溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.在數列1，2，7，10，13，…中，219是這個數列的第()項 項 項 項【解析】選C.因為a1=1=1，a2=2=4，a3=7，a4=10，a5=13，…，所以an=3n-2.令an=3n-2=219=2.(2023·海口高二檢測)由a1=1，d=3確定的等差數列{an}，當an=298時，序號n等于() B.100 【解析】選B.由題意得，1+n-13.(2023·長沙高一檢測)不可以作為數列：2，0，2，0，…，的通項公式的是()=2(n=2k-1,k∈=2sin=(-1)n+1=2cos【解析】選C.經檢驗選項C不可以作為數列：2，0，2，0…的通項公式，而是數列0，2，0，2，…的一個通項公式.4.已知等差數列5，427，347，…的前n項和為Sn，則使得S() B.8 或8 或9【解析】選C.等差數列5，427，347，…的首項為5，公差為-57，所以通項公式an=5+=57所以當1≤n<8時，an>0；當n=8時，an=0；當n≥9時，an<0，所以當n=7或8時Sn最大.【延伸探究】記本題數列為{an}，求數列an的前n項和Tn【解析】Sn=5n+nn-12=514n15當1≤n≤8時，Tn=Sn=514n15當n≥9時，Tn=S8-Sn-S8=2S8-Sn=40-綜上知，Tn=55.(2023·武威高二檢測)若a1=3，a2=6，an+2=an+1-an，則a55等于() 【解析】選A.由題意得a3=a2-a1=6-3=3，a4=a3-a2=3-6=-3，a5=a4-a3=-3-3=-6，a6=a5-a4=-6--3a7=a6-a5=-3--6所以該數列按3，6，3，-3，-6，-3，周期變化.所以a55=a6×9+1=a1=3.6.在正項等比數列an中，a3=29，S3=269，則數列A.34×23n ×13n-1 D.2【解析】選C.設{an}的公比為q(q>0)，則a所以12q2-q-1=0，所以q=13或q=-14(舍)，a所以an=a1qn-1=2×137.(2023·邢臺高一檢測)設an=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*)，那么an+1-aA.12n+1 B.C.12n+1+12n+2 【解析】選D.因為an=1n+1+1n+2+…+12n所以an+1=1n+2+…+12n+12n+1+1所以an+1-an=-1n+1+12n+1=12n+1-1【誤區警示】解答本題時若對題意理解不準確，則容易出現an+1-an=12n+1+18.(2023·深圳高二檢測)記等差數列{an}的前n項和為Sn.若a5+a21=a12，那么S27=()015 014 013 【解析】選D.因為數列{an}是等差數列，所以a5+a21=2a13，又a5+a21=a12，所以2a13=a12，所以a13+a13-a12=0，所以a13+d=0，即a14=0，所以S27=27a1+a9.下面是關于公差d>0的等差數列{an}的四個命題：p1：數列{an}是遞增數列；p2：數列{nan}是遞增數列；p3：數列annp4：數列{an+3nd}是遞增數列.其中的真命題為()，p2 ，p4，p3 ，p4【解析】選D.對于p1，數列{an}的公差d>0，所以數列是遞增數列；對于p4，因為(an+1+3(n+1)d)-(an+3nd)=d+3d=4d>0，是遞增數列.對于p2，因為(n+1)an+1-nan=(n+1)an+(n+1)d-nan=a1+2nd，a1不知道正負，不一定大于零，所以不一定是遞增數列；同理，對于p3，也不一定是遞增數列，故選D.10.(2023·荊州高一檢測)數列an的各項都是正數，且數列log3an是等差數列，若a5a6+a4a7=18，則log3a B.10 +log3【解析】選B.因為數列lo所以log3an+1-log3an=log3an+1所以an+1an=3d所以數列an所以a5a6=a4a又a5a6+a4a7=18，所以a5a6=a所以a1a10=a2a9=…=a4a7=a所以log3a1+log3a2+…+log=log3a1a2·…·a11.一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了3個伙伴；第2天，4只蜜蜂飛出去，各自找回了3個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中蜜蜂的總只數為() B.729 024 【解析】選D.設第n天蜂巢中的蜜蜂數量為an，由題意可得數列{an}成等比數列，它的首項為4，公比q=4，所以{an}的通項公式：an=4·4n-1=4n，所以到第6天，所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂.【補償訓練】我國歷史上對數列概念的認識起源于公元前幾百年前.在公元前一百年前成書的《周髀算經》提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中測影，在二十四節氣中，冬至影長1丈3尺5寸，以后每一節氣遞減9寸9分(以10寸計算)，則9尺5寸應是二十四節氣中從冬至開始的第__________個節氣.【解析】用{an}表示從冬至開始的“影長”組成的等差數列，則a1=135，an=95，公差d=-10，所以由an=a1+(n-1)d，得n=an答案：512.設{an}是公比為q的等比數列，首項a1=164，對于n∈N*，bn=log12an，當且僅當n=4時，數列{bn}的前n項和Tn取得最大值A.(3，23) B.(3，4)C.(22，4) D.(22，32)【解析】選C.因為等比數列{an}的公比為q，首項a1=164所以bn+1-bn=log12an+1-log12an=lo所以數列{bn}是以log12q為公差，以log1所以bn=6+(n-1)log1由于當且僅當n=4時，Tn最大，所以log12所以6所以-2<log12q<-即22<q<4.二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.等差數列{an}中，a2=8，S10=185，則數列{an}的通項公式an=__________(n∈N*).【解析】設等差數列{an}的公差為d，因為a2=8，S10=185，所以a解得a1=5，d=3.所以an=5+(n-1)×3=3n+2.答案：3n+214.(2023·泰興高一檢測)等比數列{an}前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數，那么數列T10，T13，T17，T25【解析】a3a6a18=a13q2+5+17=(a1q8即a9為定值，所以下標和為18的兩項積為定值，可知T17為定值.答案：T1715.