《二項(xiàng)式定理（一）》教學(xué)設(shè)計(jì)貴州省銅仁第一中學(xué)沈琦一、教學(xué)內(nèi)容解析《1.3.1二項(xiàng)式定理》是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書-數(shù)學(xué)》選修2-3第一章第三部分第一節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)課內(nèi)容上只有一個(gè)二項(xiàng)式定理但它卻是前面內(nèi)容的繼續(xù)，也是后面內(nèi)容的開始。在計(jì)數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它看做為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及分布做準(zhǔn)備。二項(xiàng)式定理具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值,不僅能解決某些整除性、近似計(jì)算問題的一種方法，并能解釋集合的子集個(gè)數(shù)問題；再者，二項(xiàng)式定理不僅僅是初中多項(xiàng)式乘法的拓展，它又是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)級(jí)數(shù)展開式的一個(gè)特例，在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和中有廣泛的應(yīng)用，因此這節(jié)課在高中數(shù)學(xué)中有著十分重要的作用。通過本課的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)生的歸納演繹能力，讓學(xué)生感受體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等．通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)，同時(shí)在求展開式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成。二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺娓鞣N應(yīng)用的基礎(chǔ)．通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)。二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)．這是因?yàn)樽C明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)。二、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理、排列組合及合情推理的相關(guān)知識(shí)，已經(jīng)具備了一定的歸納演繹和分析事件方法種數(shù)的能力。但是學(xué)生對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的把握還不夠，研究問題的方法和能力有待提高，有些學(xué)生容易粗心，對細(xì)節(jié)知識(shí)的把握還不夠好。本節(jié)課二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)運(yùn)用了先猜想后證明，由特殊到一般的研究問題的思想方法。因此本堂課采用小組討論學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在相互討論的過程中直接或間接地感受和體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和演變過程，提高學(xué)生分析解決問題的能力。在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)。三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.知識(shí)技能目標(biāo)（1）理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣。（2）理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理。（3）掌握對簡單的二項(xiàng)式進(jìn)行展開，能夠?qū)?xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行區(qū)分，并能求出指定項(xiàng)。2.過程與方法目標(biāo)通過學(xué)生經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)歸納－猜想－論證的思想方法,發(fā)展探究能力。3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡捷和嚴(yán)謹(jǐn)。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析的展開式得到二項(xiàng)式定理；掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；能應(yīng)用它解決一些簡單問題。難點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析推導(dǎo)的展開式；用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理。五、教學(xué)過程教學(xué)程序問題設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課引出問題：如果今天是星期五，14天后的這一天是星期幾呢？23天后的這一天呢？師生歸納：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。算法：用各個(gè)數(shù)除以7，看余數(shù)是多少，再用五加余數(shù)來推算師：再過82023天后是星期幾，你知道嗎？不方便求出82023除以的余數(shù)，可以利用8=7+1，得到82023=(7+1)2023=?如果不用計(jì)算器的話,此時(shí)就需要研究提出問題激發(fā)學(xué)生探索欲望，并引出課題讓學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算從特殊開始由(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2×(a+b)=?結(jié)果：體會(huì)多項(xiàng)式乘法計(jì)算過程,加深對因式展開原理的理解。與學(xué)生一同計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果，為后面做鋪墊。