《二項式定理（一）》教學設計貴州省銅仁第一中學沈琦一、教學內容解析《1.3.1二項式定理》是《普通高中課程標準實驗教科書-數學》選修2-3第一章第三部分第一節的內容，這節課內容上只有一個二項式定理但它卻是前面內容的繼續，也是后面內容的開始。在計數原理之后學習二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數原理，可以把它看做為計數原理的一個應用。另一方面也是為后面學習隨機變量及分布做準備。二項式定理具有較高應用價值和思維訓練價值,不僅能解決某些整除性、近似計算問題的一種方法，并能解釋集合的子集個數問題；再者，二項式定理不僅僅是初中多項式乘法的拓展，它又是學生進一步學習數學分析中函數級數展開式的一個特例，在組合理論、開高次方、高階等差數列求和中有廣泛的應用，因此這節課在高中數學中有著十分重要的作用。通過本課的教學，進一步提高學生的歸納演繹能力，讓學生感受體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，二項式系數的性質等．通過二項式定理的學習應該讓學生掌握有關知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；重視學生正確情感、態度和世界觀的培養和形成。二項式定理本身是教學重點，因為它是后面各種應用的基礎．通項公式，二項式系數的性質，特殊化方法等意義重大而深遠，所以也應該是重點。二項式定理的證明是一個教學難點．這是因為證明中符號比較抽象、需要恰當地運用組合數的性質。二、學情分析學生已經學習了計數原理、排列組合及合情推理的相關知識，已經具備了一定的歸納演繹和分析事件方法種數的能力。但是學生對數學嚴謹性的把握還不夠，研究問題的方法和能力有待提高，有些學生容易粗心，對細節知識的把握還不夠好。本節課二項式定理的推導運用了先猜想后證明，由特殊到一般的研究問題的思想方法。因此本堂課采用小組討論學習，讓學生在相互討論的過程中直接或間接地感受和體驗知識的產生、發展和演變過程，提高學生分析解決問題的能力。在教學中，努力把表現的機會讓給學生，以發揮他們的自主精神；盡量創造讓學生活動的機會，以讓學生在直接體驗中建構自己的知識體系；盡量引導學生的發展和創造意識，以使他們能在再創造的氛圍中學習。三、教學目標設置1.知識技能目標（1）理解二項式定理是代數乘法公式的推廣。（2）理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理。（3）掌握對簡單的二項式進行展開，能夠對項的系數與二項式系數進行區分，并能求出指定項。2.過程與方法目標通過學生經歷二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、歸納的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會歸納－猜想－論證的思想方法,發展探究能力。3.情感、態度、價值觀目標培養學生自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡捷和嚴謹。四、教學重點、難點重點：用兩個計數原理分析的展開式得到二項式定理；掌握二項展開式的通項公式；能應用它解決一些簡單問題。難點：用兩個計數原理分析推導的展開式；用兩個計數原理證明二項式定理。五、教學過程教學程序問題設計意圖師生活動創設問題情境引入新課引出問題：如果今天是星期五，14天后的這一天是星期幾呢？23天后的這一天呢？師生歸納：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。算法：用各個數除以7，看余數是多少，再用五加余數來推算師：再過82023天后是星期幾，你知道嗎？不方便求出82023除以的余數，可以利用8=7+1，得到82023=(7+1)2023=?如果不用計算器的話,此時就需要研究提出問題激發學生探索欲望，并引出課題讓學生用計算器計算從特殊開始由(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2×(a+b)=?結果：體會多項式乘法計算過程,加深對因式展開原理的理解。與學生一同計算，得到計算結果，為后面做鋪墊。探究一：通過組合思想來分析(a+b)3的展開式展開后①項的形式為：②項的系數，考慮，：每個都不取的情況有1種，即,則前的系數為：恰有1個取的情況有種，則前的系數為：恰有2個取的情況有種，則前的系數為：恰有3個取的情況有種，則前的系數為所以考察學生對因式展開的各項形式及系數的理解。學生說出自己的思路，老師做分析與講解為后面猜想做鋪墊。探究二：觀察展開式中的項數、指數變化以及系數變化，你發現了什么？由此猜想（a+b）4,(a+b)n的展開式中項數，指數變化及系數變化又如何呢？并試著寫出他們的展開式。回答：讓學生通過特例去觀察相同之處與不同之處，以及不同之處的處理方法，從而提出猜想。學生先觀察總結特點：1.項數是指數加1；2.字母a按降冪排列，字母b按照升冪排列，二者指數之和是二項式指數；3、每一項的系數有上面的問題2給出，這很好的突破了本節的難點。探究三：對于猜想我們如何進行證明呢？證明：是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數原理可知展開式共有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，對于每一項，它是由r個選了b，n－r個選了a得到的，它出現的次數相當于從n個中取r個b的組合數，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．讓學生體會利用組合思想從特殊到一般，對猜想給出嚴謹的證明過程。并理解如何用“說理”的方式闡述證明過程。師生討論證明思路，通過閱讀課本上的證明過程，老師最后做出方法歸類，提示學生證明的思路。并留下課下演練二項式定理的數學歸納法證明。思考觀察學習新課觀察二項展開式中的項數、指數以及系數有何特點，誰最具代表性？(1)項：二項展開式共有項；(2)次數：各項的次數都等于n；字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n(3)二項式系數：(4)二項展開式的通項：=考察學生的觀察力，以及分析問題的能力。學生繼續總結這三點，以強化已有的認識，同時老師強調：二項式系數，與二項展開式系數的區別。特殊的情況1.用-b代替b.寫出的展開式2.令a=1,b=2x.寫出的展開式對二項式定理的簡單應用，同時也是告訴學生二項式定理在解決問題時的方法：賦值或是賦表達式。學生自主完成，老師進行檢查，通過投影儀將學生的結果進行展示，錯誤時做出點撥與分析。破解疑惑今天是星期五,再過82023天后是星期幾，你知道嗎？即82023除以7余數是1。故再過82023天后的那一天是星期六。破解疑惑讓學生感受計算的簡單與快捷，增強對數學學習的熱情，學生提出解決思路，老師點評分析，怎么才能被7整除好計算呢?聯想二項式定理的表達形式，問題得到解決，留為課下計算。精講精析鞏固新知再探索對于的展開式思考1：展開式的第2項的系數是多少？思考2：展開式的第2項的二項式系數是多少？思考3：你能否直接求出展開式的第2項？熟悉二項式定理，以及對二項式系數，展開式系數，以及x的系數問題的理解與記憶。教師板演過程，給學生以示范，為后面步驟的整潔做鋪墊。反饋練習課堂練習1、求的展開式的第三項2、求的展開式的第三項熟悉二項式定理，二項式系數，二項展開式系數，以及通項的初步應用，理解二項式展開式的項的順序。學生自主練習，反饋教學效果，老師巡視做個別輔導。課堂小結本節課你學習了什么知識，他是怎么得到的呢？在學習這部分知識時要注意什么呢？讓學生回顧本節要點，觀察學生掌握情況。學生說，教師課件演示，并強調：二項式系數與二項展開式系數的區別。布置作業課本37頁習題A組2、4課后探究：用數學歸納法證明二項式定理讓學生鞏固本節課的所學內容和知識。六、板書設計1.3.