山西省忻州市辦事處聯校2022年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由是上一點，且，可得又因為是的重心，所以而，所以，所以，選A.

2.若實數x，y滿足不等式組目標函數t=x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2參考答案：D【考點】簡單線性規劃．【分析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線t=x﹣2y過點A（2，0）時，z最大值即可．【解答】解：根據約束條件畫出可行域，直線t=x﹣2y過點A（2，0）時，t最大，t最大值2，即目標函數t=x﹣2y的最大值為2，故選D．3.已知三數a，b，c成等比數列，則函數f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸公共點的個數為(

)A．沒有 B．1個 C．2個 D．不能確定參考答案：A【考點】二次函數的性質．【專題】轉化思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】根據已知可得b2=ac＞0，進而判斷判別式的符號，進而可確定函數圖象與x軸公共點的個數．【解答】解：∵三數a，b，c成等比數列，∴b2=ac＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，∴函數f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸無公共點，故選：A【點評】本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．4.設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為(

) A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x參考答案：C考點：拋物線的標準方程．專題：計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：根據拋物線方程算出|OF|=，設以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關系式，從而得到關于p的方程，解之得到實數p的值，進而得到拋物線C的方程．解答： 解：∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），∴焦點F坐標為（，0），可得|OF|=，∵以MF為直徑的圓過點（0，2），∴設A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根據拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．故選：C．

方法二：∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），∴焦點F（，0），設M（x，y），由拋物線性質|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因為圓心是MF的中點，所以根據中點坐標公式可得，圓心橫坐標為=，由已知圓半徑也為，據此可知該圓與y軸相切于點（0，2），故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，即M（5﹣，4），代入拋物線方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．故答案C．點評：本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、圓的性質和解直角三角形等知識，屬于中檔題．5.在上定義運算，，，則滿足的實數的取值范圍為()A．

B．

C．

D．參考答案：B6.數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=（）A．2n﹣1 B． C． D．參考答案：D【考點】數列遞推式．【分析】由a1=1，Sn=2an+1，可得Sn=2（Sn+1﹣Sn），化為：Sn+1=Sn，再利用等比數列的通項公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，Sn=2an+1，∴Sn=2（Sn+1﹣Sn），化為：Sn+1=Sn．∴數列{Sn}是等比數列，公比為，首項為1．則Sn=．故選：D．7.設是等差數列的前n項和，已知，，則等于（

）A．13

B．35

C．49

D．63

參考答案：C8.如果奇函數在區間上是增函數且最大值為，那么在區間上是（

）A．增函數且最小值是

B．增函數且最大值是C．減函數且最大值是

D．減函數且最小值是參考答案：A9.設集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A10.曲線y=x3在點（1，1）處的切線與x軸及直線x=1所圍成的三角形的面積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．【解答】解：∵y=x3，∴y'=3x2，當x=1時，y'=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切線與x軸、直線x=1所圍成的三角形的面積為：S=×（1﹣）×1=故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關于x，y，z的方程（其中）的解共有

組.參考答案：3612.若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），則（2﹣3）?（+2）=．參考答案：﹣212【考點】空間向量的數量積運算．【分析】利用向量的坐標形式的四則運算法則、利用向量的數量積公式求出數量積．【解答】解：∵，∴=﹣10×16+13×（﹣4）=﹣212故答案為﹣212【點評】本題考查向量的四則運算法則、考查向量的數量積公式：對應坐標乘積的和．13.車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外2名老師傅即能當車工,又能當鉗工,現在要在這11名工人里選派4名鉗工、4名車工修理一臺機床,問有多少種選派方法?參考答案：10,45/4略14.奇函數在區間上是增函數，在區間上的最大值為，最小值為，則________

參考答案：-15略15.曲線在點處的切線斜率為________.參考答案：0【分析】求出原函數的導函數，得到函數在該點處的導數值，即為曲線在點處的切線的斜率.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線的斜率0.【點睛】該題考查的是有關曲線在某點處的切線的斜率的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，求導公式，屬于簡單題目.16.已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1、e2，則=

．參考答案：2【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找a1，a2，c之間的關系，而根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|并且，，在△F1PF2中根據勾股定理可得到：，該式可變成：=2．【解答】解：如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，設|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化簡得：該式可變成：=2．故答案為：217.若函數與函數有公切線，則實數a的取值范圍是

．參考答案：

(ln,+∞)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數的最小正周期為,（Ⅰ）求的單調遞增區間；

（Ⅱ）在中,角A,B,C的對邊分別是,且滿足,求角B的值，并求函數的取值范圍.參考答案：解析:(1)

,

(2),

19.（本小題滿分12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點，BD交AC于E.(1)若CD＝2，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r.(2)求證：DC2＝DE·DB；

參考答案：(1)∵D是的中點，∴OD⊥AC，設OD與AC交于點F，則OF＝1，在Rt△COF中，OC2＝CF2＋OF2，即CF2＝r2－1，在Rt△CFD中，DC2＝CF2＋DF2，∴(2)2＝r2－1＋(r－1)2，解得r＝3.(2)證明：由D為中點知，∠ABD＝∠CBD，又∵∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD，又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD～△CED，∴＝，∴DC2＝DE·DB；略20.設等差數列{}滿足．(1)求數列{}的通項公式；(2)求的最大值及其相應的n的值；參考答案：因為．所以n=5時，取得最大值21.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D是BC邊的中點，.（1）求證：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先證明平面，根據面面垂直的性質定理可以得到平面平面.（2）以為坐標原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為三棱柱中平面，所以平面，又平面，所以平面平面因為為正三角形，為的中點，所以，又平面平面，所以平面，又平面所以平面平面（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，

設平面的法向量則即令，則得同理可求得平面的法向量設二面角的大小為，所以.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空間