第2章平面向量向量的線性運算2.2.1向量的加法A級基礎鞏固1．下列等式錯誤的是()A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋aC．a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c \o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝2eq\o(AB,\s\up13(→))解析：根據運算律知，選項A、B、C顯然正確，對于選項D，應為eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝0.故D項錯誤．答案：D2．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，O是AC與BD的交點，則eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝()\o(CD,\s\up13(→)) B．－eq\o(CO,\s\up13(→))\o(DA,\s\up13(→)) \o(CO,\s\up13(→))解析：eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\o(CO,\s\up13(→)).答案：B3．在四邊形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))，則()A．四邊形ABCD為矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是正方形D．四邊形ABCD是平行四邊形解析：由向量加減法的平行四邊形法則知四邊形ABCD是平行四邊形．答案：D4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同 B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同 D．與向量b方向相反解析：a∥b且|a|>|b|>0，所以當a，b同向時，a＋b的方向與a相同，當a，b反向時，因為|a|>|b|，所以a＋b的方向仍與a相同．答案：A5．在四邊形ABCD中，給出下列四個結論，其中一定正確的是()\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→)) \o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→)) \o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))解析：由向量加減法法則知eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))，C項只有四邊形ABCD是平行四邊形時才成立.eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→)).答案：B6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(BC,\s\up13(→))＝b，eq\o(CA,\s\up13(→))＝c，則a＋b＋c＝________．解析：由向量加法的三角形法則，得eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，則a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0.答案：0\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(FA,\s\up13(→))＝__________．答案：08．已知△ABC是正三角形，則在下列各等式中不成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))|B．|eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|C．|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))|D．|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))|解析：如圖所示，作出正三角形ABC，AD，CE分別是三角形的中線，利用平行四邊形法則：|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up13(→))|，|eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up13(→))|.又因為△ABC為正三角形，所以|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(CE,\s\up13(→))|.故C項正確．A、D兩項直接利用三角形法則判斷也是正確的，只有B項不正確．答案：B9.如圖所示，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°.則在下列各結論中，正確的結論個數為________．①|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|②|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))|③|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|④|eq\o(AB,\s\up13(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up13(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|2解析：以eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))為鄰邊作平行四邊形ABDC，則ABDC為矩形，而矩形的對角線相等，故①③均正確，另外兩個可直接求解也是正確的．答案：4個10．化簡：(1)eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))；(2)eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→)).解：(1)eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→)).(2)eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝0.B級能力提升11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝1，則|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|＝________．解析：eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))，在菱形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝1，又∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形．所以|eq\o(BD,\s\up13(→))|＝1.答案：112.如圖所示，用兩根繩子把重為10N的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計)．解：設eq\o(CE,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))分別表示A，B處所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up13(→))表示，則eq\o(CE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(CG,\s\up13(→))(如圖所示)．因為∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|eq\o(CE,\s\up13(→))|＝|eq\o(CG,\s\up13(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(N)，|eq\o(CF,\s\up13(→))|＝|eq\o(CG,\s\up13(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(N)．故A和B處所受力的大小分別為5eq\r(3)N，5N.13.如圖所示，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，P為平面內任意一點，求證：eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＋eq\o(PD,\s\up13(→))＝4eq\o(PO,\s\up13(→)).證明：eq\o(PO,\s\up13(→))＝eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(AO,\s\up13(→))，①eq\o(PO,\s\up13(→))＝eq\o(PD,\s\up13(→))＋eq\o(DO,\s\up13(→))，②eq\o(PO,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(BO,\s\up13(→))，③eq\o(PO,\s\up13(→))＝eq\o(PC,\s\up13(→))＋eq\o(CO,\s\up13(→))，④因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))＝－eq\o(CO,\s\up13(→))，eq\o(BO,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→))＝－eq\o(DO,\s\up13(→)).①＋②＋③＋④，得4eq\o(PO,\s\up13(→))＝eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＋eq\o(PD,\s\up13(→))＋(eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(CO,\s\up13(→)))＋