第六章光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播1.薄膜介質(zhì)波導(dǎo)一般概念介質(zhì)薄膜波導(dǎo)如圖，均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)的的縱向剖面，由三層均勻介質(zhì)構(gòu)成。一般地設(shè)定即襯底及覆蓋敷層。中層折射率為厚度為另外兩層折射率分別為為限制光波于介質(zhì)中間傳導(dǎo)層中，應(yīng)使薄膜波導(dǎo)的橫向?qū)挾龋▂向）一般比薄膜波導(dǎo)的厚度大得多，也比光波波長大得多，因此可以認(rèn)為薄膜波導(dǎo)是無限寬，光波在y方向上不受限制。下面用射線法和波動理論法來分析薄膜波導(dǎo)。射線法是把波導(dǎo)中的波看作是均勻平面波在薄膜兩個界面上全反射而形成的，故界面Ⅰ、Ⅱ上的入射角應(yīng)滿足若則取為波導(dǎo)的臨界角。波動理論法則是把薄膜波導(dǎo)中的波看作是滿足介質(zhì)平板波導(dǎo)邊界條件的麥克斯韋方程組的解。此時，在波導(dǎo)的中間介質(zhì)層中波以行波傳輸，襯底和覆蓋層中則是一種倏逝波，光波能量就是由介質(zhì)表面引導(dǎo)下在波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)?，此時所傳輸?shù)牟ǚQ之為導(dǎo)行波。若當(dāng)入射角小于臨界角時，一部分能量由界面折射后不再回到介質(zhì)n1中，此時無法導(dǎo)行光波。這種波成為輻射波。特征方程及橫向諧振特性按射線法的原則，光波在薄膜波導(dǎo)中向z方向傳播可看作是無限大均勻平面波在界面Ⅰ及Ⅱ上依次反射，形成之字形傳播路徑。如圖，薄膜波導(dǎo)中光的入射面為xoz平面。2.射線法分析薄膜波導(dǎo)考察某一時刻經(jīng)A反射后向下傳播的平面波，其波陣面到達(dá)(MC所示)，而面又是在前一時刻傳播的平面波經(jīng)B反射到達(dá)界面Ⅰ，又經(jīng)C反射后的面上重疊會產(chǎn)生干涉，只有當(dāng)兩波相位差的平面波波陣面。這兩個波在時，干涉加強，方可在波導(dǎo)內(nèi)形成振蕩，即可以在波導(dǎo)內(nèi)存在并傳為播。這兩個波之間的相位差可以求得對S波對P波當(dāng)滿足干涉加強條件時，式中，是傳輸光波在真空中的波數(shù)；是介質(zhì)波導(dǎo)的中間層折射率；為波導(dǎo)內(nèi)的入射角。上式稱為薄膜波導(dǎo)的特征方程，或叫作薄膜波導(dǎo)的色散方程。特征方程中表示了電磁波在橫跨薄膜（即沿x方向）時的相位差。是波在界面上的相位躍變，因此，薄膜波導(dǎo)的特征方程表示了由波導(dǎo)中某點出發(fā)沿波導(dǎo)橫的整數(shù)倍。這使向往復(fù)一次回到原處，總的相位變化應(yīng)是原來的波加強，即相當(dāng)于波在波導(dǎo)的橫向諧振，因而成為波導(dǎo)的橫向諧振條件。不僅薄膜波導(dǎo)，任意波導(dǎo)都具橫向諧振特性。波導(dǎo)中含三種色散材料色散模式色散波導(dǎo)色散指波導(dǎo)介質(zhì)材料本身的色散，即當(dāng)折射率隨入射光波波長變化所帶來的色散。在多模介質(zhì)波導(dǎo)中，一個信號同時激發(fā)不同的模式，即使是同一頻率，各模式的群速度也是不同的。為滿足特征方程，對同一個m值即同一個波導(dǎo)模，不同的波長對應(yīng)于不同的入射角。這就是說，對于不同波長的光，即使沒有材料色散存在，但由于波導(dǎo)的諧振條件的要求，波在波導(dǎo)內(nèi)經(jīng)過一段距離傳輸后，將因為入射角不同而具有不同的相位、出射角及出射波導(dǎo)的時間，因此將引起信號失真。導(dǎo)波的模式由特征方程可對給定波導(dǎo)及工作波長對某一個求出形成導(dǎo)波的值。