著名數學家的故事——李銳李銳(1769—1817)是中國古代數學家，又名向，字尚之，號四香，江蘇元和縣(今屬蘇州市)人。(一)少從名師李銳先世居河南，祖父名橫，父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)進士，曾任河南伊陽(今汝陽)知縣，后調兵部主事。李銳生于l769年1月l5日，“幼開敏，有過人之資。從書塾中撿得《算法統宗》，心通其義，遂為九章八線之學。”1788年，李銳為元和縣生員。次年錢大聽來主持紫陽書院，李銳就此受業其門下。1791年，李銳從紫陽書院肄業，開始向錢大聽學習天文和數學知識。錢氏“始教以三角、八線、小輪、橢圓諸法，復引而進于古”。錢大聽“日以翻閱群書校仇為事，遇有疑義輒與銳商榷”。例如撰成《三統術衍鈴》之后，就請李銳算校并作跋，可見錢氏對這位弟子的學問相當滿意。這段學徒生涯，使李銳不但學到了知識，而且熟悉了干嘉學派大師的治學方法，對此有人記道：“受業于錢辛楣宮詹(指大聽)為九數學，宮詹誨之曰：‘凡為弟子者，不勝其師，不為賢弟子，吾友段若鷹(即玉裁)之于戴東原(即震)是矣，子其勉之。’先生(即李銳)于是閑門沉思五年，盡通疇人家言。”由于錢大聽的介紹，李銳開始與比他年長6歲的焦循通信。l790年，焦循以所著《群經宮室圖》二部寄錢大聽，后者復函稱“已分一部致李生尚之，并將尊札付其閱看，伊亦深佩服，以不得握手為恨。”李銳也給焦循去了一信內容主要討論行星運動問題。(二)幕賓生涯1795年，阮元出任浙江學政，開始籌劃編纂《疇人傳》。不久李銳被邀至杭州，實際上成為這一中國歷史上第一部天文、數學家傳記的主筆。在此期間，他常往來于蘇、杭之間，得以廣泛接觸江南各藏書名家所收珍本秘籍，并有可能獲讀文瀾閣四庫全書中的傳抄本。在此基礎上，李銳對中國古代數學進行了認真的研究，他的工作與干嘉學派對古代經典的廣泛整理是相一致的。先后經他整理過的中國古代數學名著有李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》、王孝通的《緝古算術》、秦九韶的《數書九章》，及《九章算術》等。在天文學方面，李銳相繼對三絕、四分、干象、奉元、占天、淳佑、會天、大明、大統等歷法進行了疏解。并先后完成《三統術注》、《四分術注》等五部書稿。在經學方面，他曾協助阮元校勘《周易》、《谷梁》及《孟子》，其成果被載入阮元編的《十三經注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》這樣的經學作品。l798年，李銳完成了《弧矢算術細草》—書。1799年在讀《宋書·律歷志》時、對其中用棕轉述之何承天調日法有所悟，撰成《日法朔余強弱考》—書。同年《疇人傳》編竣。在此期間，李銳與焦循同居阮元節署之內。朝夕相處，“共論經史，窮天人消息之理。”大約此時，李銳通過焦循了解到汪萊的工作；汪、李初次見面則在l800年。汪萊于1801年授館揚州，同年撰成《衡齋算學》第五冊，議論秦九韶，李冶開方之“可知”與“不可知”，即數字方程是否儀有—個正根。稿成后汪氏曾分送張敦仁和焦循二人求正、焦循逐將汪萊的書稿出示給李銳。李銳看畢“深嘆為精善，復以兩日之力作開方三例”。這是1862年9月5日的事。當時李銳喪妻不久、又逢失子，獨自居住于西湖邊之孤山附近，心境十分凄涼。他在為汪萊所作的跋文中說：“是卷窮幽極微，真算氏之最也”。隨后給出的“三例”則是他研究方程理論的開篇之作。l805年，李銳應揚州太守張敦仁之邀前往入幕。此時在場州的數學家還有焦循、汪萊、凌廷堪、沈欽裴等人，一時風云際會，尤以李、汪、焦(一說李、凌、焦)三人被譽為“談天三友”。張敦仁先后撰寫《緝古算經細草》，《求——算術》、《開方補記》等書，都得到李銳的鼎力相助。他覓得南宋版《九章算術》(前五章)、《孫子算經》、《張丘建算經》之后，都請李銳算校整理。大約同時，汪萊完成了《衡齋算學》第七冊，把方程論的研究又向前推進了一大步。1806年，李銳回到蘇州。這一年他相繼撰成《勾股算術細草》、《盤折說》、《戈戟考》等作品，又為張敦仁復校《求—算術》。1808年寫成《方程新術草》，書成后即寄給北京的李潢一部抄本。