學業分層測評(八)等差數列(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．在等差數列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差dA．－2 B.－eq\f(1,2)\f(1,2) 【解析】∵a7－2a4＝(a3＋4d)－2(a3＋d)＝－a3＋2d，又∵a3＝0，∴2d＝－1，∴d＝－eq\f(1,2).【答案】B2．(2023·重慶高考)在等差數列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1B．0C．1 【解析】∵{an}為等差數列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.【答案】B3．在等差數列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，則n＝()【導學號：33300047】A．50 B．51C．52 【解析】依題意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(2,3).所以an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，令an＝35，解得n＝53.【答案】D4．等差數列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數列{an}的通項公式是()A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12，,a2＋a4＝8，,d<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)(－2)，即an＝－2n＋10(n∈N*)．【答案】D5．下列命題中正確的個數是()(1)若a，b，c成等差數列，則a2，b2，c2一定成等差數列；(2)若a，b，c成等差數列，則2a,2b,2(3)若a，b，c成等差數列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差數列；(4)若a，b，c成等差數列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數列．A．4個 B．3個C．2個 個【解析】對于(1)，取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)錯．對于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正確；對于(3)，∵a，b，c成等差數列，∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正確；對于(4)，a＝b＝c≠0?eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(4)正確．綜上可知選B.【答案】B二、填空題6．(2023·陜西高考)中位數為1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為__________．【解析】設數列首項為a1，則eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.【答案】57．數列{an}是等差數列，且an＝an2＋n，則實數a＝________.【解析】∵{an}是等差數列，∴an＋1－an＝常數，∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常數，∴2a＝0，∴a＝0.【答案】08．在等差數列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.【解析】設公差為d，則a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.【答案】13三、解答題9．在等差數列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，這個數列在450到600之間共有多少項？【解】由題意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，解得≤n≤123，又因為n為正整數，故有38項．10．數列{an}滿足a1＝1，eq\f(1,2an＋1)＝eq\f(1,2an)＋1(n∈N*)．(1)求證：數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列；【導學號：33300048】(2)求數列{an}的通項公式．【解】(1)證明：由eq\f(1,2an＋1)＝eq\f(1,2an)＋1，可得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，∴數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，以2為公差的等差數列．(2)由(1)知eq\f(1,an)＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1)(n∈N*)．[能力提升]1．首項為－24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))【解析】設an＝－24＋(n－1)d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0.))解得eq\f(8,3)<d≤3.【答案】C2．在數列{an}中，a1＝3，且對任意大于1的正整數n，點(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則()A．an＝3nB．an＝eq\r(3n)C．an＝n－eq\r(3) ＝3n2【解析】∵點(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，∴eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，即數列{eq\r(an)}是首項為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數列．∴數列{eq\r(an)}的通項公式為eq\r(an)＝eq\r(3)＋(n－1)eq\r(3)＝eq\r(3)n，∴an＝3n2.【答案】D3．等差數列{an}中，首項為33，公差為整數，若前7項均為正數，第7項以后各項都為負數，則數列的通項公式為________．【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))解得－eq\f(33,6)<d<－eq\f(33,7)，又∵d∈Z，∴d＝－5.∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.【答案】an＝38－5n(n∈N*)4．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2,…)，λ是常數．(1)當a2＝－1時，求λ及a3的值；(2)是否存在實數λ使數列{an}為等差數列？若存在，求出λ及數列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．【解】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以當a2＝－1時，得－1＝2－λ，故λ＝3.從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)數列{an}不可能為等差數列，證明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得