B單元函數與導數目錄B1函數及其表示 II）把問題轉化為一元二次方程的實根分布情況求解；(Ⅲ)因為，，所以，.所以曲線在點處的切線方程為.當0<x<1時，這說明在區間（0,1）上，曲線在切線的上方，由已知得：n.所以再由累加法得所證結論.【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三第五次模擬考試（202303）】20.(本小題滿分12分）已知函數（Ⅰ）曲線在點處的切線方程為，求的值；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，試求的取值范圍.【知識點】導數的應用.B12【答案】（Ⅰ）1；（II）.【解析】解析：（Ⅰ）已知則:，，由題意知，∴∴（II）令則i)當時，，當時，，即∴函數在上為增函數∴，即當時，ii)當時，，∴時，，從而，即從而函數在上為減函數∴時，這與題意不符綜上所述當時，，的取值范圍為【思路點撥】（Ⅰ）根據導數的幾何意義求得a值；（II）即恒成立，因為，對a分類討論，確定當時，不等式恒成立的條件.【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三第五次模擬考試（202303）】12.已知R，且≥對∈R恒成立，則的最大值是A．B．C．D．【知識點】導數的應用，數形結合法確定不等式恒成立的條件.B12E8【答案】A【解析】解析：即對∈R恒成立，設直線y=ax與曲線相切的切點為，又，則，所以，，所以，設：，則得，可判斷f(a)在處有最大值，所以的最大值是：，故選A.【思路點撥】≥對∈R恒成立，即對∈R恒成立，即直線y=ax恒在曲線的下方，為此先求直線y=ax與曲線相切的條件，，再用導數法求得ab的最大值.【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆河南省鄭州市高三第二次質量預測（202303）WORD版】21．（本小題滿分12分）已知函數f(x)=ax＋ln(x－1)，其中a為常數．（I）試討論f(x)的單調區間，(II)若時，存在x使得不等式成立，求b的取值范圍．【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．B11B12【答案】【解析】(Ⅰ)單調增區間為，減區間為;（Ⅱ）解析：（1）由已知得函數的定義域為=當時，在定義域內恒成立，的單調增區間為，當時，由得當時，；當時，的單調增區間為，減區間為.………5分（2）由（1）知當時，的單調增區間為，減區間為.所以所以恒成立，當時取等號.令=，則………7分當時，；當時，從而在上單調遞增，在上單調遞減所以，………10分所以，存在使得不等式成立只需即：………12分【思路點撥】（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域及，再分a≥0時、a＜0時兩種情況考慮即可；（Ⅱ）由（I）可得，令=，求出g（x）的單調區間，從而可得，所以原不等式成立只需，解之即可．【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆河北省衡水中學高三下學期三調（一模）考試（202304）word版】12、若函數，函數，則的最小值為（）A．B．C．D．【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數求閉區間上函數的最值．B11B12【答案】【解析】B解析：設z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，則z的幾何意義是兩條曲線上動點之間的距離的平方，求函數y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的導數，f′（x）=2cos2x，直線y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此時y=six2x﹣=﹣=0，即函數在（，0）處的切線和直線y=x+3平行，則最短距離d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故選：B【思路點撥】根據平移切線法，求出和直線y=x+3平行的切線方程或切點，利用點到直線的距離公式即可得到結論．【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆廣東省茂名市高三第二次模擬考試（202304）WORD版】21.（本小題滿分14分）設函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）設是函數圖象上任意不同的兩點，線段的中點為C，直線AB的斜率為.證明：；（3）設，對任意，都有，求實數的取值范圍.【知識點】利用導數研究函數的單調性；函數的單調性及單調區間；函數單調性的性質；導數在最大值、最小值問題中的應用．B11B12【答案】【解析】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）見解析；（3）。解析：（1）當時，，定義域為…………2分當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為………………4分（2）證明：，……………………5分又，所以，………………6分要證,即證，不妨設，即證,即證，設，即證：,……………7分也就是要證：，其中，事實上：設，則，所以在上單調遞增，因此，即結論成立.…9分（3）由題意得，即，若設，則在上單調遞減，……10分①當時，，，在恒成立，設，則，當時，在上單調遞增，，………………………12分②當時，，，在恒成立，設，，即在單調遞增，故，，綜上所述：.…………14分【思路點撥】（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導函數，令導函數大于0，解出的即為函數的增區間；（2）對于當a=0時，先把f（x）=lnx具體出來，然后求導函數，得到f′（x0），在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數并利用構造函數的單調性比較大小；（3）因為由題意得，即，先寫出的解析式，利用該函數的單調性把問題轉化為恒成立問題進行求解．【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆廣東省廣雅中學高三3月月考（202303）】21.