廣東省廣州市第八十四中學2021年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數對任意都有，若的圖象關于軸對稱，且，則(

)

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：A略2.有6名男醫生、5名女醫生，從中選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種參考答案：C【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題；D8：排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，分2步分析，先從6名男醫生中選2人，再從5名女醫生中選出1人，由組合數公式依次求出每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，先從6名男醫生中選2人，有C62=15種選法，再從5名女醫生中選出1人，有C51=5種選法，則不同的選法共有15×5=75種；故選C．3.點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是（

）A．圓

B．橢圓

C．雙曲線的一支

D．直線參考答案：D4.以下四個命題中，其中正確的個數為（）①命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣3x+2=0”；②“”是“cos2α=0”的充分不必要條件；③若命題，則?p：?x∈R，x2+x+1=0；④若p∧q為假，p∨q為真，則p，q有且僅有一個是真命題．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據命題和它的逆否命題之間的關系，即可判斷①錯誤；根據時cos2α=0成立判斷充分性，cos2α=0時α=不成立判斷必要性，得出②正確；根據特稱命題的否定是全稱命題，得出③錯誤；根據復合命題的真值表判斷④正確．【解答】解：對于①，命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，故①錯誤；對于②，時，cos2α=cos=0，充分性成立；cos2α=0時，α=+，k∈Z，必要性不成立，是充分不必要條件，故②正確；對于③，命題，則?p：?x∈R，x2+x+1≠0，故③錯誤；對于④，當p∧q為假命題，p∨q為真命題時，p，q中有且僅有一個是真命題，故④正確．綜上，正確的命題序號是②④，共2個．故選：B．【點評】本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了四種命題，充分與必要條件以及復合命題的真假判斷問題，是綜合性題目．5.設變量，滿足約束條件，則目標函數的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lnx＞0}，則“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】分別求出關于集合A、B的范圍，結合集合的包含關系判斷即可．【解答】解：集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，集合B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，則B?A則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故選：B．7.下列命題中正確的是（（）A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要條件C．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0”D．命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A根據且命題和或命題的概念判斷即可；B均值定理等號成立的條件判斷；C或的否定為且；D對存在命題的否定，應把存在改為任意，然后再否定結論．【解答】解：A、若p∨q為真命題，p和q至少有一個為真命題，故p∧q不一定為真命題，故錯誤；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必須a=b時，等號才成立，故不是充分必要條件，故錯誤；C、命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2，則x2﹣3x+2≠0”，故錯誤；D、對存在命題的否定，應把存在改為任意，然后再否定結論，命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正確．故選：D．8.已知橢圓：+=1，若橢圓的焦距為2，則k為（）A．1或3 B．1 C．3 D．6參考答案：A【考點】橢圓的標準方程．【分析】利用橢圓的簡單性質直接求解．【解答】解：①橢圓+=1，中a2=2，b2=k，則c=，∴2c=2=2，解得k=1．②橢圓+=1，中a2=k，b2=2，則c=，∴2c=2=2，解得k=3．綜上所述，k的值是1或3．故選：A．9.執行如右圖所示的程序框圖，輸出的k的值是（

） A、9

B、10

C、11

D、12參考答案：C10.已知O、A、B三地在同一水平面內，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測繪隊員在A、B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過km的范圍內會測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數據的概率是（）A．1﹣ B． C．1﹣ D．參考答案：A【考點】解三角形的實際應用．【分析】作出圖形，以長度為測度，即可求出概率．【解答】解：由題意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地為一磁場，距離其不超過km的范圍為個圓，與AB相交于C，D兩點，作OE⊥AB，則OE=，所以CD=2，所以該測繪隊員能夠得到準確數據的概率是1﹣=1﹣．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若=上是減函數，則的取值范圍是

。參考答案：略12.聯合體某校高三文科4個班級共200位學生，其中80位學生參加了數學興趣小組，155位學生參加了英語興趣小組，那么既參加數學興趣小組又參加英語興趣小組的學生個數的最大值和最小值的差是

參考答案：

45略13.函數的圖象經過原點，且它的導函數的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點在（

）

參考答案：第二象限14.已知，則=________參考答案：【分析】首先根據誘導公式化簡，再由即可得【詳解】∵，則，【點睛】本題主要考查了誘導公式以及同角三角函數基本關系，屬于基礎題。15.輸入x=2，運行如圖的程序輸出的結果為

