第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線______的角叫仰角，在水平線______的角叫俯角(如圖①)．上方下方2．方位角：從正_____方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角(如圖②，B點(diǎn)的方位角為α)．北思考探究1．仰角、俯角、方位角有何區(qū)別？提示：三者的參照位置不同．仰角與俯角是相對(duì)于水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的角(如圖③)．

(1)北偏東α：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(2)東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.(3)其他方向角類似．思考感悟2．如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測點(diǎn)的距離即可惟一確定一點(diǎn)的位置．4．坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡比)．課前熱身1．若點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西30°，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的(

)A．北偏西30°

B．北偏西60°C．南偏東30°D．東偏南30°答案：C2．(2012·泉州質(zhì)檢)在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角為70°，則∠BAC等于(

)A．10°B．50°C．120°D．130°答案：D4.我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島A沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行,我艦要用2小時(shí)追上敵艦,則需要的最小速度為________．答案：14海里/小時(shí)5.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，這條河的寬度為________．答案：60m考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破考點(diǎn)1測量距離對(duì)于不可抵達(dá)的兩地之間距離的測量問題(如海上、空中兩地測量，隔著某一障礙物兩地測量等)，解決的思路是建立三角形模型,轉(zhuǎn)化為解三角形問題．一般根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定理．如圖，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，例1【名師點(diǎn)評(píng)】求距離問題一般要注意：(1)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng)(在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，如例題中的CD)．(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定．(3)利用正弦定理還是余弦定理要確定.考點(diǎn)2測量高度測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用到立體幾何知識(shí)，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決．如圖,為測量鼓浪嶼鄭成功雕像AB的高度及取景點(diǎn)C與

F之間的距離(B、C、D、F在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B、C、D三點(diǎn)共線)，某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C、D、F三點(diǎn)處測得頂點(diǎn)A的仰角分別為45°、30°、30°.若∠FCB＝60°,CD＝16(－1)米．例2(1)求雕像AB的高度；(2)求取景點(diǎn)C與F之間的距離．【思路分析】

(2)根據(jù)已知條件設(shè)未知數(shù)并逆用余弦定理求解．【失誤點(diǎn)評(píng)】例2有三處易錯(cuò)點(diǎn)：(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)做平面問題處理，從而致錯(cuò)；(2)對(duì)仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯(cuò)；(3)第二問不會(huì)計(jì)算,要會(huì)逆用余弦定理求解參數(shù)問題．考點(diǎn)3測量角度解決有關(guān)海上或空中測量角度的問題(如確定目標(biāo)的方位、觀察某一建筑物的視角等)的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中,該三角形中已知哪些量，需求哪些量等．(2010·高考福建卷節(jié)選)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．例3假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．【思路分析】

(1)滿足△AOC為Rt△時(shí)最小；(2)利用余弦定理構(gòu)造v關(guān)于t的函數(shù)．【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步,通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時(shí)也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．互動(dòng)探究本例條件不變，問是否存在v，使得小艇以v海里/時(shí)的航行速度行駛時(shí)，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說明理由．方法技巧解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡角、仰角、俯角、方位角等．方法感悟(2)根據(jù)題意畫出示意圖．(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解.演算過程中,要求算法簡練，計(jì)算正確，并作答．(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義,對(duì)解進(jìn)行取舍．失誤防范在解實(shí)際問題時(shí)，需注意的兩個(gè)問題(1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞,并能準(zhǔn)確地找出這些角；(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決．考向瞭望把脈高考命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看，利用正弦定理、余弦定理解決與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn)，一般以解答題的形式考查,主要考查計(jì)算能力和分析問題、解決實(shí)際問題的能力,常與解三角形的知識(shí)及三角恒等變換綜合考查．預(yù)測2013年福建高考仍將以利用正弦、余弦定理，解決與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題為主要考點(diǎn)，尤其關(guān)注知識(shí)交匯處題型訓(xùn)練，重點(diǎn)考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)