=180°,.?.點C,D,F共線，「?CFIIAB,過點E作EHIIBC交BD于H,???ZBEH=ZBCD=90%DFIIEH,???ZDFG=ZHEG,VBD是正方形ABCD的對角線，??ZCBD=45°,??BE=EH,ZDGF=ZHGE,「?△DFG登△HEG（AAS）,「?FG=EG/AE=AF,AG±EF；（3）BD是正方形的對角線，BD=V2AB=372t由（2）知，在RSBEH中，BH=「?DG=BD-BH=72由（2）知，△DFG堊△HEG,「?DG=HG,1 屈：.HG=-DH=-^—,2 2BG=BH+HG=272.【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考杳了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，作出輔助線是解本題的關鍵.7.如圖1.在AABC中，N4CB=90。，點P為AABC內一點.（1）連接PB、PC,將△BCP沿射線G4方向平移，得到△D4E,點8、C、P的對應點分別為點D、4、E,連接CE.①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果8P_LCE,AB+BP=9,CE=3 ，求48的長.（2）如圖3,以點4為旋轉中心,將AABP順時針旋轉60。得到△AMN,連接以、PB、PC,當4C=4,A8=8時，根據此圖求％+PB+PC的最小值.【答案】⑴①見解析，②AB=6；（2）4/7.【解析】分析：（1）①根據題意補全圖形即可；②連接BD、CD.根據平移的性質和N4CB=90。，得到四邊形BC40是矩形，從而有CD=AB,設CD=48=X,則P8=DE=9-X,由勾股定理求解即可；（2）當C、P、M、N四點共線時，%+P8+PC最小.由旋轉的性質和勾股定理求解即可.詳解：（1）①補全圖形如圖所示；②如圖：連接BD、CD.???△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE,：.8CIIAD且BC=AD,PB=DE.VZ/ACB=90°,「?四邊形8GA。是矩形，CD=48,設CD=48=X,則P8=9—X,DE=BP=9-x,?/BP工CE,BPllDE,??.DE±CE.CE2+DE2=CD\(3/丁+(9—x=6,即48=6：(2)如圖，當C、P、M、N四點共線時，%+P8+PC最小.由旋轉可得：公AMN”APB,：.PB=MN.易得AAPM、△4B/V都是等邊三角形，以=pm,「?pa+pb^-pc=pm+mn+pc=cn,??.8N=A8=8,ZBNA=60q,ZPAM=6Qo9ZCAN=Z.CAB+Z.班川=600+60。=120°,ZCBN=9Q°.在RSA8C中，易得：BC7AB2-AC?二 -不=4G,「.在R38CN中，CNZbC+BN?=148+64=4"點睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解..在正方形ABCD中，連接BD.（1）如圖1，AE_LBD于E.直接寫出NBAE的度數.（2）如圖1,在（1）的條件下，將AAEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30。后得到△AB'E',AB'與BD交于M,AE'的延長線與BD交于N.①依題意補全圖1:②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數量關系，并證明.（3）如圖2,E、F是邊BC、CD上的點，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N,寫出判斷線段BM、DN、MN之間數量關系的思路.（不必寫出完【答案】（1）45。；（2）①補圖見解析：②BM、DN和MN之間的數量關系是BM2+MD2=MN2,證明見解析：（3）答案見解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性質即可；（2）依題意畫出如圖1所示的圖形，根據性質和正方形的性質，判斷線段的關系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；（3）利用ACEF周長是正方形ABCD周長的一半，判斷出EF=EG,再利用（2）證明即可.解：（1）?.?BD是正方形ABCD的對角線，??.NABD=NADB=45。，AE±BD,ZABE=ZBAE=45°,（2）①依題意補全圖形，如圖1所示,②BM、DN和MN之間的數量關系是BM2+MD2=MN2,將△AND繞點D順時針旋轉90。