第2章時域離散信號和系統的

頻域分析對于離散時間系統——時域分析方法采用差分方程描述頻域分析方法則用Z變換或傅里葉變換這一數學工具本章主要內容：

本章學習序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析信號和系統的頻域特性。

2.1序列的傅里葉變換的定義及性質

2.2序列的Z變換

2.3系統函數與頻率響應2.1

序列的傅立葉變換的定義及性質一、序列的傅里葉變換的定義眾所周知，連續時間信號x(t)的傅里葉變換定義為：而X(jΩ)的傅里葉反變換定義為

DTFT定義DTFT:Discrete-timeFouriertransform為研究離散時間系統的頻率響應作準備，從抽樣信號的傅里葉變換引出：

在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數字域頻率。X(ejω)一般為復數。并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。

只有當序列x(n)絕對可和式中的級數才是絕對收斂的，或x(n)的傅里葉變換存在。逆變換表示

在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數字域頻率。X(ejω)一般為復數。并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。

序列DTFT存在條件：二、常用序列的傅里葉變換

1.單位脈沖序列

其傅里葉變換為？含義是什么

單位脈沖信號包含了所有頻率分量，而且這些分量的幅度和相位都相同。

這就是用單位脈沖響應能夠表征線性時不變系統的原因。2.矩形序列其傅里葉變換為

圖2.1R4(n)的幅度與相位曲線設N=5，幅度與相位隨ω變化曲線

3.實指數序列其傅里葉變換為

設a=0.6，幅度與相位隨ω變化曲線如圖。離散時間信傅里葉變換的兩個特點：（1）X(ejω)是以2π為周期的ω的連續函數。（2）當x(n)為實序列時，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π區間內是偶對稱函數，相位arg[X(ejω)]是奇對稱函數。例題：利用定義求序列的離散傅立葉變換二、序列的傅里葉變換的性質

1.線性設則式中a，b為常數。

2.時移與頻移設時移特性頻移特性

3.周期性

序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數，周期是2π。

4.對稱性質

設一復序列，如果滿足則稱序列為共軛對稱序列。共軛反對稱序列比較：對于實序列中偶對稱和奇對稱的定義。

1）任一序列可表示為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和（如是實序列，就是偶對稱序列和奇對稱序列之和）可以被分解成共軛對稱與共軛反對稱兩部分之和。

2）DTFT的對稱特性（同學們自己證明）

若x(n)為實序列，則推論

對于實序列的DTFT，要畫出X(ejω)的幅頻特性，只需要X(ejω)半個周期即可，通常在實際中是選擇ω∈[0,π]的部分。

5.時域卷積定理

6.頻域卷積定理（復卷積定理）

7.帕斯瓦爾（Parseval）定理信號時域的總能量與頻域中的總能量是一樣的。三、MATLAB實現

例2-1

，，求離散時間傅里葉變換并探討其周期性。解：因為x(n)是復值的，它只滿足周期性，被唯一地定義在一個2

周期上。以下程序是在[-2，2]之間的兩個周期中的401個頻點上作計算以觀察周期性。n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%用矩陣-向量乘法求DTFTmagX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);對

是周期的，但不是共軛對稱的。

例2-2

解：

不僅對對稱，而且是共軛對稱的。因此，對實序列，我們只需畫出它們從（0）間的傅里葉變換的模和相角響應。求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換；20世紀50~60年代抽樣數據控制系統和數字計算機的研究和實踐，推動了z變換的發展；70年代引入大學課程；主要應用于數字信號處理的分析與設計，如語音信號處理等問題。z變換的歷史可是追溯到18世紀；2.2序列的Z變換

序列的傅里葉變換——頻域分析；推廣：序列的Z變換——復頻域分析。1．z變換的引出抽樣信號的拉氏變換→離散信號的z變換對取拉氏變換z變換的定義所有的信號都能進行z變換嗎？2．收斂域的定義收斂的所有z值之集合為收斂域。對于任意給定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z變換，由于收斂域不同，可能對應于相同的z變換，故在確定z變換時，必須指明收斂域。3．兩種判定法1)．比值判定法若有一個正項級數，則：