已知數列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，an+1-an=bn+1bn=2，n∈N*，則數列{b【解析】因為an+1-an=bn+1所以數列{an}是等差數列，且公差是2，數列{bn}是等比數列，且公比是2.又因為a1=1，所以an=a1+(n-1)d=2n-1，所以ban=b2n-1=b1·22n-2=2設cn=ba所以cn=22n-2，所以cncn-1所以數列{cn}的前n項和為1×(1-4n)1-4答案：13(4n16.定義na1+a2+…+an為n個正數a1，a2，…，an的“均倒數”.若已知數列{an}的前【解析】由題可知：na1+所以a1+a2+…+an=n·(2n+1)，所以a1+a2+…+an+an+1=(n+1)·(2n+3)，兩式相減得：an+1=(n+1)·(2n+3)-n·(2n+1)=4(n+1)-1，又因為1a1=13，即a1答案：4n-1三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2023·德州高二檢測)在等差數列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項，求數列{an}的首項、公差及前n項和.【解析】設該數列公差為d，前n項和為Sn.由已知，可得2a1+2d=8，a1+3d2所以a1+d=4，dd-3解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，當a1=4，d=0時，Sn=4n.當a1=1，d=3時，Sn=3n18.(12分)(2023·畢節高一檢測)已知{an}是首項為19，公差為-2的等差數列，Sn為{an}的前n項和.(1)求通項an及Sn.(2)設{bn-an}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{bn}的通項公式及前n項和Tn.【解析】(1)因為a1=19，公差d=-2，所以an=19-2(n-1)=21-2n，Sn=19n+12n(n-1)×(-2)=20n-n2(2)由題意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1，所以bn=3n-1-2n+21，所以Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+3n19.(12分)在數列{an}中，已知a1=-1，an+an+1+4n+2=0.(1)若bn=an+2n.求證：{bn}是等比數列，并寫出{bn}的通項公式.(2)求{an}的通項公式及前n項和Sn.【解析】(1)b1=1，bn+1bn=a所以{bn}是以1為首項，-1為公比的等比數列.bn=(-1)n-1.(2)an=bn-2n=(-1)n-1-2n，當n為偶數時，Sn=-n2-n，當n為奇數時，Sn=1-n2-n.【補償訓練】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2=17，S10=100.(1)求數列{an}的通項公式.(2)若數列{bn}滿足bn=(-1)nan，求數列的前n項和Tn.【解析】(1)設等差數列{an}的公差為d，依題意有a解得a故an=19+(n-1)(-2)=21-2n.(2)由(1)知，bn=(21-2n)(-1)n.①當n為偶數時，則Tn=(-19)+17+(-15)+13+…+(2n-23)+(21-2n)=(-2)+(-2)+…+(-2)=n2②當n為奇數時，則Tn=Tn-1+an=-(n-1)+(2n-21)=n-20.綜上可知，Tn=n20.(12分)(2023·南昌高二檢測)數列{an}的前n項和為Sn，an是Sn和1的等差中項，等差數列{bn}滿足b1+S4=0，b9=a1.(1)求數列{an}，{bn}的通項公式.(2)若cn=1(bn+16)(bn【解析】(1)因為an是Sn和1的等差中項，因為Sn=2an-1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1，所以an=2an-1，當n=1時，a1=S1=2a1-1，所以a1=1，所以an≠0(n∈N*)，因為an所以數列{an}是以a1=1為首項，2為公比的等比數列，所以an=2n-1，Sn=a1+a2+…+an=2n-1，設{bn}的公差為d，b1=-S4=-15，b9=-15+8d=1?d=2，所以bn=-15+(n-1)×2=2n-17.(2)cn=1(2n-1)(2n+1)=1所以Wn=121-1【補償訓練】已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an=Snn+n-1(n∈N(1)求證：數列Sn(2)設數列1anan+1的前n項和為Tn【解析】(1)由題意可得nan=Sn+n(n-1)，所以n(Sn-Sn-1)=Sn+n(n-1)，(n∈N*，n≥2)，即(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)，所以Snn-Sn-1(2)由(1)得Snn=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n所以an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，(n∈N*，n≥2)，又a1=1適合上式，所以an=2n-1.所以1an=12所以Tn=1=n2n+121.(12分)已知Sn為正項數列{an}的前n項和，且滿足Sn=12an2+12(1)求a1，a2，a3，a4的值.(2)求數列{an}的通項公式.【解析】(1)由Sn=12an2+12a1=12a12+12a1S2=a1+a2=12a22+12a2同理，a3=3，a4=4.(2)Sn=12an2+12當n≥2時，Sn-1=12an-12+12①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1，又由(1)知a1=1，故數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，故an=n.22.(12分)(2023·襄陽高一檢測)已知數列an是各項均為正數的等差數列，首項a1=1，其前n項和為Sn，數列bn是等比數列，首項b1=2，且b2S2=16，b3S(1)求數列an和b(2)令c1=1，c2k=a2k-1，c2k+1=a2k+kbk，其中k∈N*，求數列cn的前n(n≥3)項的和Tn【解析】(1)設數列{an}的公差為d(d>0)，數列{bn}的公比為q，則2解得d所以an=2n-1，bn=2n.(2)當n=2k+1(k∈N*)時T2k+1=c1+c2+c3+c4+…+c2k+c2k+1=1+(c2+c4+…+c2k)+(c3+c5+…+c2k+1)=1+(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+b1+a4+2b2+…+a2k+kbk)=1+(a1+a2+