特征方程中的確定可取不同的值，相應(yīng)于不同的值，與此相應(yīng)的一個角入射的平面波形成一個導(dǎo)波模式。或當(dāng)E矢量或H矢量垂直入射面作振動，即時，分別得到TE模或TM模。當(dāng)時，分別可得模，表明各模式的階數(shù)，稱為波指數(shù)。當(dāng)時，即其場沿x方向變化不足半個駐波。當(dāng)時，其場沿x方向變化不足兩個“半駐波”。m越大，導(dǎo)波的模次越高，m表示了導(dǎo)波場沿x方向（薄膜橫向）出現(xiàn)的完整半駐波個數(shù)。由特征方程還可以看出，在其他條件不變的情況下，當(dāng)m增加時，減小。這表明高次模是由入射角較小的平面波構(gòu)成的。當(dāng)較小時，平面波的射線傾斜比較嚴(yán)重，其橫向相位常數(shù)大，駐波密集。導(dǎo)波模式的橫向相位常數(shù)導(dǎo)波模式的軸向相位常數(shù)對于給定的波導(dǎo)和工作波長，模次越高，越小，因而越小。在電磁場解法中將把所有模式中，記為模次最低，故最大。波導(dǎo)的截止波長在射線法中，截止波長可直接由全反射的臨界角求得。按假定決定臨界角由下面襯底的折射率當(dāng)處于臨界狀態(tài)時，界面Ⅱ上的相位躍變即剛剛發(fā)生全反射時的臨界狀態(tài)的入射角可得：對S波并且，同樣應(yīng)用上式于色散方程，并把得到的代入，可得以及由上式可求得不同模式下的截止波長得對TE0模，時當(dāng)由此可見，高階模的臨界波長更小些。對傳輸工作波長的幾種情況討論如下：（1）此光波大于0階的臨界波長，此波不能在波導(dǎo)內(nèi)傳播。（2）此時只有的零階?？梢詡鬏?，即單模運行。（3）這樣的光波對及階模均可被傳輸，發(fā)生多模傳輸。還需指出，對于對稱薄膜波導(dǎo)可以得到，這說明對稱波導(dǎo)沒有截止波長，任何波長的波均可在對稱波導(dǎo)內(nèi)傳播。這時特征方程變成由此可算出對波長為的光波，該波導(dǎo)內(nèi)所允許傳播的模式個數(shù)為雖然射線法討論薄膜波導(dǎo)物理概念清楚易懂，獲得了有價值的結(jié)論，這些結(jié)論不僅適用于薄膜波導(dǎo)，對認(rèn)識其他形式的介質(zhì)波導(dǎo)也是很有價值的。但對更詳細(xì)的場分布、傳輸功率、場方程等問題就無法解決。因此必須要用另一種方法—應(yīng)用電磁場理論—來求電磁波在介質(zhì)波導(dǎo)這樣一種特殊邊界條件下的波動方程解，在此基礎(chǔ)上再去分析傳播模的特性。用電磁理論分析薄膜介質(zhì)波導(dǎo)，就是求滿足邊界條件時麥克斯韋方程的解，在定態(tài)條件下就是求解亥姆霍茲方程在此基礎(chǔ)上再分析其特性。3.用電磁理論求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)薄膜波導(dǎo)中的TE波和TM波在介質(zhì)波導(dǎo)中的波型也可以存在TE波和TM波。按照定義，TE波的E矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向（z方向）上只有磁場分量。而TM波的H矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向上只有電場分量。TE波(a)和TM波(b)的形成可以認(rèn)為，薄膜中的TE波是由垂直偏振的平面波即S波在薄膜邊界上反射而成，而TM波是由E為水平偏振（在入射面內(nèi)振動）的平面波即P波在邊界上反射而成。對于TE波，其電場只有Ey分量(Ez=0)，磁場包括了Hx、Hz分量。而TM波其磁場只有Hy分量(Hz=0)，而電場包括了Ex、Ez分量?？梢杂蓵r諧電磁場的麥克斯韋第一、二方程討論對于所討論的各向同性的均勻介質(zhì)，都是標(biāo)量，把E、H用直角坐標(biāo)下的三分量代入后展開，可得到以下公式。針對現(xiàn)在討論的無窮大平板介質(zhì)波導(dǎo)，考慮到y(tǒng)方向無限大，場在該方向不受限制，因而可得又考慮到光是沿z向傳輸，沿該方向場的變化可用一個傳輸因子來表示。為了普適地討論為電磁波在三層介質(zhì)中的情況，記表示實波矢的z分量。由此得到導(dǎo)波的傳播因子因而有式中是z方向的相位常數(shù)。將上述關(guān)系代入方程組，可得到6個標(biāo)量方程。這6個標(biāo)量方程又可分為兩組，一組只含Ey,Hx,