,得到△AFB.ZADB=ZFBA,ZBAF=ZDAN,DN=BF,AF=AN,;在正方形ABCD中，AE±BD,ZADB=ZABD=45°,ZFBM=ZFBA+ZABD=ZADB+ZABD=90%在RtABFM中，根據勾股定理得，FB2+BM2=FM2,;旋轉△ANE得至ljABiEi,???NE1ABi=45°,/.ZBABi+ZDAN=90°-45°=45°,??/BAF=DAN,/.ZBABi+ZBAF=45°,/.ZFAM=45°,/.ZFAM=ZE1AB1,「AM=AM,AF=AN,J△AFM2△ANM,JFM=MN,/FB2+BM2=FM2,???DN2+BM2=MN2,(3)如圖2,將^ADF繞點A順時針旋轉90。得到△ABG,??.DF=GB,/正方形ABCD的周長為4AB,ACEF周長為EF+EC+CF,J△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，??.4AB=2(EF+EC+CF),/.2AB=EF+EC+CF「EC=AB-BE,CF=AB-DF,「?2AB=EF+AB-BE+AB-DF,，EF=DF+BE,,/DF=GB,JEF=GB+BE=GE,由旋轉得至ljAD=AG=AB,??AM=AM,???△AEG絲△AEF,ZEAG=ZEAF=45°,和(2)的②一樣,得到dn2+bm2=mn2.“點睛”此題是四邊形綜合題，主要考杳了正方形的性質、旋轉的性質，三角形的全等，判斷出(△AFN2△ANM,得到FM=MM),是解題的關鍵..在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,將線段BC繞點B逆時針旋轉60。得到線段BD,再將線段BD平移到EF,使點E在AB上，點F在AC上.(1)如圖1,直接寫出NABD和NCFE的度數;(2)在圖1中證明：AE=CF；(3)如圖2,連接CE,判斷4CEF的形狀并加以證明.A□1 口2【答案】（1）15。，45。；（2）證明見解析；（3）4CEF是等腰直角三角形，證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的性質得到NABC的度數，由旋轉的性質得到/DBC的度數，從而得到NABD的度數；根據三角形外角性質即可求得NCFE的度數.（2）連接CD、DF,證明△BCD是等邊三角形，得到CD=BD,由平移的性質得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而ABHFD,證明△AEF2△FCD即可得AE=CF.（3）過點E作EG_LCF于G,根據含30度直角三角形的性質，垂直平分線的判定和性質即可證明△CEF是等腰直角三角形.（1）??,在AABC中,AB=AC,ZA=30°,/.ZABC=75°.???將線段BC繞點B逆時針旋轉60。得到線段BD,即/DBC=60°./.ZABD=15°./.ZCFE=ZA+ZABD=45°.（2）如圖，連接CD、DF..??線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD,BD=BC,NCBD=60。.「.△BCD是等邊三角形./.CD=BD.線段BD平移至ljEF,EFIIBD,EF=BD.???四邊形BDFE是平行四邊形，EF=CD.,/AB=AC,ZA=30°,AZABC=ZACB=75°./.ZABD=ZACD=15°.四邊形BDFE是平行四邊形，「.ABIIFD.AZA=ZCFD.AEF空△FCD（AAS）.(3)4CEF是等腰直角三角形，證明如下：如圖，過點E作EG_LCF于G,?/ZCFE=45。,ZFEG=45°./.EG=FG.1EG=^AE?/ZA=30°,ZAGE=90°,/. 當NBAD=45°時，求當NBAD=45°時，求D點的坐標；當點C在線段AB上時，求直線BD的關系式.7y=_*+4【答案】(1)5；(2)D(4,7)或(-4,1)；(3) 24【解析】試題分析：（1）先分別求得一次函數）=-：無+4的圖象與x軸、y軸的交點坐標，再根11EG=-CFFG=-CFVAE=CF,... 2.J.2...G為CF的中點.「.EG為CF的垂直平分線.「?EF=EC.ZCEF=ZFEG=90°.???△CEF是等腰直角三角形.(2)(3)(2)(3)考點：1?旋轉和平移問題；2.等腰三角形的性質；3.三角形外角性質；4.等邊三角形的判定和性質：5.平行四邊形的判定和性質：6.全等三角形的判定和性質：7.含30度直角三角形的性質：8.垂直平分線的判定和性質；9.等腰直角三角形的判定..已知：一次函數） 的圖象與X軸、y軸的交點分別為A、B,以B為旋轉中得^BCD（其中O與C、A與D是對應的頂點）.

