第29課時幾類不同增長的函數模型課時目標1.掌握常見增函數的定義、圖象、性質并體會其增長快慢．2．理解直線上升、對數增長、指數爆炸增長的含義．識記強化1．三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數增函數增函數圖象的變化隨x增大逐漸與y軸平行隨x增大逐漸與x軸平行隨n值而不同2.三種函數的增長速度比較(1)在區間(0，＋∞)上，函數y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數，但增長速度不同，且不在同一個“檔次”上．(2)隨著x的增大，y＝ax(a>1)增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢．(3)存在一個x0，當x>x0時，有ax>xn>logax課時作業(時間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最符合的函數模型是()x34567yA.一次函數B．二次函數C．指數型函數D．對數型函數答案：C解析：畫出圖形，如圖所示．隨著自變量x的增加，函數值y以“爆炸”式的速度增長，故為指數型函數模型．2．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據．現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x23456y＝log2xB．y＝2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1)D．y＝答案：A解析：解，對于A，函數y＝log2x，是對數函數，增長速度緩慢，且在x＝2時y＝1，x＝4時y＝2，基本符合要求；對于B，函數y＝2x是指數函數，增長速度很快，且在x＝2時y＝4，x＝4時y＝16，代入值偏差較大，不符合要求；對于C，函數y＝eq\f(1,2)(x2－1)是二次函數，且當x＝2時y＝，x＝4時y＝，代入值偏差較大，不符合要求；對于D，函數y＝是周期函數，且在[2,3]內是減函數，x＝3時y＜0，x＝4時y＜0，不符合要求．故選A.3．某種細菌在培養過程中，每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，則這種細菌由1個繁殖成4096個需經過()A．12小時B．4小時C．3小時D．2小時答案：C解析：設共分裂了x次，則有2x＝4096.∴2x＝212，即x＝12.又∵每次15分鐘，∴共15×12＝180分鐘，即3小時．4．某公司營銷人員的月收入與其每月的銷售量成一次函數關系，已知銷售1萬件時，收入為800元，銷售3萬件時，收入為1600元，那么沒有銷售時其收入為()A．200元B．400元C．600元D．800元答案：B解析：設月收入y元與銷售量x萬件之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，將已知條件代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800＝k·1＋b,1600＝k·3＋b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝400,b＝400))，∴y＝400x＋400，當x＝0時，y＝400.因此，營銷人員在沒有銷售時的收入是400元．5．據報道，某淡水湖的湖水在50年內減少了10%，若年平均減少率相等，按此規律，設2023年的湖水量為m，從2023年起，經過x年后湖水量y與x的函數關系為()A．y＝B．y＝(1－mC．y＝D．y＝(1－m答案：C解析：設每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝，所以q%＝，所以x年后的湖水量y＝.6.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系：y＝at，有以下敘述：①這個指數函數的底數為2；②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2；③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經過個月；④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2＝t3.其中正確的命題個數為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：由圖象可知①②⑤正確．二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)7．若a＞1，n＞0，那么當x足夠大時，ax，xn，logax的大小關系是________．答案：ax＞xn＞logax解析：由教材結論易知ax＞xn＞logax.8．一個水池每小時注入水量是全池的eq\f(1,10)，水池還沒注水部分的總量y隨注水時間x變化的關系式是________．答案：y＝1－eq\f(1,10)x(0≤x≤10)解析：依題意列出函數式即可．9．一等腰三角形的周長是20，底邊y是關于腰長x的函數，則它的解析式為________．答案：y＝20－2x(5＜x＜10)解析：周長＝20＝y＋2x，故得y＝20－2x，又y＞0，得x＜10.又三角形兩邊之和大于第三邊，有2x＞y，即2x＞20－2x，得x＞5.∴5＜x＜10.三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)某貨物，如果月初售出可獲利100元，再將本利都投資，已知投資獲得的月利率為%.如果月末售出可獲利120元，但要付保管費5元．問這種貨物是月初售出好，還是月末售出好？解：設這種貨物的成本費為a元，則若月初售出，到月末可獲利y1＝100＋(a＋100)×%＝＋；若月末售出，可獲利y2＝120－5＝115(元)．又y1－y2＝－＝(a－525)，所以當a>525時，y1>y2；當a＝525時，y1＝y2；當a<525時，y1<y2.故當成本大于525元時，月初售出好；當成本為525元時，月初售出與月末售出獲利相等；當成本小于525元時，月末售出好．11．(13分)某工廠今年1月、2月、3月分別生產某產品1萬件、萬件、萬件．為估計以后每月的產量，以這三個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y(單位：萬件)與月份x的關系，模擬函數可選用二次函數或函數y＝a·bx＋c(a，b，c為常數)．已知4月份該產品的產量為萬件，請問：用以上哪個函數作模擬函數較好？并說明理由．解：設二次函數y＝Ax2＋Bx＋C(A≠0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＋C＝1,4A＋2B＋C＝，,9A＋3B＋C＝)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－,B＝,C＝)，所以二次函數為y＝－＋＋，當x＝4時，y＝；若y＝a·bx＋c(a，b，c為常數)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1,ab2＋c＝，,ab3＋c＝)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－,b＝,c＝)，即y＝－×＋，當x＝4時，y＝－×＋＝.由此可知，用函數y＝－×＋作模擬函數比較好．能力提升12．(5分)擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由f(m)＝×[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整數，如[4]＝4，[]＝3，[]＝4，則從甲地到乙地通話時間為分鐘的話費為()A．B．C．D．答案：C解析：f＝××[]＋1)＝××6＋1)＝.13．(15分)森林具有凈化空氣的功能，經研究發現，森林凈化空氣量Q與森林面積S的關系是Q＝50log2eq\f(S,10).(1)若要保證森林具有凈化效果(Q≥0)，則森林面積至少多少個單位？(2)當某森林面積為80個單位時，它能凈化的空氣量為多少個單