第七章假設檢驗

統計推斷的另一類重要問題是假設檢驗問題.

在總體的分布函數類型已知，但參數未知或分布函數完全未知的情況下，為了推斷總體的某些未知特性，需要提出某些關于總體的假設。例如，提出總體服從二項分布的假設，或者，對于正態總體提出數學期望等于的假設等，然后根據樣本所提供的信息去檢驗所作的假設是否合理.經檢驗后，若假設合理，就接受這個假設，否則就拒絕這個假設.這種首先提出假設，然后由樣本信息來決策是否接受假設的過程稱為假設檢驗.本章主要內容

第一節假設檢驗概述第二節正態總體參數的假設檢驗第三節兩個正態總體參數相等的假設檢驗重點介紹第一節和第二節一、三種典型問題:已知總體的樣本資料,要求推斷①該總體的均值是否等于某值?②兩總體的方差是否相等?③該總體的分布是否為某種分布?0.4970.5060.5180.5240.4480,5110.5100.5150.512問這天包裝機的工作是否正常?問題1

某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,額定標準為每袋凈重0.5公斤.設包裝機稱得的糖重服從正態分布,并知起標準差=0.015(公斤).某天開工后,為檢驗包裝機的工作是否正常,速記抽取它包裝的糖9袋,稱得凈重為:

第一節假設檢驗概述總體的均值是否等于額定值0.5？問題2在甲乙兩臺機床上加工同一種零件的外圓(公差要求相同),現從它們加工的產品中各抽取8件,測得其外徑如下:甲:10.28,10.34,10.45,10.29,10.247,10.30乙:10.30,10.34,10.36,10.24,10.38,10.48,問它們的加工質量有無差別?設X、Y分別表示甲乙機床加工零件的外徑，問題為檢驗假設H0:“E(X)=E(Y)”嗎?即兩總體期望相等嗎？問題3

如測得總體X的一組樣本值(x1,x2,…xn),

問X是否服從N(,2)?即檢驗假設H0:“X~N(,2)”是否成立假設檢驗:從樣本出發,判斷一種假設“H0”是否成立的問題稱為假設檢驗問題.問題1、2是參數檢驗,問題3是分布檢驗

所以假設檢驗按檢驗對象分類可分為參數檢驗和非參數檢驗（我們只講參數檢驗）假設檢驗就是對總體X作某種假設，然后依據樣本數據，判定假設“H0”是否成立的推斷方法。假設檢驗的基本方法：類似于反證法，但是帶有概率性質，具體說就是為了檢驗一個假設是否成立，先假定這個假設成立，在此前提之下進行推導，看會得到什么結果，如果導致了一個不合理現象的出現，則表明假定該假設成立不正確，即原假設不能成立，此時，拒絕這個假設；如果沒有導致不合理現象的出現，則接受這個假設，其中“不合理想象”的標準是：小概率原理

可以認為在一次試驗中小概率事件不會發生.在假設成立的前提下，如果小概率事件在一次試驗中竟然發生了，則實屬反常，有理由懷疑假設不成立.引例1

某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，額定標準為每袋凈重0.5公斤。設實際袋重服從正態分布，且=0.015。某天開工后，隨機抽取9袋，稱得凈重為

0.497,0.560,0.518,0.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512.

問包裝機的工作是否正常?

二、問題的引出思考：怎樣算是“包裝機的工作正常”？總體的均值是否等于0.5？平均袋重應當穩定在額定標準！當H0為真時如果過分大,則有理由懷疑H0的正確性，從而拒絕H0分析記包裝機所包裝的糖的重量為X,則假設H0：=0=0.5

，代入樣本值，計算可得小概率事件在一次試驗中竟然發生了，因此，我們有理由認為，假設H0不真，而拒絕之。有理由認為包裝機工作不正常。{|U|≥1.96}是一個概率很小的事件！比如取=0.05，就有當H0為真時從而拒絕H0，接受H1，即認為包裝機的工作不正常。臨界值點解:假設H0：=0=0.5，記H1：≠0=0.5，由于X～N(0，2),故檢驗統計量對于給定的=0.05，檢驗水平有P{|U|>z/2=1.96}=0.05拒絕域實際計算得原假設備擇假設當H0為真時，說明接受域和拒絕域/2/2接受域拒絕域拒絕域原假設:是接受檢驗的假設,記作H0備擇假設:當原假設被否定時生效的另一種假設,記作H1.也叫對立假設注意:原假設和備擇假設是相互對立的.原假設和備擇假設統稱為統計假設.例如,關于總體平均值的假設有三種:①H0:=0

H1:≠0

②H0:=0

H1:<0

③H0:=0

H1:>0

第一種類型的假設檢驗稱為雙邊檢驗,第二種為左邊檢驗、第三種為右邊檢驗.假設檢驗按拒絕域分類可分為雙邊檢驗、左邊檢驗和右邊檢驗三、假設檢驗方法分析:1、假設檢驗的一般方法:“棄真”錯誤概率：兩種易犯的錯誤P{拒絕H0|H0為真}=P{U落入拒絕域|H0為真}=