<1：收斂

=1：可能收斂也可能發散

>1：發散即令正項級數的一般項的n次根的極限等于，則<1：收斂=1：可能收斂也可能發散

>1：發散2)．根值判定法4．討論幾種情況1)．有限長序列的收斂域2)．右邊序列的收斂域3)．左邊序列的收斂域4)．雙邊序列的收斂域1)．有限長序列的收斂域所以，收斂域為的z平面。

例:

2)．右邊序列的收斂域右邊序列收斂域為ROC：例:若該序列收斂，則要求即收斂域為：

3)．左邊序列的收斂域左邊序列收斂域為ROC:例收斂域為：4)．雙邊序列的收斂域雙邊序列的收斂域：總結:★x(n)的收斂域（ROC）為z平面以原點為中心的圓環；★ROC內不包含任何極點（以極點為邊界）；左邊序列的收斂域在最內的極點之內；右邊序列的收斂域在最外的極點之外★有限長序列的ROC為整個z平面（可能除去z=0和z=）；★右邊序列的ROC為的圓外；★左邊序列的ROC為的圓內；

★雙邊序列的ROC為的圓環。三、Z反變換

已知函數X(z)及其收斂域，反過來求序列的變換稱為Z反變換，Z反變換表示為：

c是X(z)收斂域中一個逆時針方向環繞原點的圍線。

推導在的收斂域內，選擇一條包圍坐標原點的逆時針方向的圍線C,沿C進行積分：積分與求和互換

推導推導1)．用留數定理求圍線積分圍線積分等于圍線C內所有極點的留數之和單階極點k重極點右邊序列左邊序列圍線積分等于圍線C外所有極點的留數之和留數輔助定理避免求高階極點的留數例解：二．部分分式展開法1．z變換式的一般形式

2．求z反變換的步驟

3．極點決定部分分式形式例解：右邊序列左邊序列例解：當序列為因果序列時，例解：3

冪級數展開法（長除法）z變換式一般是z的有理函數，可表示為：直接用長除法進行逆變換（是一個z的冪級數）

1．右邊序列的逆z變換例2．左邊序列的逆z變換例Z的升冪排列離散時間序列的z變換的Matlab實現xk=sym('Heaviside(n)');xz1=ztrans(xk);

xz1=simplify(xz1)xk=sym('a^n*Heaviside(n)');xz2=ztrans(xk);xz2=simplify(xz2)xk=sym('a^n*cos(n*pi/2)');xz3=ztrans(xk);xz3=simplify(xz3)xz1=z/(z-1)xz2=-z/(-z+a)xz3=z^2/(z^2+a^2)

在MATLAB中，可用residuez函數計算出有理函數的留數部分和直接（或多項式）項。其分子、分母都按z-1的遞增順序排列。

用語句[R,p,C]=residuez(b,a)可求得X(z)的留數、極點和直接項，分子、分母多項式A(z)和B(z)分別由矢量a，b給定。例2-12

將展開成部分分式形式。解首先將按的升冪排列：MATLAB程序如下：運行結果：R=[0.5000-0.5000]，p=[1.00000.3333]，C=[]b=[0,1];a=[3,-4,1];[R,p,C]=residuez(b,a)類似的，可將其變成有理方程。MATLAB程序為[b,a]=residuez(R,p,C)運行結果：b=[-0.00000.3333]，a=[1.0000-1.33330.3333]可得到原來的有理函數形式五、Z變換的性質