．參考答案：1【考點】程序框圖．【專題】計算題；分類討論；分析法；算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，分類討論求出對應的x的范圍，綜合討論結果可得答案．【解答】解：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，∴當x=2時，2＞0，解得：y=﹣2+3=1．故答案為：1．【點評】本題考查解決程序框圖的選擇結構，關鍵是判斷出輸入的值是否滿足判斷框中的條件，屬于基礎題．16.若變量x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最小值為．參考答案：﹣1【考點】簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優解，求出最優解的坐標，數形結合得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優解為A，聯立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值為2×0﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．17.函數f（x）=x3+4x+5的圖象在x=1處的切線在x軸上的截距為．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；直線的截距式方程．【分析】欲求在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率得到直線方程，最后令即可求得在x軸上的截距．從而問題解決．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，當x=1時，y'=7得切線的斜率為7，所以k=7；所以曲線在點（1，10）處的切線方程為：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案為：．【點評】本小題主要考查直線的斜率、直線的方程、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知拋物線y2=4x，過點P（2，0）作斜率分別為k1，k2的兩條直線，與拋物線相交于點A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點（1）若k1+k2=0，，求線段MN的長；（2）若k1?k2=﹣1，求△PMN面積的最小值．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）若k1+k2=0，線段AB和CD關于x軸對稱，利用，確定坐標之間的關系，即可求線段MN的長；（2）若k1?k2=﹣1，兩直線互相垂直，求出M，N的坐標，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面積的最小值．【解答】解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設y1＞0，則設直線AB的方程為y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0∴y1+y2=，y1y2=﹣8，∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，∴yM=1，∵k1+k2=0，∴線段AB和CD關于x軸對稱，∴線段MN的長為2；（2）∵k1?k2=﹣1，∴兩直線互相垂直，設AB：x=my+2，則CD：x=﹣y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，﹣），∴|PM|=2|m|?，|PN|=?，|∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，當且僅當m=±1時取等號，∴△PMN面積的最小值為4．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AD=2AB=2PA，E為PD的上一點，且PE=2ED，F為PC的中點． （Ⅰ）求證：BF∥平面AEC； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定． 【專題】綜合題． 【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標系A﹣xyz，設B（1，0，0），則D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），，．設平面AEC的一個法向量為，由，知，由，得，由此能夠證明BF∥平面AEC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為，由為平面ACD的法向量，能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz， 設B（1，0，0），則D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），（2分） （Ⅰ）設平面AEC的一個法向量為， ∵，， ∴由， 得， 令y=﹣1，得（4分） 又， ∴，（5分） ，BF?平面AEC， ∴BF∥平面AEC．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為， 又為平面ACD的法向量，（8分） 而，（11分） 故二面角E﹣AC﹣D的余弦值為（12分） 【點評】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用． 20.點P到A（﹣2，0）的距離是點P到B（1，0）的距離的2倍．（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）點P與點Q關于點（2，1）對稱，點C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若過A的直線從左向右依次交第（II）問中Q的軌跡于不同兩點E，F，=λ，判斷λ的取值范圍并證明．參考答案：【考點】與直線有關的動點軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求點P的軌跡方程；（Ⅱ）求出Q的軌跡方程，令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，利用直線與圓的位置關系，即可求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；（Ⅲ）設過A的直線方程為x=ty﹣2（一定存在），與Q的軌跡方程聯立，消去x得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0，利用韋達定理，結合基本不等式，即可得出結論．【解答】解：（I）設點P（x，y），由題意可得|PA|=2|PB|，即=2．化簡可得（x﹣2）2+y2=4．（II）設Q（x0，y0），由題可得x=4﹣x0，y=2﹣y0代入上式消去可得（x0﹣2）2+（y0﹣2）2=4，即Q的軌跡方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即x2+y2+4=4x+4y．令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，d=≤2，所以13≤z≤53．因此|QA|2+|QC|2的最大值為53，最小值為13．（III）λ的取值范圍是（1，]．證明：設E（x1，y1），F（x2，y2）且y1＜y2．因為=λ，所以，且λ＞1．設過A的直線方程為x=ty﹣2（一定存在），與Q的軌跡方程聯立，消去x得（1+t2）