§3.4協方差及相關系數一、協方差二、協方差矩陣三、相關系數四、條件數學期望五、條件期望的預測含義

對于二維隨機變量，除了討論X與Y的數學期望和方差以外，還需要討論描述X與Y之間相互關系的數字特征，本節討論這方面的數字特征。一、協方差E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又

E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0所以

E(X-EX)(Y-EY)=0。

設(X，Y)為二維隨機向量，EX，EY均存在，如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱其為隨機變量X與Y的協方差，記為cov(X,Y)，即1、定義cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

可以證明，如果X，Y的方差存在，則協方差cov(X,Y)一定存在，且滿足下列不等式5)

D(aX+bY)=2、協方差的性質6)若X與Y獨立，則cov(X,Y)=0,D(X+Y)=DX+DY例3.22解：例3.23解：()

的聯合密度函數為，設連續型隨機向量YX()?íì￡￡￡=其它，0108yxxyyxg．，求)(),cov(YXDYX+

?íì￡￡-=其它010)1(4)(2xxxxgX?íì￡￡=其它0104)(3yyygYò+￥￥-=dxxxgEXX)(ò-=102)1(4dxxxx158=例3.23(續1)D(X+Y)ò+￥￥-=dyyygEYY)(ò=1024dyyy54=94=EXYò+￥￥-=dxxgxEXX)(22ò-=1022)1(4dxxxx31=ò+￥￥-=dyygyEYY)(22ò=10224dyyy32=104)(3￡￡=yyygY

，10)1(4)(2￡￡-=xxxxgX

，158=EX二、協方差矩陣都存在，且稱矩陣：為n維隨機變量(X1，X2，…，Xn)的協方差矩陣。若記X=(X1，X2，…，Xn)，則X的協方差矩陣可記為DX。為隨機變量X與Y的相關系數。相關系數是一個無量綱的量。三、相關系數稱則稱X與Y不相關；則稱X與Y正相關；則稱X與Y負相關。若對X與Y進行標準化變換二元正態分布的相關系數的計算(X,Y)~相關系數的性質對二元正態分布：X，Y獨立=0X，Y不相關。若X與Y之間沒有線性關系并不表示它們之間相互獨立，也不表示它們之間沒有關系。補充說明的量．之間線性關系緊密程度與量相關系數是表征隨機變YX存在著線性關系；之間以概率與時，當，11YXYX=r之間的線性關系越弱；與時，越接近于當，YXYX0r一定不獨立。與且，之間一定存在線性關系與，則若，YXYXYX01r例3.25解：獨立。是否不相關，是否相互與判斷，上的均勻分布，服從設

Y

XYX

,cossin],[q=q=pp-qòpp-qqp=dEX

sin21òpp-qqp=dEX

cos21òpp-qqp=dDX

2sin21òpp-qqp=dDY

2cos21òpp-qqqp=dEXY

cossin210=0=21=0=0=21=四、條件數學期望離散型隨機向量的條件數學期望連續型隨機向量的條件數學期望例3.26例3.27()服從圓域：，設二維隨機向量YX122￡+yx).1||(]|[

<=yyYXE試求的條件密度為時，可知，當由例

|

Xy1|8.3<()???íì-￡￡---=其它011121222yxyyyxfYX解：條件數學期望的性質隨機變量X關于隨機變量Y的條件數學期望例3.28()服從二元正態分布：，設二維隨機變量YX()()rssmm，，，，，222121~NYX].|[YXE

求