1.線性若則相加后序列Z變換的收斂域一般為兩個相加序列收斂域的重疊部分。如果線性組合中某些零點與極點相互抵消，則收斂域可能擴大。例2-13

已知，求其Z變換。解2.移位特性

若，則位移m可以為正（右移）也可以為負（左移）。

證明：例2-14

求序列的Z變換。解:零點與極點相互抵消，收斂域擴大。3.Z域尺度變換（乘以指數序列）

若，則4.序列的線性加權（Z域求導數或X(z)的微分）

若，則5.時域卷積

若，，，則例2-15求。解：2.3系統函數與頻率響應2.3.1系統函數的定義

設x(n)、y(n)和h(n)分別是線性時不變系統的輸入、輸出和單位取樣響應，X(z)、Y(z)和H(z)分別表示相應的Z變換。Z變換為

定義線性時不變系統的輸出Z變換與輸入Z變換之比為系統函數

它是單位脈沖響應h(n)的Z變換。在單位圓上（即|z|=1的系統函數就是系統的頻率響應。

2.3.2系統函數和差分方程

一個線性時不變系統，可用常系數線性差分方程來描述。考慮一個N階差分方程對上式兩邊求Z變換則

系統函數H(z)的分子、分母均為z-1的多項式，它的系數也正是差分方程的系數。

對上式進行因式分解

{cr}、{dk}由差分方程的系數ak、br決定。因此，除了比例常數A以外，系統函數可以由它的零、極點來唯一確定，特別是極點的位置將對H(z)的性質起著重要影響。

根據系統函數求差分方程例2-17解：2.3.3系統函數的收斂域與系統的穩定性系統函數由Z變換收斂域的定義當時，上式變成系統穩定的充要條件（時域條件）。

這說明，如果系統函數的收斂域包括單位圓，則系統是穩定的。

因果系統其單位脈沖響應h(n)一定滿足h(n)=0（n<0），那么其系統函數的收斂域一定包含∞。

單位脈沖響應系統函數因果性h(n)=0，n<0收斂域包括∞穩定性收斂域包括單位圓因果穩定系統的收斂域例2-18

已知，分析其因果性和穩定性。解：的極點為討論：（1）當收斂域為但收斂域不包含單位圓，因此是不穩定系統。時，對應的系統是因果系統，單位脈沖響應（2）當收斂域為不穩定系統。單位脈沖響應時，對應的系統是非因果且（3）當收斂域為但收斂域包含單位圓，因此是穩定系統。時，對應的系統非因果，收斂的雙邊序列

非因果但穩定系統單位脈沖響應的近似實現2.3.4頻率響應

1.系統頻率響應的意義

線性時不變系統的基本特性：

對于一個正弦輸入的穩態響應也是一個正弦，其頻率與輸入相同，其幅度和相位取決于系統。

正是由于線性時不變系統具有這種特性，使得信號的正弦或復指數表示法在線性系統分析中起著非常重要的作用。

對于離散時間線性時不變系統，是否也具有上述特性？討論：

假設輸入序列其中稱為系統的頻率響應

輸出序列仍是與輸入序列同頻率的復指數序列。

它描述了復指數序列通過線性時不變系統后，復振幅（包括幅度和相位）的變化。例已知離散時間系統的框圖如右圖，求系統頻率響應特性。解：系統的差分方程設系統為零狀態的，方程兩邊取z變換系統函數系統的頻率響應特性幅頻特性相頻特性曲線頻率響應特性曲線圖(1)幅頻特性曲線圖(2)相頻曲線例2-19設有一系統，其輸入輸出關系由以下差分方程確定若系統是因果的，試求：（1）該系統的單位脈沖響應；（2）當輸入時的系統頻率響應。解（1）對差分方程兩端分別進行Z變換可得則系統函數為收斂域為對系統函數進行Z反變換，可得單位脈沖響應為（2）系統的頻率響應系統是線性時不變且因果穩定的。當輸入時，可得輸出響應為2.頻率響應的幾何確定法

一個N階的系統函數H(z)完全可以用它在z平面上的零、極點確定。

例求下圖所示一階離散系統的頻率響應。差分方程系統函數頻響特性幅度響應相位響應結論：

（1）原點處的極點和零點對頻率響應的幅度無影響，它們只是在相位中引入一個線性分量；

（2）極點主要影響頻響的峰值，極點越靠近單位圓，峰值就越尖銳，當極點處于單位圓上，該點的頻響就出現∞，這相當于該頻率處出現無耗諧振；

（3）零點主要影響頻響的谷值，零點越靠近單位圓，谷值越小，當處于單位圓上時，幅度為0。例2-21

已知

利用幾何法分析系統的幅頻特性。解:極點：z=0（N階極點）零點：令則N個零點等間隔分布在單位圓上。取N=8時，極零點分布和幅頻特性如圖例2-22

利用幾何法分析矩形序列的幅頻特性解：

零點極點（N-1階），設N=8，z=1處的極點和零點相互抵消。利用濾波器分析設計工具——FDATool例2-23

設一個因果系統的差分方程為為實數求系統的頻率響應。解將差分方程等式兩端取Z變換，可求得單位脈沖響應為該系統的頻率響應為幅度響應為相位響應為h(n)無限長例2-24