據勾股定理求解即可：(2)根據旋轉的性質結合△BOA的特征求解即可：(3)先根據點C在線段AB上判斷出點D的坐標，再根據待定系數法列方程組求解即可.(1)在y=-?x+4時，當x=o時，y=4,當y=0時，x=3AB-5；(2)由題意得D(4,7)或(-4,1)；(2)由題意得D點坐標為(4,U)6設直線BD的關系式為y二丘+》.??圖象過點B(0,4),D(4,—)6rd=4「Lrd=4「L17,4k+b=—. 6???直線BD的關系式為考點：動點的綜合題k=-—24b=47y=k+4點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型..如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEIIBC,如圖①，然后將△ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=：BD,EN=：CE,得到圖③，請解答下列問題：⑴若AB=AC,請探究下列數量關系：①在圖②中，BD與CE的數量關系是；②在圖③中，猜想AM與AN的數量關系、NMAN與NBAC的數量關系，并證明你的猜想；(2)若AB=k-AC(k>l),按上述操作方法，得到圖④，請繼續探究：AM與AN的數量關系、NMAN與NBAC的數量關系，直接寫出你的猜想，不必證

【答案】(1)①BD=CE；②AM=AN,NMANNBAC理由如下：;在圖①中，DE〃BC,AB=ACAD=',AE."AB=AC,4BAD=lCAE,ah-at在^ABD與^ACE中一??.△ABDM&ACE.BD=CE,ZACE=ZABD.在^DAM與^EAN中，11.「dmNbd,en=Ze,BD=CE,???dm=en,-/Zaen=zACE+ZCAE,ZADM=ZABD+ZBAD,/.ZAEN=ZADM.又「AE=AD,??.△ADM2△AEN.Z.AM=AN,ZDAM=ZEAN./.ZMAN=ZDAE=ZBAC./.AM=AN,ZMAN=ZBAC.(2)AM=kAN,ZMAN=ZBAC.【解析】(1)①根據題意和旋轉的性質可知△AES△ADB,所以BD=CE：②根據題意可知NCAE=BAD,AB二AC,AD=AE,所以得至必BAD2△CAE,在△ABM和△ACN中，DM=-BD,EN=-CE,可證△ABM2△ACN,以7以AM=AN,即NMAN=NBAC..■(2)直接類比(1)中結果可知AM=k?AN,ZMAN=ZBAC.12.⑴觀察猜想如圖⑴，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點.以點D為頂點作正方形DEFG,使點A,C分別在DG和DE上，連接AE,BG,則線段BG和AE的數量關系是

⑵拓展探究將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后(旋轉角度大于0。，小于或等于360。)，如圖2,則⑴中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.(3)解決問題若BC=DE=2,在⑵的旋轉過程中,當AE為最大值時,直接寫出AF的值.連接AD.???△ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90°,點D是BC的中點.ZADB=90\且BD=AD.ZBDG=ZADB-ZADG=90°-ZADG=ZADE,DG=DE.△BDG2△ADE,/.BG=AE 7分(3)由(2)知，BG=AE,故當BG最大時，AE也最大.正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270。時，BG最大，如圖③.妥③F

妥③F若BC=DE=2,則AD=1,EF=2.在RtAAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.?*-AF=【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如圖②，連接AD.△ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，點D是BC的中點./.ZADB=90°,且BD=AD.?/ZBDG=ZADB-ZADG=90°-ZADG=ZADE,DG=DE.「?ABDG里AADE,??.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故當BG最大時，AE也最大.Z+X+X+K]因為正方形DEFG在繞點D旋轉的過程中，G點運動的圖形是以點D為圓心，DG為半徑的圓，故當正方形DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上(即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270。)時，BG最大，如圖③.若BC=DE=2,則AD=1,EF=2.在RtAAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.「?AF=^13*.即在正方形DEFG旋轉過程中，當AE為最大值時，AF=JT.圖⑤圖⑤13.如圖，在RS48C中，NACB=90。，N4=30。，點O為八8中點，點P為直線BC上的動點(不與點8、點C重合)，連接OC、OP,將線段OP繞點P順時針旋轉60。，得到線段PQ，連接8Q.(1)如圖1,當點P在線段8c上時，請直接寫出線段8Q與CP的數量關系.(2)如圖2,當點P在CB延長線上時，(1)中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當點P在8c延長線上時，若N8PO=15。