Hz三個分量，另一組只含Hy,Ex,Ez三個分量，即這兩組方程是完全獨立的，可分別求解，得出兩組獨立的解。第一組方程中電場矢量只包含了Ey分量，因而解得的是TE模；第二組方程的磁場矢量只包含了Hy分量，因而解出的是TM模。對于TE模，求出Ey分量后，可以求得對于TM模，求出Hy分量后，可以求得因此，求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)問題歸結(jié)為TE模的Ey分量及TM模的Hy分量。波導(dǎo)的場方程及其解TE波對TE波應(yīng)先求出Ey，由TE波的振動在波導(dǎo)的橫截面上，即僅具Ey可寫出其電場矢量為分量，并考慮到在z方向的傳播，具有傳播因子為y方向單位矢量。其中將上式代入亥姆霍茲方程，可得式中，角標(biāo)表示對應(yīng)于介質(zhì)波導(dǎo)的三層介質(zhì)，其對應(yīng)的折射率分別為為不同介質(zhì)中的波數(shù)，它們的關(guān)系可表示為或于是可寫出在三層介質(zhì)中的亥姆霍茲方程其振幅應(yīng)可預(yù)見：在中間薄膜層是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯底按前面的分析我們已知，導(dǎo)波在z方向按傳播。而在橫向，于是有及覆蓋層是倏逝波，應(yīng)是衰減解。將上式各區(qū)域中Ey的表達(dá)式代入對應(yīng)的各亥姆霍茲方程，可得由于都必須是正實數(shù)，這就限定這與用射線得出的結(jié)果是一致的。射線法中由及得由為臨界角，可得此處約定下面再利用邊界條件進(jìn)一步求解常數(shù)薄膜波導(dǎo)的邊界條件為：在處，切向分量連續(xù)，切向分量也連續(xù)，由此得也連續(xù)?？傻茫涸诩刺?，在連續(xù)，即處，得這樣可得在連續(xù)，即處，在連續(xù)，即處，因此，只要求出就可求出其他各量。A1可以由輸入波導(dǎo)的導(dǎo)波功率確定。通過以上耦合方程組可以得到參照S波在Ⅰ、Ⅱ界面上全反射相位躍變的公式，并考慮到及可知上式左邊的后兩項正是S波的相位躍變之半，因此上式可寫為或這就是薄膜波導(dǎo)特征方程。波導(dǎo)的場方程及其解TM波（略）對于TM波，應(yīng)先求出TM模的電磁分量為其做法完全類似于TE波求解。寫出磁場矢量為代入以下的亥姆霍茲方程，得到依照TE模推導(dǎo)，設(shè)在三層介質(zhì)中具有如下不同形式，即的解為考慮到薄膜波導(dǎo)的邊界條件：在上、下界面上及連續(xù)，在下界面處以及處即連續(xù)，得即在上界面處，且在處有連續(xù)，得以下推到完全類似于TE波，導(dǎo)出的表達(dá)式及場分布與TE模形式相同，其特征方程也有相同的形式只不過式中與表達(dá)式應(yīng)當(dāng)取作P波的全反射時的相位躍變表達(dá)式。因此，波指數(shù)相同的TE模和TM模的是不同的，從而求解出波的參數(shù)也不同。另外，從TE波（或TM波）求解過程中也可以看出，上式中的正是界面上Ⅱ的相位躍變半角它是決定場分布極大值位置的參量。圖解法求解特征方程薄膜波導(dǎo)特征方程只能通過圖解法或數(shù)值法求解。以TE模為例，上式可改寫為式中為中間層折射率，及分別為基底及覆蓋層折射率。利用三角公式可得，為將上式右端化為的函數(shù)可以利用以下關(guān)系式可得，因此，特征方程的解就是由與的交點，如圖與實線的交點。