設系統的差分方程為試求其頻率響應。解這是M-1個單元延時及M個抽頭相加所組成的電路，稱之為橫向濾波器。令將所給差分方程等式兩端取Z變換，可得系統函數為零點滿足，即極點（M-1階極點）其中第一個零點和單極點相抵消。當輸入為時，系統只延時（M-1）位就不存在了故只有M個值，即M=6及條件下h(n)有限長2.3.5IIR和FIR系統1.無限長單位沖激響應(IIR)系統

如果一個離散時間系統的單位抽樣響應h(n)延伸到無窮長，即n→∞時，h(n)仍有值，這樣的系統稱作無限長單位脈沖響應系統，簡稱IIR（InfiniteImpulseResponse）系統。

一個線性時不變系統的系統函數可以表示為

只要有一個不為零，則序列就是無限長的。該系統的差分方程為

在任何時刻系統的輸出響應不僅與此時刻和此時刻以前時刻的輸入有關，而且與此時刻以前的輸出有關。在由差分方程確定輸出時，需要進行迭代運算。因而通常將這種差分方程稱為遞歸方程，這種方程所描述的系統也稱為遞歸系統。

2．有限長單位沖激響應（FIR）系統

如果一個離散時間系統的單位抽樣響應h(n)是有限長序列，這樣的系統稱作為有限長單位脈沖響應系統，簡稱FIR（FiniteImpulseResponse）系統。

ak全為零，則序列就是有限長的。

描述該系統的系統函數和差分方程分別為

在任何時刻系統的輸出只與此時刻和此時刻以前的輸入有關。在由差分方程確定輸出時，不需要進行迭代運算。因而通常將這種差分方程稱為非遞歸方程，這種方程所描述的系統也稱為非遞歸系統。2.3.6MATLAB實現1.零極點圖

在MATLAB中，可以用DSP工具箱中的zplane(b,a)函數或pzplotz(b,a)函數，由給定的分子行向量和分母行向量繪制成系統的零極點圖，符號“o”表示零點，符號“”表示極點，圖中還給出了用作參考的單位圓。

例2-25已知某系統的系統函數為求其零、極點并繪出零、極點圖。

解MATLAB實現程序：

b=[0.30.10.30.10.2];a=[1-1.21.5-0.80.3];

r1=roots(a)%求極點

r2=roots(b)%求零點

zplane(b,a)MATLAB

運行結果為：r1=[0.1976+0.8796i0.1976-0.8796i0.4024+0.4552i0.4024-0.4552i]r2=[0.3236+0.8660i0.3236-0.8660i-0.4903+0.7345i-0.4903-0.7345i]2.系統的頻率響應

可以用freqz函數來求系統的頻率響應。用法為：

[H,w]=freqz(b,a,N)在上半單位圓（0）的等間隔的N個點上計算頻率響應。

[H,w]=freqz(b,a,N,’whole’)在整個單位圓（02）等間隔的N個點上計算。

[H]=freqz(b,a,w)計算在矢量w中指定的頻率處的頻率響應。例2-26

已知因果系統，繪出的幅度和相位特性曲線。解：由差分方程可以得到

MATLAB實現程序：

b=[1,0];a=[1,-0.9];

[H,w]=freqz(b,a,100,'whole');

magH=abs(H);phaH=angle(H);

subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);grid

subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi);gridMATLABMATLAB3.差分方程求解——濾波

在MATLAB中，可用一個filter函數來求在給定輸入和差分方程系數時的差分方程的數值解。子程序調用的簡單形式為：

y=filter(b,a,x)其中b，a是由差分方程或系統函數