，8P=4,請求出8Q的長.2A【答案】(1)BQ=CP；(2)成立：PC=BQ：(3)473-4.【解析】試題分析：(1)結論：BQ=CP.如圖1中，作PHII48交CO于H,可得△PCH是等邊三角形，只要證明^POHW△QPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PHII八8交CO的延長線于H.證明方法類似(1)；(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.設CE=CO=a,則FC=FP=2o, 在R3PCE中，表示出PC,根據PC+CB=4,可得方程(娓+應)a+應a=4,求出。即可解決問題；試題解析：解：(1)結論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PHIIA8交CO于H.在A8c中，:N4CB=90°,Z/\=30°,點。為A8中點，，C0=40=B0,ZCBO=60°.??.△CBO是等邊三角形，.二ZCHP=NCO8=60°,ZCPH=4CBO=60°, ZCHP=ZCPH=60°f△CPH是等邊三角形，.二PC=PH=CH,：,OH=PB,/ZOPB=NOPQ+NQPB=NOCB+NCOP,丁ZOPQ=ZOCP=60°,「.ZPOH=ZQPB,JPO=PQ,△POH空△QPB,JPH=QB./.PC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作PHIM8交CO的延長線于H.在A8c中，:N4CB=90°,Z/\=30°,點。為A8中點，，C0=40=B0,ZCBO=60°.?.△CBO是等邊三角形，.二ZCHP=NCO8=60°,ZCPH=4CBO=60°, ZCHP=ZCPH=60°f?.△CPH是等邊三角形,???PC=PH=CH,.?.OH=PB,ZPOH=60°+ZCPO,ZQPO=60°+ZCPQ,??,ZPOH=4QPB,'/PO=PQ9△POH^△QPB,/.PH=QB,：.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF./ZOPC=15°,ZOCB=NOCP+NPOC,：.ZPOC=45°,/.CE=EO,設CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF="a,在RSPCE中，PC=y/PE^CE2=yj(2a+y/3a)2a2=+y/^)Cl，=，PC+CB=4,(^6+ +yJ^Cl=4,解得G=4^2*— ，??PC=4a/J—4，由(2)ojBQ=PC,A80=473-4.

點睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉變換、等邊三角形的判定和性質全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.14.小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點坐標分別為A（1,1）,B（2,2）,C（2,1）,D（JI，0）,E（2JI，0）,F（江一巫）.2 2（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45。得到△AiBiC.請你寫出點Ai，Bi的坐標，并判斷AiC和DF的位置關系；（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45。，發現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=2jlx?+bx+c上.請你求出符合條件的拋物線解析式；（3）他們繼續探究，發現將△ABC繞某個點旋轉45,若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=C上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標.請你直接寫出點P的AiC和DF的位置關系是平行.（2）???△ABC繞原點按順時針方向旋轉45。后的三角形即為^DEF,2岳（0+伍+c=0二?①當拋物線經過點D、E時，根據題意可得：｛ , ,解得20（2應『+2>/Ib+c=0b=-l2，c=8&y=2>/2x2-12x+8-V2.2&（可+亞+c=0②當拋物線經過點D、F時，根據題意可得：｛ （3d2^3J2JJ'解得25/2x +—^―b+c=—b=-ll{c=7五y=2>/2x2-llx+75/2.2。僅應『+2VIb+c=0③當拋物線經過點E、③當拋物線經過點E、F時，根據題意可得:I2J2 2b=-13'c=10>/2y=2>/2x2-13x4-105/2.（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：①順時針旋轉45。，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示,易求得點P坐標為（0，三g）.2②順時針旋轉45。，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示,設點夕,C'的橫坐標分別為Xl，X2，易知此時BC與一、三象限角平分線平行，，設直線BC的解析式為y=x+b.聯立y=x2與y=x+b得：x2=x+b,即—x—b=0，x1+x2=1txxx2=—b.??,B'C'=L??,B'C'=L.??根據題意易得:?|=W'(x「xj=；,即

2. N(x1+x2)2-4X1x2=iTOC\o"1-5"\h\zl+4b=1,解得b=-L.2 82 1八4〃- 2+ t 2—y/2??x—XH =09解得x= Xx= ?8 4 4???點C’的橫