當時李潢正在從事《九章算術》的研究，他后來復函李銳，對此書及兩年前經由張敦仁送來的《勾股算書細草》給予很高的評價。李銳與李潢，也被人并稱為“南北二李”。李銳生平雖曾多次參加科舉考試，但是均未獲成功。1801年，李銳從張敦仁在南昌的府邸出發，前往北京參加他的最后一次考試。這次順天府的鄉試又以失敗告終，但他得以與李潢這位神交已久的學術知己聚首。在京期間，他們曾頻繁往來，主要討論《九章算術》中的問題。李銳一生對中算古籍十分珍視，除了以—上提到曾多部古算書校釋外，又于1800年親自購得梅文鼎手錄之明清之際數學珍本《西鏡錄》；此書后由焦循另抄一冊，得以流傳至今。在北京滯留期間，他又從李潢處讀到阮元錄自《永樂大典》的多部算書。1814年，李銳得到一部散亂的《楊輝算法》，遂據文義重新排列整齊。18l6年，他從張敦仁處獲閱阮元早先訪得并呈入四庫的《四元玉鑒》，開始動手整理，可惜因體力不支未能卒業，以至阮元嘆道：“惜乎李君細草未成，遂無能讀是書矣。”

(三)貧病相伴李銳雖然長年奔走于達官顯貴之間，他的家庭生活卻是十分清苦的。在他留下的日記中，經常可以看到“受某某銀若干”的記載；有一則日記還提到李潢托請張敦仁“少分清俸，以瞻其家，俾得悉心、著書。”李銳也經常以自己的精神勞動來回報他的導師或保護人，錢大聽、張敦仁、阮元、李潢等人都曾采用過他的研究成果，難怪有人說他“凡有詰者”，“悉詳告無隱”。李銳嗜書如命。為此不得不節衣縮食。有時實在買不起。他就靠借書和抄書來獲得所需的資料。尤為可悲的是、為了傳宗延嗣．他在發妻龔氏及愛子天亡之后又相繼二次娶妻，直到臨終始得一子。過度的工作量和沉重的家庭負擔無疑加劇了他生活的貧困，也損害了他的健康。l814年，李銳已患重病，此時他開始向弟子黎應南講授開方與解方程的理論，斷斷續續地講了三年，其講稿就是后來的《開方說》。l8l7年夏，李銳病情惡化，臨終前囑托黎應南務必將尚未定稿的《開方說》下卷寫好。1817年8月12日，正值創造盛年的李銳咯血身亡。時年僅48歲。李銳去世后，黎應南“謹遵先生遺命，依法推衍”。于1819年將《方程論》全部完成。李銳的科學著作，主要的都被收集在《李氏遺書》之中。該書初刊于嘉慶年間，共11種18卷，其子目為：《召浩曰名考》、《三統術注》、《四分術注》、《干象術注》、《奉元術注》、《占天術注》、《日法朔余強弱考》、《方程新術革》、《勾股算術細草》、《弧矢算術細草》、《開方說》。此外，他還著有《測圓海鏡細草》、《緝古算經細草》、《補宋金六家術》；《回回歷元考》等書。李銳在其學術活動中集繼承與創造于—身。他對數學的貢獻，主要有以下四個方面：(一)編纂《疇人傳》《疇人傳》是一部以歷法沿革為主線，以人物為核心的大型天文、數學家傳記，共收錄自遠古至清初的中外歷算家3l6人。每一人物均由“傳”、“論”兩部分組成：“傳”主要是原始文獻的薈萃、“論”是編者對傳主的簡短評語。沒有對中國古代天文、數學的全面了解和博覽群書的條件，是很難勝任這一任務的。李銳正是這部書的總體設計者和主要執筆人。作為該書名義上主編的阮元，提到其編輯過程時自云“供職內外，公事頻繁”，而“元和學生李銳暨臺州學生周治平力居多”。類似的話在他為羅士林《續疇人傳》寫的序言和應李銳子可玖寫的傳記中都一再重復。阮元以地方長官的身份辦學刻書，先后冠其名出版的《經籍纂詁》，《十三經注疏》、《皇清經解》等大部頭經學著作無不出自其幕賓之手，此情自可推論到《疇人傳》上。阮自稱“本昧于天算”，又認定李銳“深于天算術。江以南第一人也”，因而將《疇人傳》的具體工作交李銳來于是十分可能的。從該書的具體內容來看，“張壽王”、“劉洪”、“馬顯”、“昭素”、“周蹤”、“劉孝榮”、“衛樸”、“姚舜輔”、“蔣友仁“王孝通”、“李德卿”、“譚玉”、“楊級”、“耶律履”、“貝琳”傳都與李銳有關著作中的文字完全相同；“虞劉”、“王處鈉”論中亦可見到“李尚之銳曰”等字樣，因而早就有人說：“(人傳)正傳成于阮氏，實乃元和李氏之筆”。(二)整理古算書乾隆年間編纂《四庫全書》，一大批久經埋沒的珍貴古代學經典得以重見天日，戴震、阮元、張敦仁等人都曾致力于羅各種“算經十書”和宋元數學名著。然而這些古書歷經輾傳抄或翻刻，訛文奪字迭出，所用術語又往往與當時的不同，而校勘和注釋的任務是相當艱巨的。