從左到右各交點（原點除外）相應(yīng)于各階模的解，的值，若薄膜厚度從這些交點的橫坐標(biāo)確定出已知，則通過求得模的傳播常數(shù)截止波長導(dǎo)波的截止波長也可從電磁場解法中導(dǎo)出。從射線法觀點看，出現(xiàn)襯底輻射模的標(biāo)志是而從電磁理論的觀點看，出現(xiàn)襯底輻射模意味著為虛數(shù)，此時由原來的振幅沿x方向衰減的倏逝波變?yōu)橛纱淼妮椛洳ǎ丛诮橘|(zhì)中有向x方向傳播的行波存在，這時能得量從泄漏，此波便無法在薄膜波導(dǎo)中傳播，因此就是確定截止波長的條件。由可見，截止時傳播常數(shù)等于介質(zhì)2中的波數(shù)。于是有可以得到將以上二式代入特征方程，并考慮到可得截止波長這與用射線法求出的結(jié)果完全一致。以TE波為例，薄膜波導(dǎo)中TE波的分量為以及薄膜波導(dǎo)中的特征方程可以求出，它們是小于零的數(shù)。4.介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中的場分布對于TE0?？芍梢?，橫跨薄膜的相位變化即場沿x方向的變化不足半個駐波。由以上公式可以得到按邊界條件：處，處，（3）中間層中，場變化極大值在處，即滿足故有且由可知在界面Ⅰ上的相位移動大于下界面的相移即代入上式這意味著場分布的極大值（波腹）偏向襯底。（4）由及且可知這表示場在覆蓋層中衰減得比在下襯底中快。由以上四點，可以畫出模在波導(dǎo)截面上場分布情況，如圖所示。中間層場在x向變化不足兩個“半駐波”，階數(shù)m越大，在覆蓋層及襯底類似地還可以導(dǎo)出模場分布特征，如對波，中振幅衰減越緩慢，即能量在和二介質(zhì)中延伸部分越多，能量越分散。導(dǎo)波的傳輸功率就是通過波導(dǎo)橫截面的功率。由于薄膜波導(dǎo)在y方向是無限寬，故只計算在y方向上單位寬度上傳輸?shù)墓β?，即計算的條形面積上傳輸?shù)墓β?。寬度?，高度（x方向上）為類似于金屬導(dǎo)波中的求法，傳輸?shù)墓β实扔谠谝蟮慕孛嫔系姆e分，即對于TE波，且考慮到單位寬度的條形面積則得5.介質(zhì)平面波導(dǎo)中的傳輸功率把在x上分布的公式代入上式，進(jìn)行分段積分，得其中是單位寬度的波導(dǎo)傳輸?shù)钠骄β拭芏?，即為等效厚度。表示衰減到處的深度，這一深度正是全反射中的倏逝波的穿透深度因此，傳輸功率可以看作是在厚度為的平板波導(dǎo)中以平均功率密度傳輸。而x方向上實際傳輸功率是變化的，在波腹處傳輸?shù)墓β拭芏葮O大值為對于TM波，利用求得單位寬度的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)傳輸功率其中上式在形式上與TE波類似，但要注意的是，其中的等效厚度與TE波中的值不同，這是因為對于TE波與TM波，與的數(shù)值不同，從而由特征方程對同一個m值及值將有不同的值，這是使的值對于P波與S波均不同而造成的。同樣我們也可以證明，等效厚度中的和就是全反射中用古斯-漢森位移所求出來的倏逝穿透深度。介質(zhì)平板波導(dǎo)中的古斯-漢森位移及穿透深度6.圓形介質(zhì)波導(dǎo)（光纖）的一般概念（a）均勻光纖；（b）非均勻光纖在均勻光纖中可以存在兩種光射線：子午光線—光線處在過光纖軸線的子午面內(nèi)；孤矢光線—不通過光纖軸的光線。對于子午光線，入射角應(yīng)滿足全反射條件此時方可在光纖中傳播。芯層與包層折射率之差直接影響到光纖的性能。引入幾個常用的概念：（1）相對折射率指數(shù)差對于相差極小的光纖，相對折射率指數(shù)差可近似為這種光纖稱為弱導(dǎo)波光纖。（2）數(shù)值孔徑NA數(shù)值孔徑是描寫允許進(jìn)入光纖芯內(nèi)形成導(dǎo)波的光線范圍參數(shù)。如圖。設(shè)光線以與光軸成角度方向從光纖端面入射，設(shè)光纖外的環(huán)境折射率為