（本小題滿分14分）已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)證明：時，．【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值B11B12【答案】【解析】（1）的減區間是，增區間是和；(2)見解析解析：(1)．……1分①時，當時；當時，．故的減區間是，增區間是．……………3分②時，當或時；當時故的減區間是，增區間是和．………5分③時，，故的增區間是…7分④時，當或時；當時故的減區間是，增區間是和．……8分(2)證明：當時，，當且僅當時取等號，則………………10分當時，上不等式可變形為……12分別令得………13分時，………14分【思路點撥】(1)先對原函數求導,再對a進行分類討論,(2)當時，上不等式可變形為,再利用裂項法即可.【【名校精品解析系列】數學文卷·2023屆湖南省高三十三校聯考第二次考試（202304）】21、（本小題滿分13分）設知函數（是自然對數的底數）．（1）若函數在定義域上不單調，求的取值范圍；（2）設函數的兩個極值點為和，記過點，的直線的斜率為，是否存在，使得？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由．【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數解決參數范圍的問題B11B12【答案】【解析】（1）;（2）解析：（1）的定義域為，并求導，令，其判別式，由已知必有，即或；①當時，的對稱軸且，則當時，，即，故在上單調遞減，不合題意；②當時，的對稱軸且，則方程有兩個不等和，且，，當，時，；當時，，即在，上單調遞減；在上單調遞增；綜上可知，的取值范圍為； ………6分（2）假設存在滿足條件的，由（1）知．因為，所以，若，則，由（1）知，不妨設且有，則得，即……………（*）設，并記，，則由（1）②知，在上單調遞增，在上單調遞減，且，又，所以當時，；當時，，由方程（*）知，，故有，又由（1）知，知（在上單調遞增），又，因此的取值集合是．……………13分【思路點撥】（1）求的定義域為，并對求導，令，再分類討論即可；（2）假設存在滿足條件的，由（1）知．轉化為證明即可?！尽久＞方馕鱿盗小繑祵W文卷·2023屆廣東省茂名市高三第二次模擬考試（202304）WORD版】21、（本小題滿分14分）設函數（1）當時，求函數的單調區間；（2）若對任意恒成立，求實數的最小值；（3）設是函數圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，直線的斜率為.證明：.【知識點】利用導數研究函數的單調性；對數函數的圖像與性質；利用導數研究曲線上某點切線方程．B11B12【答案】【解析】（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）；（3）見解析；解析：（1）的定義域為當時，，………1分當時，，單調遞減當時，，單調遞增，綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為………………3分（2）由題意知：，在上恒成立，即在區間上恒成立，又，在區間上恒成立…………4分又令，則……6分即在恒成立………7分所以在單調遞增，，故，所以實數的最小值.…………………8分（3），…………9分又，所以……10分要證.即證，不妨設，即證，即證………………11分設，即證：，也就是要證：，其中，……………12分事實上：設，則，……………13分所以在上單調遞增，因此，【思路點撥】（1）當a=1時求出g′（x），然后在定義域內解不等式，，從而得到函數g（x）的單調區間；（2）對任意的恒成立，等價于對，恒成立，構造函數轉化為函數最值解決，利用導數即可求得最值；(3)求出直線AB的斜率為k和f′（x0），整理后把證明轉化為證明．構造函數，利用導數證明該函數在上為增函數證得結論．【【名校精品解析系列】數學文卷·2023屆廣東省茂名市高三第二次模擬考試（202304）WORD版】10、已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為.若函數，且，，則實數的取值范圍是（） D.【知識點】利用導數研究函數的單調性．B12【答案】【解析】D解析：是增函數，所以有，所以當不是增函數時，有.綜上所述，可得的取值范圍是.【思路點撥】有，所以當不是增函數時，有.綜上所述，可得的取值范圍是.【【名校精品解析系列】數學（理）卷·2023屆湖北省黃岡中學等八校高三第二次模擬考試（202304）WORD版】22.（本小題滿分14分）已知函數令.（Ⅰ）當時，求函數的單調遞增區間；（Ⅱ）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；（Ⅲ）若，正實數滿足，證明：【知識點】利用導數求函數的單調區間；利用導數解決不等式恒成立的問題；利用導數證明不等式B11B12【答案】【解析】(Ⅰ)；(Ⅱ)2；（Ⅲ）見解析解析：=1\*GB2⑴……2分由得又所以．所以的單增區間為.………4分（2）方法一：令所以．當時，因為，所以所以在上是遞增函數，又因為所以關于的不等式不能恒成立．………6分當時，．令得，所以當時，當時，．因此函數在是增函數，在是減函數．故函數的最大值為…………8分令因為又因為在上是減函數，所以當時，．所以整數的最小值為2．……………10分方法二：=2\*GB2⑵由恒成立，得在上恒成立．問題等價于在上恒成立．令，只要．……6分因為令得．設，因為，所以在上單調遞減，不妨設的根為．當時，當時，．所以在上是增函數；在上是減函數．所以．…8分因為所以此時所以即整數的最小值為2……10分（3）當時，由即從而……13分令則由得，可知在區間（0，1）上單調遞減，在區間上單調遞增。所以所以即成立.………14分【思路點撥】(Ⅰ)由直接可解得其單調遞增區間；(Ⅱ)先把原不等式等價轉化為在上恒成立，再結合導數求解參數的范圍；（Ⅲ）利用導數判斷出單調區間即可。B13定積分與微積分基本定理【【名校精品解析系列】數學理卷·2023屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三第五次模擬考試（202303）】10.已知數列為等比數列，且，則的值為A．B．C．D．【知識點】等比數列的的