?！凹{偽”錯誤概率：P{接受H0|H0為假}=P{U沒落入拒絕域|H0為假}大小沒法確定??！事實:n一定時,其一減小必導致另一個的增大;n充分大時,

二者可同時減小.顯著性檢驗:只控制“棄真”錯誤概率,而不考慮“納偽”錯誤概率的檢驗.顯著性檢驗水平:顯著性檢驗中“棄真”錯誤概率的控制水平.四、假設檢驗的一般步驟:⑴提出假設：提出原假設H0.及備擇假設H1⑵選擇檢驗統計量：該檢驗統計量必須包含待檢驗的參數，且在原假設成立的條件下知其分布.⑶確定拒絕域：根據顯著性水平,即所允許犯第一類錯誤的概率,求出拒絕域或臨界點,并注意是單邊檢驗還是雙邊檢驗.⑷做出判決：根據樣本數據計算統計量的實測值,將實測值與拒絕域對照,若實測值落入拒絕域,則否定原假設,否則接受原假設.一、均值μ的假設檢驗二、方差σ2的假設檢驗2.方差σ2未知的情況1.方差σ2已知的情況第二節單個正態總體參數的假設檢驗1、單個正態總體均值的檢驗例2一種燃料的辛烷等級服從正態分布，其平均等級,標準差,現抽取25桶新油，算得平均等級為97.7，假定標準差與原來一樣，問新油的辛烷平均等級是否比原燃料的辛烷平均等級偏低?解

按題意需在水平下檢驗假設：因已知，取檢驗統計量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域為計算統計值作出統計結論

故落在拒絕域，所以應拒絕，接受H1即認為新油的辛烷平均等級在給定水平下比原燃料的辛烷平均等級偏低例3

某工廠所產某種產品的壽命X～Ｎ(,2),在正常情況0=40,0=2.技術革新后隨機取產品25件,測得壽命均值為40.75.設革新后方差沒變,問革新后產品質量是否較以前有顯著提高(=0.05)？分析：故假設H0

:=0=40；H1:>0=40由于只考慮質量是否提高,所以是單邊檢驗.因已知，取檢驗統計量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域為計算統計值所以拒絕H0,而接受H1；也就是說,技術革新后,產品的壽命在水平=0.05下有了顯著提高。與正態總體期望的假設檢驗類似，在水平

下，方差檢驗也有以下三種類型：①

，②，③，

二、單個正態總體方差的假設檢驗

不論總體的期望是否已知，當為真時，均選擇檢驗統計量雙邊檢驗情形由于:

故方差的雙邊檢驗的拒絕域為右邊檢驗和左邊檢驗的拒絕域分別是如下圖7所示：檢驗法.因檢驗統計量服從分布，故此類檢驗法稱為解：厘米，現隨機抽取了5個部件，測得它們的例4某公司生產的發動機部件的直徑服從正態分布.公司稱它的標準差問（1）我們能認為該公司生產的發動機部件直徑的標準差確實為厘米嗎？（2）我們能否認為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗統計量因是雙邊檢驗，故拒絕域為對于本題:得拒絕域為計算K的數值落入拒絕域了，故拒絕即認為該公司生產的發動機部件直徑的標準差不是

厘米例4某公司生產的發動機部件的直徑服從正態分布.公司稱它的標準差厘米，現隨機抽取了5個部件，測得它們的問（1）我們能認為該公司生產的發動機部件直徑的標準差確實為厘米嗎？（2）我們能否認為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗統計量因是右邊檢驗，故拒絕域為查分布表,故拒絕域為計算K的數值落入拒絕域了，故拒絕即認為發動機部件直徑的方差超過一、均值差μ1-μ2的假設檢驗二、總體方差比12∕22的檢驗2.總體方差σ21,σ22未知的情況1.總體方差σ21,σ22已知的情況第三節兩個正態總體參數相等的假設檢驗一、兩總體X與Y的均值差1-2的檢驗（H0：1=2）兩總體X與Y的方差12、22已知時，用作為檢驗統計量——U檢驗法。兩總體X與Y的方差12、22未知，但12=22=

2，用作為檢驗統計量——T檢驗法。無論兩總體X與Y的均值1、2是否已知，均用

二、兩總體X與Y方差比12∕22的檢驗

（H0：12∕

22=1）作為檢驗統計量

——F—檢驗法。以上這些統計量,你是否已經記熟?練習

一臺車床生產某一型號的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態分布,規定直徑的標準值為1(cm),均方差不能超過0.02(cm).現從這臺車床生產的滾珠中抽出9個,測得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？(取檢驗水平=0.05)分析：（2）對期望的假設檢驗，單邊還是雙邊?（3）對方差的檢驗假設，單邊還是雙邊?（1）要判斷工作是否正常，需檢驗什么？備擇假設H1應取作什么？檢驗統計量用哪一個？備擇假設H1應取作什么？檢驗統計量用哪一個？設滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。設滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。（1）先在水平=0.05下檢驗假設

H0：=0=1H1：≠0=1。

取統計量則T～t（9-1）由P{|T|>t0.025}=0.05，查t分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒絕域為(－,－2.306)∪(2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的數值:（2）再在水平=0.05下檢驗假設

H0：2≤02=0.022,H1：2>02

=0.022取統計量：則Y～2（8）由P{Y>20.05}=0.05,查2分布表得:20.05(8)=15.507,從而拒絕域為(15.507,+)而Y的數值y=(8?0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。綜合（1）和（2）可以認為車床工作正常。1、單個正態總體均值的總體方差2已知時，總體方差2未知時，檢驗統計量檢驗統計量—U檢驗法—T檢驗法①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域本次課小結檢驗樞軸量—2檢驗法①H0:2=02

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