山西省朔州市中牌中學2022-2023學年高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：C2.△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則△ABC面積的最大值為（）A. B.2 C. D.參考答案：A【分析】通過正弦定理化簡表達式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理及均值不等式求出的最大值，從而求得三角形面積的最大值．【詳解】∵，由正弦定理得，即；由余弦定理得，結合，得；又，由余弦定理可得，當且僅當等號成立，∴，即面積的最大值為．故選：A．【點睛】本題主要考查了正余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，屬于中檔題.在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.又二元等式條件下的二元函數的最值問題可考慮用基本不等式來求.3.已知數列為等差數列，且，則的值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略4.已知函數是上的偶函數，當時，則的解集是（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：C由函數為偶函數可得，∵時，設，則，，，當時，有，故選．點睛：本題主要考查了偶函數的定義及利用偶函數的性質求解函數的解析式，不等式的解法，屬于知識的綜合應用；根據函數的奇偶性可求出函數在整個定義域上的解析式，解分段函數的不等式可得最后結果．

5.若實數x，y滿足條件，則目標函數z＝2x－y的最小值（

）A. B.－1 C.0 D.2參考答案：A【分析】線性規劃問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標函數，上下平移得到z的最值。【詳解】可行域如圖所示，當目標函數平移到A點時z取最小值，故選A【點睛】線性規劃中線性的目標函數問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標函數，上下平移得到z的最值。6.已知A(2,－3)，B(－3,－2)，直線l過定點P(1,1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是().

A.

B.

C.或

D.或參考答案：D7.已知數列滿足，則=（

）

A、

B、0

C、

D、參考答案：A略8.若函數，的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，那么這個封閉圖形的面積是（

）

A．4

B．8

C．

D．

參考答案：D略9.棱長為3的正四面體的外接球的半徑為（）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A10.（5分）正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（） A． 75° B． 60° C． 45° D． 30°參考答案：C考點： 棱錐的結構特征；與二面角有關的立體幾何綜合題．專題： 數形結合．分析： 先做出要求的線面角，把它放到一個直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關系求出此角．解答： 解析：如圖，四棱錐P﹣ABCD中，過P作PO⊥平面ABCD于O，連接AO則AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即為所求線面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求線面角為45°．故選C．點評： 本題考查棱錐的結構特征，以及求直線和平面成的角的方法，體現了數形結合的數學思想．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求“方程的解”有如下解題思路：設，則在上單調遞減，且，所以原方程有唯一解．類比上述解題思路，方程的解集為

．參考答案：（*）構造函數，易得函數在定義域R上單調遞增，則（*）式方程可寫為12.已知角的終邊經過點，函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則=

▲

．參考答案：13.若關于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，則實數a的取值范圍是

．參考答案：{a|a≤﹣6，或a≥2}【考點】3W：二次函數的性質．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，從而求出a的取值范圍．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此時原不等式的解集不是空集，∴a的取值范圍是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案為：{a|a≤﹣6，或a≥2}．14.函數的定義域為

．參考答案：15.已知過點（2，1）直線與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABC的最小面積為_________．參考答案：416.已知偶函數f(x)在[0，+∞）單調遞減，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是

．參考答案：（﹣1，3）17.在長為12cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，使鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(I)閱讀理解：①

對于任意正實數，只有當時，等號成立．②

結論：在（均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．(II)結論運用：根據上述內容，回答下列問題：（提示：在答題卡上作答）①

若，只有當__________時，有最小值__________．②

若，只有當__________時，有最小值__________．(III)探索應用：學校要建一個面積為392m2的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，共占地面積最小？并求出占地面積的最小值。參考答案：解(II)（1）

1

，2

（2）3，10 (III)設游泳池的長為xm，則游泳池的寬為m,又設占地面積為ym2，依題意，得

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648

當且僅當x=即x=28時取“=”.此時=14所以游泳池的長為28m，寬14m時，占地面積最小，占地面積的最小值是648m2。略19.（12分）已知點P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；（2）設過點P的直線ll與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；（3）設直線ax﹣y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：考點： 直線與圓的位置關系．專題： 計算題；直線與圓．分析： （1）分兩種情況：當直線l的斜率存在時，設出直線l的斜率為k，由P的坐標和設出的k寫出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當直線l的斜率不存在時，得到在線l的方程，經過驗證符合題意；（2）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發現|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設符合條件的a存在，由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上，根據P與C的坐標即可求出l2的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率，進而求出a的值，經過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設錯誤，故這樣的a不存在．解答： （1）設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y﹣0=k（x﹣2）．又圓C的圓心為（3，﹣2），半徑r=3，由=1，解得k=﹣．所以直線方程為y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；當l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P為MN的中點，所以所求圓的圓心坐標為（2，0），半徑為|MN|=2，故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4；（3）把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直線ax﹣y+1=0交圓C于A，B兩點，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．則實數a的取值范圍是（﹣∞，0）．設符合條件的實數a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圓心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率kPC=﹣2，而，所以a=．由于?（﹣∞，0），故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB．點評： 此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式化簡求值，考查了分類討論的數學思想，以及會利用反證法進行證明，是一道綜合題．20.已知函數(1)當m=0時，求在區間上的取值范圍；(2)當時，，求的值。參考答案：（1）當m=0時，

，由已知，得從而得：的值域為（2）化簡得：當，得：，，代入上式，m=-2.略21.(本小題滿分10分)已知直線l的傾斜角為135?，且經過點P(1,1)．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）求點A(3,4)關于直線l的對稱點A?的坐標．參考答案：（Ⅰ）∵k＝tan135?＝－1，……………2分∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0；………