《九章算術》是中國古代數學的代表作，現在公認最早期的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算術細草圖說》。而早在此之前，李銳就已先后完成《勾股算術細草》和《方新術草》二書，書成后都曾送李潢過目，有李潢的信為證：“讀大著《方程新術草》一卷，正負相當各率，一？自然，正從前傳刻之誤，闡古人未發之覆，愉快彌日。《股(算術)細草》，前歲(1807)古愚太守(即張敦仁)見。惠一本，條段各圖，細入毫芒，真精思大力之作也。”對照李潢和李銳關于勾股定理及其應用的·說明，不難發現二者所用“條段各圖”幾乎雷同，尤其·是李潢書中關于劉微用“出入相補”法證明勾股定理的一段說明顯然是完全照搬李銳的。李潢書中關于．“方程新術”的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。李銳也曾撰寫《海島算經細草》和《緝古算術衍》,二書均已失傳。但張敦仁有《緝古算術細草》傳世，李銳曾為之算校并作跋，有人“疑此細草即以《緝古算術衍》為蘭本，而擴其意耳。”李銳又協助張敦仁完成《求一算術》和《開方補記》二書。李銳還曾整理過《孫子算經》、《測圓海鏡》、《益古演段》、《數書九章》、《四元玉鑒》、《楊輝算法》等。(三)疏解調日法和求一術調日法是中國古代天文學家用分數來近似表達天文基本數據的一種數理方法，但是“元明以來疇人子弟，罔識古義，競天知其說者。”李銳在讀《宋書·律歷志》的時候，注意到其中周瓊轉述“宋世何承天更以四十九分之二十六為強率，十七分之九為弱率，于強弱之際以求日法”的意義，他解釋道：何氏以26/49和19/17為上、下限，將朔望月的奇零部分表示為(26×15＋9×1)/

(49×15＋17×1)＝399/752，即選取強、弱二率適當的加權平均來近似表達觀測值，這就是調日法的本質。上述分數中分子叫作朔余，分母叫作日法。以此為契機，李銳對51家古代歷法進行了考察．試圖將每一歷法所給出的日法和朔余二值表示成上述帶權加成的形式，并以此推測它們是否應用調日法而來。這一工作使調日法這—古代分數近似法重新受到重視，被人稱為“尤為抉盡間奧，皆必傳之作，不但與秦氏書為羽翼也。”但是從現代數學的觀點來看，位于兩個既約分數之間的任何分數都可以表示為它們二者的帶權加成形式，因此僅以此來判定古代歷法的數據系由調日法而來是欠嚴謹的。況且由于精度所限和運算之繁復，古代制歷者也不大可能全用這種累乘累加的方法來確定其日法和朔余。李銳大約感到了后一困難．他又創造了一種“有日法求強弱(數)”的方法，其目的仍然是將朔余與日法的比值表示為26/49和9/17的帶權加成。若以A表示日法，x和y分別表示強、弱二數，李銳提出的問題相當與求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其術文提供了一種依賴于求一術的簡捷算法，從而在中國數學史上第一次溝通了二元一次不定方程與同余式組這兩類問題之間的聯系。(四)研究代數方程論李銳對代數方程論的興趣發軔于對秦九韶、李冶等末元數學家著作的整理與研習，但其直接導因卻是汪萊在《衡齋算學》第五冊中對各類方程是否僅有一個正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條“知不知”歸納為三條判定準則，其中第一條相當于說系數序列有一次變號的方程只有一個正根，第三條相當于說系數序列有偶數次變號的方程不會只有一個正根；它們與l6世紀意大利數學家卡當(G·CarJano)提出的兩個命題十分相似。在《開方說》中，李銳則給出了更一般的陳述：“凡上負、下正，可開一數”，“上負、中正、下負，可開二數”，“上負、次正、次負、下正，可開三數或一數”，“上負、次正、次負、次正、下負，可開四數或二數”；推而廣之，他的意思相當于說：(實系數)數字方程所具有的正根個數等于其系數符號序列的變化數或者比此變化數少2(精確的陳述應為“少一個偶數”)。這一認識與法國數學家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個數的符號法則是不分伯仲的。除了關于方程正根個數的