探究一：通過組合思想來分析(a+b)3的展開式展開后①項(xiàng)的形式為：②項(xiàng)的系數(shù)，考慮，：每個(gè)都不取的情況有1種，即,則前的系數(shù)為：恰有1個(gè)取的情況有種，則前的系數(shù)為：恰有2個(gè)取的情況有種，則前的系數(shù)為：恰有3個(gè)取的情況有種，則前的系數(shù)為所以考察學(xué)生對因式展開的各項(xiàng)形式及系數(shù)的理解。學(xué)生說出自己的思路，老師做分析與講解為后面猜想做鋪墊。探究二：觀察展開式中的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)變化以及系數(shù)變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此猜想（a+b）4,(a+b)n的展開式中項(xiàng)數(shù)，指數(shù)變化及系數(shù)變化又如何呢？并試著寫出他們的展開式。回答：讓學(xué)生通過特例去觀察相同之處與不同之處，以及不同之處的處理方法，從而提出猜想。學(xué)生先觀察總結(jié)特點(diǎn)：1.項(xiàng)數(shù)是指數(shù)加1；2.字母a按降冪排列，字母b按照升冪排列，二者指數(shù)之和是二項(xiàng)式指數(shù)；3、每一項(xiàng)的系數(shù)有上面的問題2給出，這很好的突破了本節(jié)的難點(diǎn)。探究三：對于猜想我們?nèi)绾芜M(jìn)行證明呢？證明：是n個(gè)相乘，每個(gè)在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或選b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開式共有項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是的形式，對于每一項(xiàng)，它是由r個(gè)選了b，n－r個(gè)選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)中取r個(gè)b的組合數(shù)，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理．讓學(xué)生體會(huì)利用組合思想從特殊到一般，對猜想給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程。并理解如何用“說理”的方式闡述證明過程。師生討論證明思路，通過閱讀課本上的證明過程，老師最后做出方法歸類，提示學(xué)生證明的思路。并留下課下演練二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)歸納法證明。思考觀察學(xué)習(xí)新課觀察二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)以及系數(shù)有何特點(diǎn)，誰最具代表性？(1)項(xiàng)：二項(xiàng)展開式共有項(xiàng)；(2)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于n；字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n(3)二項(xiàng)式系數(shù)：(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：=考察學(xué)生的觀察力，以及分析問題的能力。學(xué)生繼續(xù)總結(jié)這三點(diǎn)，以強(qiáng)化已有的認(rèn)識(shí)，同時(shí)老師強(qiáng)調(diào)：二項(xiàng)式系數(shù)，與二項(xiàng)展開式系數(shù)的區(qū)別。特殊的情況1.用-b代替b.寫出的展開式2.令a=1,b=2x.寫出的展開式對二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用，同時(shí)也是告訴學(xué)生二項(xiàng)式定理在解決問題時(shí)的方法：賦值或是賦表達(dá)式。學(xué)生自主完成，老師進(jìn)行檢查，通過投影儀將學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行展示，錯(cuò)誤時(shí)做出點(diǎn)撥與分析。破解疑惑今天是星期五,再過82023天后是星期幾，你知道嗎？即82023除以7余數(shù)是1。故再過82023天后的那一天是星期六。破解疑惑讓學(xué)生感受計(jì)算的簡單與快捷，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，學(xué)生提出解決思路，老師點(diǎn)評分析，怎么才能被7整除好計(jì)算呢?聯(lián)想二項(xiàng)式定理的表達(dá)形式，問題得到解決，留為課下計(jì)算。精講精析鞏固新知再探索對于的展開式思考1：展開式的第2項(xiàng)的系數(shù)是多少？思考2：展開式的第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？思考3：你能否直接求出展開式的第2項(xiàng)？熟悉二項(xiàng)式定理，以及對二項(xiàng)式系數(shù)，展開式系數(shù)，以及x的系數(shù)問題的理解與記憶。教師板演過程，給學(xué)生以示范，為后面步驟的整潔做鋪墊。反饋練習(xí)課堂練習(xí)1、求的展開式的第三項(xiàng)2、求的展開式的第三項(xiàng)熟悉二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)展開式系數(shù)，以及通項(xiàng)的初步應(yīng)用，理解二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)的順序。學(xué)生自主練習(xí)，反饋教學(xué)效果，老師巡視做個(gè)別輔導(dǎo)。課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，他是怎么得到的呢？在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)要注意什么呢？讓學(xué)生回顧本節(jié)要點(diǎn)，觀察學(xué)生掌握情況。學(xué)生說，教師課件演示，并強(qiáng)調(diào)：二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式系數(shù)的區(qū)別。布置作業(yè)課本37頁習(xí)題A組2、4課后探究：用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理讓學(xué)生鞏固本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容和知識(shí)。六、板書設(shè)計(jì)1.3.